中考数学大点兵解答题（教师版 24页）.pdf

1、中考数学大点兵解答题【教师版】 1.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半 径为R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdR的点叫做等边三角形的中 心关联点在平面直角坐标系xOy中，等边ABC的三个顶点的坐标分别为A（0， ，2） ，B （，1） ，C（，1） （1）如图 1过点A作直线交x轴正半轴于点M，使AMO30若线段AM上存在 等边ABC的中心关联点P（m，n） ，求m的取值范围； （2）如图 1，将直线AM向下平移得到直线ykxb，当b满足什么条件时，直线y kxb上总存在等边ABC的中心关联点？ （3）如图 2，Q为直线y1 上一动点，Q

2、的半径为，当点Q从点（4，1） 出发，以每秒 1 个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得Q 上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值； 如果不存在，请说明理由 【答案】 解 （1）由AMO30可得AM2OA4，OMOA2 如图 3过点O作OHAM于点H 易求OHOM， 即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外 接圆的另一个交点为G 连结OG，则OAG为等边三角形， 所以ACOGAM， 即G为AM的中点， 所以点G的坐标为（，1） 显然AG上的点都是ABC的中心关联点， 所以 0M （2）直线AM向下平移的过程中，只要与ABC 的外

3、接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线 ykxb上就存在等边ABC的中心关联点 如图 4，直线IJAM，且与ABC的外接圆相切 于点K，此时为直线ykxb的临界状态 连鲒OK，则OK2 所以OJ， 所以b2 （3）存在符合题意的t的值为 4或 4 如图 5，当点Q移动到Q1Q2住置时即Q内切 圆环时，Q上所有点都是等边ABC的中心关联点 连结OQ1，OQ2， 则OQ1OQ2 令直线y1 与y轴的交点为L，则OL1 所以Q1LQ2， 所以， 2.如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左侧） ，与y轴交于点 C，CDx轴交抛物线于点 DP是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为 顶点

4、的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，说明理由 【答案】解解：存在 因为点A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，） ，过点D（2，）作DEAB于点E，由 勾股定理得 如图， 当ABD时，所以过点作AB于点， 所以， 解得 ，点的坐标为（8，） ， 因为此时点不在抛物线上，所以此种情况不存在 当BDA时，所以过点作AB于点， 所以，解得因为，所以， 所以点的坐标为（4，） ，将x4 代入抛物线的表达式得， 所以点在抛物线上 由抛物线的对称性可知：点与点关于直线x1 对称， 所以的坐标为（6，） 当点位于点C处时，两个三角形全等，所以点的坐标为（0，）

5、 综上所得，点P的坐标为（4，） ， （6，）或（0，）时，以P，A，B为顶 点的三角形与ABD相似 3. 已知：在RTACB和RTAEF中，ACBAEF900，若P是BF的中点，连结PC、 PE （1）如图 1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系 （2）如图 2，把图 1 中的AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）如图 3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由 【答案】解（1）易得PCPEBF，即PC与PE相等 （2）结论成

6、立理由如下： 如图 4，延长CP交EF的延长线于点D，则BCFD，易证BPCFPD，所以PCPD， 而CED900，所以PECDPC （3）结论仍成立，理由如下： 如图 5，过点F作FDBC，交CP的延长线于点D，易得PDPC，FDBC 所以 而AFEPBCPFD，所以EAC18002AFEEFD， 如图，连结CE，ED，则EACEFD，所以AECFED，CEDAEF900， 所以PECDPC 4.在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧） 若在抛物线上存在一点N，使得ANB90，结合图像，求a的取值范 围 【答案】抛物线yax22ax

7、3aa（x3） （x1）a（x1）24a， 所以点A（3，0） ，点B（1，0） ， 从而AB4，抛物线对称轴为x1 以AB为直径作圆 如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为（1，2） 将其代入抛物线表达式，得a 如图，当点N在抛物线上（不与顶点重合）时，4a2，则a 综上可得，满足题意的a的取值范围为a 5.已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为（1，0） ，与y轴的交点坐标为（0，） ，R（1， 1）是抛物线对称轴l上的一点 （1）若P是抛物线上的一个动点（如图 1） ，求证：点P到点R的距离与点P到直线y 1 的距离恒相等； （2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的

