(典型题)高考数学二轮复习-知识点总结-空间中的平行与垂直.doc

1、 空间中的平行与垂直高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等1线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理a线面平行的性质定理ab线面垂直的判定定理l线面垂直的性质定理ab2 面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理a面面平行的判定定理面面平行的性质定理ab提醒 使用相关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的

2、条件，缺一不可3 平行关系及垂直关系的转化示意图考点一 空间线面位置关系的判断例1 (1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是( )Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面(2)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题准确的是( )A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm答案 (1)B (2)B解析 (1)对于A，直线l1与l3可能异面、相交；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一

3、个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱所以选B.(2)A中直线l可能在平面内；C与D中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B准确解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中(1)(2013广东)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中准确的是( )A若，m，n，则mn B若，m，n，则mnC若mn，m，n，则 D若m，mn，n，则(2)平面平面的一个充分

4、条件是( )A存有一条直线a，a，aB存有一条直线a，a，aC存有两条平行直线a，b，a，b，a，bD存有两条异面直线a，b，a，b，a，b答案 (1)D (2)D解析 (1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D准确(2)若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.考点二 线线、线面的位置关系例2 如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC平面

5、AEF；(2)求证：EC平面PAB.证明 (1)由题意得PACA，F为PC的中点，AFPC.PA平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，CDPC.E为PD的中点，F为PC的中点，EFCD，EFPC.AFEFF，PC平面AEF.(2)方法一 如图，取AD的中点M，连接EM，CM.则EMPA.EM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB.在RtACD中，CAD60，MCAM，ACM60.而BAC60，MCAB.MC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB.EMMCM，平面EMC平面PAB.EC平面EMC，EC平面PAB.方法二 如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接P

6、N.NACDAC60，ACCD，C为ND的中点E为PD的中点，ECPN.EC平面PAB，PN平面PAB，EC平面PAB. (1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，所以需要多画出一些图形辅助使用 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)若AC1平面A1BD，求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB1，求三棱锥BA1C1D的体积

7、(1)证明 如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED.ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABBB1，侧面ABB1A1是正方形，E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，在AB1C中，ED是中位线，B1CED，B1C平面A1BD.(2)证明 AC1平面A1BD，AC1A1B.侧面ABB1A1是正方形，A1BAB1.又AC1AB1A，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)解 ABBC，D为AC的中点，BDAC，BD平面DC1A1.BD是三棱锥BA1C1D的高由(2)知B1C1平面ABB1A1，BC平面ABB1A1.BCA

8、B，ABC是等腰直角三角形又ABBC1，BD，ACA1C1.三棱锥BA1C1D的体积VBDSA1C1DA1C1AA11.考点三 面面的位置关系例3 如图，在几何体ABCDE中，ABAD2，ABAD，AE平面ABD.M为线段BD的中点，MCAE，AEMC.(1)求证：平面BCD平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN平面BEC.证明 (1)ABAD2，ABAD，M为线段BD的中点，AMBD，AMBD.AEMC，AEMCBD，BCCD.AE平面ABD，MCAE，MC平面ABD.平面ABD平面CBD，AM平面CBD.又MC綊AE，四边形AMCE为平行四边形，ECAM，EC平面CBD，

9、BCEC，ECCDC，BC平面CDE，平面BCD平面CDE.(2)M为BD中点，N为ED中点，MNBE且BEECE，由(1)知ECAM且AMMNM，平面AMN平面BEC. (1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存有这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决 如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

10、求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.考点四 图形的折叠问题例4 (2012北京)如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中

11、点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存有点Q，使A1C平面DEQ？说明理由折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化第(1)问证明线面平行，能够证明DEBC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C平面DEQ.(1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明 由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所

12、以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)解 线段A1B上存有点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存有点Q，使得A1C平面DEQ. (1)解决与折叠相关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长

13、度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 (2013广东)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.(1)证明 在等边ABC中，ADAE，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立DEBC，又DE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF.(2)

