(word完整版)高中三角函数最值问题难题.doc
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- 关 键 词:
- word 完整版 高中 三角函数 问题 难题
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1、高中三角函数最值问题难题一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1:求函数的最值分析:解决本题时要注意三角函数值的符号规律,分四个象限讨论。解: (1)当在第一象限时,有 (2)当在第二象限时,有 (3)当在第三象限时,有(4)当在第四象限时,综上可得此函数的最大值为4,最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性()解题例1:(2003北京春季高考试题)设和分别表示函数的最大值和最小值,则等于( ) (A)(B)(C) (D)-2解析:由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,即+()=-2,选D.例2:求的最值(值域)分析:此式是关于的函数式,通过
2、对式子变形使出现的形式,再根据来求解。解:,即有。因为,所以即即,所以原函数的最大值是,最小值是。 三、利用数形结合例:求的最大值与最小值解析:此题除了利用三角函数的有界性求解外,还可根据函数式的特点,联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率,而动点满足单位圆,如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值,由点到直线的距离得: ,四、利用三角函数的单调性法例1:(1996全国高考试题)当,函数的最值(A)最大值是1,最小值是1(B)最大值是1,最小值是(C)最大值是2,最小值是2 (D)最大值是2,最小值是1,因为,所以,当时,函数有最小值 1,最大值2,选择D例2:求
3、的最值及对应的集合分析:观察式子可知它并不能直接求出,须通过变形为,但也不符合用平均不等式求,考虑用单调性。解答:令,则,且设=上单调递增,所以当时, ,此时,当时,此时,五、可化为一次函数,的条件极值的三角函数式极值求法例1:求函数 的极值分析:由,上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题,即求, ,其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解: 1)当时, ; 2)当时, ;说例2:求函数的最值,其中。 分析:在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式,所于只有考虑将它降为一次,此时根据正弦、余弦的二倍角公式即,然后代入化简得到即可求出。解:因为 其中,且,在这里六、可化为二次函
4、数的条件极值的三角函数式的最值求法。例1:求函数最值分析:因为故求的最值,实质上是求以为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设=时,变为在约束条件的条件极值。解:因为当当。七、换元法例1:函数的最大值是_.(1990年全国高考题)解析:如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。设,则, 。函数可化为,时,函数最大值是。说明:题目中出现与时,常用变形是“设和求积巧代换”,即设 则。要特别注意换元后的取值范围。例2: 求函数的最值。解:设则 于是 。故当时,即时, 当时,即时, 八、可化为分式函数的条件最值的三角函
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