8、中点，过点P，E，Q分别作直线 y1 的垂线，垂足分别为M，F，N（如图 2） 求证：PFQF 【答案】 （1）题意可得抛物线表达式为 设点P的坐标为（x，） ，则PM 由两点间距离公式得PR2（x1）2 （2） 因为QNQR，PRPM， 所以PQPRQRPMQN 根据题意可得EF为梯形PMNQ 的中位线，即EF（QVPM）PQ所以EFEQEP，即点F在以PQ为直径的圆 上，所以PFQF 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行直线l2过点 B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点，反比例函数（k 0）的图象过点E且与直线l1相交干点

9、F （1）若点E与点P重合，求k的值； （2） 是否存在点E及y轴上的点M， 使得以点M，E，F为顶点的三角形与PEF全等？ 若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】 （1）k2 （2）存在点E的坐标为（，2）或（，2） 【提示】 （2）易得点E（，2） ，F（1，k） 如图 1，当k2 时，只能有MEFPEF 过 点F作FHy轴于点H，易证BMEHFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM ，再解 RtBME，得k，所以点E的坐标为（，2） ；如图 2，当k2 时，只能 有MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q，同可得点E的坐标为（，2） 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形A

10、BCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别 为（4，0） ， （0，3） 现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D 运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒 （1）菱形ABCD的边长是_，面积是_，高BE的长是_; （2）若点P的速度为每秒 1 个单位点Q的速度为每秒k个单位在运动过程中，任何时 刻都有对应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱 形请探究当t4 秒时的情形，并求出k的值 【答案】 （1）5，24，48 （2）要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴 对称的性质，翻折前后两个图形是全等

11、的，所以要满足四边形是菱形只需APQ为等腰三 角形即可当t4 时，AP4 如图，当点Q在线段BC上时，PQBEAP，同理，AQAP，所以只存在QAQP 的等腰三角形 过点Q作QHAP于点H，交AC于点F，则AHPHAP2 易证：AFHCFQADO， 所以 可得 从而k 当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在： （i）如图 1，当APAQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQPD1 所以，k （）如图 3，当PAPQ时，过点P作PHAB于点H 易证AHPAEB，所以，其中AE 所以AH，AQ2AH，所以k （）由可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQPQ 这种情况

12、综上所得，满足条件的k值为， 8.边长为 2 的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，连结 CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点 （1）求抛物线的表达式； （2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N， D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请 说明理由 【答案】 （1）如图 1，过点E作EGx轴于点G 易证ODCGED（AAS） ，所以 所以点E的坐标为（3，1） 而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x2， 所以可设抛物线的表达式为y

13、a（x2）2k， 将C，E两点的坐标代入表达式，得解得 所以抛物线的表达式为 （2）存在 由题意可设点M的坐标为（2，m） ，N的坐标为 以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能： 当DE为平行四边形的边时， （i）如图 2，若DEMN，MDNE， 由平移的性质可得 解得 此时点M的坐标为（2，1） ，N的坐标为（4，2） （ii）如图 3，若DEMN，MEND 由平移的性质可得 解得 此时点M的坐标为（2，3） ，N的坐标为（0，2） 当DE为平行四边形的对角线时，如图 4 由平行四边形对角线互相平分性质可得 解得 此时点M的坐标为，N的坐标为 9.如图，一次函数y2x10 的

14、图象与反比例函数y（k0）的图象相交于A、B两 点（点A在点B的右侧） ，分别交x轴y轴于点E，F若点A的坐标为（4，2） 问：反 比例函数图象的另一支上是否存在一点P使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k8， 所以反比例函数为y， 联立方程纽组， 解得， 所以点B的坐标为（1，8） 由题意可得点EF的坐标分剐为（5，0） ， （0，10） ， 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图 1，当PAB90时， 连结OA，则OA 而AE，OE5，所以OA2AE2OE2， 即OAAB

15、所以A，O，P三点共线 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为yx 联立方程组解得， 所以点P的坐标为（4，2） 如图 2，当PBA90时，记BP与y轴的交点为G 易证FBCFOE，所以， 而FO10FE，FB 可求得FG，所以点G的坐标为（0，） 由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式 为yx， 联立方程组解得 所以点P的坐标为（16，） ； 综上可得，满足条件的点P坐标为（4，2）或（16，） 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的 正半轴上，OA1，OC2，点D在边OC上且OD （1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直