14、证明 在等边ABC中，F是BC的中点，AFCF.在三棱锥ABCF中，BC，BC2BF2CF2，CFBF.又BFAFF，CF平面ABF.(3)解 VFDEGVEDFGDGFGGE.1 证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形实行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2 证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3 证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面

15、平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4 证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5 证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等6 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条

16、垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存有这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是 ( )AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的距离与BEF的面积相等答案 D解析 AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE，故A准确B1D1平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动，故EF平面ABCD.故B准确C中因为点B到直线EF的距离是定值，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VABEF不变故C准确

17、因为点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，所以AEF与BEF的面积不相等，故D错误2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)证明：平面ADC1B1平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存有一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论(1)证明 如图，因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以B1C1面ABB1A1.因为A1B面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因为A1BAB1，B1C1AB1B1，所以A1B面ADC1B1.因为A1B面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.(2)解 当点F为C1D1中点时，可使B1F平面A1BE.证明如下：易知：

18、EFC1D，且EFC1D.设AB1A1BO，则B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四边形B1OEF为平行四边形所以B1FOE.又因为B1F面A1BE，OE面A1BE.所以B1F面A1BE.(推荐时间：60分钟)一、选择题1 已知，是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中准确的是( )A若，l，则lB若l上有两个点到的距离相等，则lC若l，l，则D若，则答案 C解析 当，l时，l能够在内，选项A不准确；如果过l上两点A，B的中点，则A，B到的距离相等，选项B不准确；当，时，能够有，选项D不准确，准确选项为C.2 已知直线m，n和平面，则mn的必要不充分条件是( )A

19、m且n Bm且nCm且n Dm，n与成等角答案 D解析 mn不能推出m且n，m，n时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不准确；m，n时，mn，为充分条件，但mn不能推出m，n，故B不准确；mn不能推出m且n，m，且n时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不准确；mn时，m，n与成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.3 如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题准确的是( )A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D

20、平面ADC平面ABC答案 D解析 在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故选D.4 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.准确的命题是( )A B C D答案 C解析 平面与可能相交，中m与n能够是相交直线或异面直线故错，选C.5 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和

21、AC，若木块的棱长为a，则截面面积为( )A. B.C. D.答案 C解析 如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于点E.连接EF，易知PFDE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为的正方形，故其面积为，故选C.6 在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是 ( )A12 B32C36 D48答案 C解析 由MNAM且MN是BSC的中位线得BSAM，又由正三棱锥的性质得BSAC，所以BS面ASC.即

22、正三棱锥SABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为SA6.球的表面积S4R243236.选C.二、填空题7 设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_(填出所有准确条件的代号)x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线答案 解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以准确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以准确；若直线x平面z，平面y平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以不准确；若平面x平面z，平面y平面z，则平面x与平面y可能相交，所以不准确；若直

23、线x直线z，直线y直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以不准确8 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案 a或2a解析 由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中

24、点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中准确的命题是_(填上所有准确命题的序号)答案 解析 错误，PA平面MOB；准确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；准确，因为BC平面PAC.三、解答题10(2013重庆)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积(1)证明 因为BCCD，所以BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂

25、直，所以BD平面PAC.(2)解 三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.11(2012广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.(1)证明 因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为

26、PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)解 如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明 取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB

27、.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.12如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC120，E，M分别为AB，DE的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为AC的中点，AC4.(1)求证：平面ADE平面BCD；(2)求证：FB平面ADE.证明 (1)由题意，得ADE是ADE沿DE翻折而成的，ADEADE.ABC120，四边形ABCD是平行四边形，A60.又ADAE2，ADE和ADE都是等边三角形如图，连接AM，MC，M是DE的中点，AMDE，AM.在DMC中，MC2DC2DM22DCDMcos 604212241cos 60，MC.在AMC中，AM2MC2()2()242AC2.AMC是直角三角形，AMMC.又AMDE，MCDEM，AM平面BCD.又AM平面ADE，平面ADE平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.ACDC4，F，N分别是AC，DC的中点，FNAD.又N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，BNDE.又ADDED，FNNBN，平面ADE平面FNB.FB平面FNB，FB平面ADE.