16、线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC为等腰三 角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）设直线AC的解析式ykxb， 又OA1，OC2， A（0，1） ，C（2，0）代入函数解析式求得：k，b1 直线AC的函数解析式：y （2）若DC为底边， M的横坐标为， 则点M的坐标为（，） 直线DM解析式为：y P（0，） ； 若DM为底，则CDCM， AMAN， N（，1） ， 可求得直线DM的解析式为y（2）x（） ， P（0，（） ） 若CM为底，则CDDM 点M的坐标为（，） 直线DM的解析式为yx， 点P的坐标为（0，） 综上所述，符合条件的点

17、P的坐标为（0，） ， （0，（） ） ， （0，） 11.某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探 究，提出下列问题，请你给出证明 （1）如图 1，在矩形ABCD中，EFCH，EF分别交AB，CD于点F，F，GH分别交 AD，BC于点GH求证： （2）如图 2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则 （3） 如图 3， 在四边形ABCD中， ABC90，ABAD10，BCCD5，AMDN， 点M，N分别在边BC，AB上，求的值 【答案】 （1）如图 4过点A作APEF交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q 因为四边形A

18、BCD是矩形 所以ABDC，ADBC 所以四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形， 所以APEF，GHBQ 又因为CHEF 所以APBQ 所以QATAQT90 因为四边形ABCD是矩形， 所以DABD90， 所以DAPDPA90， 所以AQTDPA 所以PDAQAB 所以， 所以 （2）因为EFGH，AMBN 所以由（1）中的结论可得， 所以 （3）如图 5过点D作平行于AB的直线，交过点A且平行于BC的直线于点P，交 BC的延长线于点S 则四边形ABSR是平行四边形 因为ABC90， 所以四边形ABSR是矩形 所以RS90，RSAB10，ARBS 因为AMDN 所以由（1）中的结论可得

19、 设SCx，DSy，则ARBS5xRD10y， 所以在 RtCSD中，x2y225 在 RtARD中 （5x）2（10y）2100 联立方程组， 得（舍） ，或 所以AR5x8， 所以 12.已知：EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合） DE交AC 所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N记ADM的面积为S1，BND的面积为S2 （1）如图 1，当ABC是等边三角形，EDFA时，若AB6，AD4，求S1S2的值； （2）当ABC是等腰三角形时，设BAEDF 如图 2，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式（结果用a，b 和a的三角函数表示） 如图

20、3，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式 图 1图 2图 3 【答案】 （1）如图 4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H 则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB 由题意可知AB60，所以 sinAsinB 由“一线三等角模型”可知AMDBDN ，从而AMBNADBD8，S1S212 （2）如图 5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H 则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB 由“一线三等角模型”可得AMDBDN， 所以，从而AMBNADBDab， 所以S1S2absina； 如图 6，分别过点M，N

21、作AB的垂线，垂足分别为G，H 则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB 由“一线三等角模型”可得AMDBDN， 所以，从而AMBNADBDab， 所以S1S2absina； 13.如图 1， 将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动， 并使其 一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F 求证：PAPE； 如图 2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD8，求AP：PE的值； 如图 3，在的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？ 图 3 A D BE P F C AD B P CE 图 2 AD P BEC

22、 图 1 【答案】如图 4，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N 则PMPN，MPN90，由已知条件可得APE90，所以APMEPN，所以 APMEPN 故APPE 图 4 AD P BECN M 如图 5，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMAD，PNCD 所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以 易证APMEPN，所以 图 5 AD B P CE N M AP：PF的值不变如图，理由同 图 6 A D BE P F C M N 14.如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45. （1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系. （2）如图

23、2，在四边形ABCD中，BAD90，ABADBD180， 点E、F分别在BC、CD上，则当EAF与BAD满足关系时，仍 有EFBEFD. （3）如图 3在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知ABAD 80m，B60，ADC120，BAD150，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（1）m现要在E、F之间修一条笔直的道路，求 这条道路EF的长 （结果取整数，参考数据：1.41，1.73） 【答案】 （1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD （2）BAD2EAF，理由如下： 如图 4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG. 易证ABEADG（SAS）. 所

24、以AEAG， 即EFBEDFDGDFGF. 从而证得AEFAGF（SSS） 所以EAFGAFEAGBAD. （3）如图 5，将ABE绕点A逆时针旋转 1 50至ADG连结AF 由题意可得BAE60 所以ABE和ADG均为等腰直角三角形. 过点A作AHDG于点H则 DHAD40m，AHAD40m. 而DF40（1）m. 所以EAFGAF45. 可得EAFGAF（SAS） 所以EFGF80m+40（l）m109. 2m. 15.如图 1，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE绕A点 顺时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图 2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DM BD

25、，ENCE，连结AM，AN，MN，得到图 3 （1）若ABAC，请探究下列数量关系; 在图 2 中，BD与CE的数量关系是； 在图 3 中，猜想AM与AN的数量关系，MAN与BAC的数量关系，丙证明你的 猜想： （2）若ABAC（K1） ，按上述操作方法，得到图 4，请继续探究：AM与AN 的数量关系；MAN与BAC的数量关系 【答案】 （1）BDCE AMAN，MANBAC 证明如下： 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD（SAS） 所以CEBD，ACNABM 所以BMCN 从而ABMACN（SAS） 所以AMAN，BAMCAN 即MANBAC （2）AMk AN，MANBAC 证明如下：

26、 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD， 所以，ACNABM 所以 从而ABMACN 所以AMk AN，BAMCAN 即MANBAC 16.如图 1，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90，BPC120， 求APC的面积； （2）如图 2，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，BAEADC，BECE2， CD5，ADkAB（k为常数） ，求BD的长（用含k的式子表示） 【答案】 （1）APC的面积为 7； （2）BD 【提示】 （1）如图，将ABP绕点B顺时针旋转 60至CBQ，连结PQ易证PQC为含 30的直角三角形令BPm，则PQm，从而APCQm，PC2m，然后解 R

27、t APC即可 （2）如图，连结AC，显然ACAB，将ABD绕点A逆时针旋转BAC的度数至ACQ， 连接DQ，则ABCADQ，从而DQkBC4k作AFDQ于点F，则DAFBAE ADC，所以AFCD，即CDQ90 在 RtCDQ中，由勾股定理可得BDCQ 17.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其 中DE交直线AP于点F （1）如图 1，若PAB20，求ADF的度数； （2）如图 2，若 45PAB90，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明； 【答案】 （1）如图 3，连接AE，则PAEPAB20，AEAB 四边形ABCD为正方形BAD

28、90，ABADEDA130ADF 25 （2）如图 4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EFBF，AEABAD ABFAEFADF，BFDBAD90BF2FD2BD2EF2 FD22AB22 18.已知：如图，ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且EDEC， 将BCE绕点C顺时针旋转 60至ACF，连结EF （1）求证：ABDBAF； （2）若点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量 关系?请说三明理由； （3）若点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量 关系？请说明理由 【答案】 （1）如图 1，过点

29、E作EGAC交BC干表G，则EBG为等边三角形 易证EBDEGC，所以DBCGAE由旋转的性质可得AFBE，所以ABBEAE AFDB （2）ABDBAF理由如下： 如图 2，过点E作EGAC，交CD于点G，则EBG为等边三角形 易证EGDEBC，所以DGBCAB 由旋转的性质可得AFBEBG 所以ABDGDBAF （3）ABAFDB理由如下： 如图 3，过点E作EGAC，交BC的延长线于点G，则EBG为等边三角形 易证EBDEGC， 所以DBCGAE 由旋转的性质可得AFBE， 所以ABBEAEAFDB 19.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0） ，点B的坐标为（6，0） ，点

30、C的坐标为（6，） ，延长AC至点D使得CDAC，过点DE作DE/AB，交BC的延长 线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线yx与y轴的交点M出发，先沿 y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度 的 2 倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短 【答案】t 当 2GAGM最小时，时间最短 如图，假设在OM上存在一点G，则BGAG MG2AGMGAGBG 把MGB绕点B顺时针旋转 60，得到MGB，连结GG，MM GGB、MMB都为等边三角形 则GGGBGB 又MGMG MGAGBGMGGGAG 点A、M为定点 AM与OM的交点为G，

31、此时MGAGBG最小 点G的坐标为（0，） 20.（1）如图 1，等边ABC中，AB2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P， 使BPEP的值最小，并求BPPE的最小值 （2）如图 2，已知O的直径CD为 2，的度数为 60，点B是的中点，在直径 CD上作出点P，使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值 （3）如图 3，点P是四边形ABCD内一点，BPm，ABC，分别在边AB，BC上 作出点M，N，使PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，的代数式表示） 图 1图 2图 3 【答案】 （1）（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD 于一点，这点就是所求的点P） ； （2）（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求 的点P） ； （3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M， N，线段EF的长度即为PMN的周长的最小值 如图，连结BE，BF， EBF2ABC2，BEBFBPm 过点B作BHEF于点H， 所以EBHEBF，EHFH 在 RtBEH中，sin， 所以EHBEsinmsin， 所以EF2msin， 即PMPNMNEF2msin