(完整word)高等代数(北大版)第8章习题参考答案.doc

1、第八章 矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4） 5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A = B，B即为所求。2）对矩阵作初等变换,有A = B，B即为所求。3）因为的行列式因子为 1 =1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1, 2 = = , 3 = = ，从而 A = B，B即为所求。4）因为的行列式因子为1 =1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A = B，B即为所求。5）对矩阵作初等变换,有A = B，B即为所求。6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3 =1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =

2、1, 4 = =, 5 = =。故所求标准形为 B = 。2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为 1 =2 =1, 3 =。2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为 3 =2 =1 =1, 4 =，故矩阵的不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 =。3）当时,有 4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式 = ，于是由 ,3 = 1，可得 3 = 1，故该矩阵的不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。当时,由 1 =1, 2 =1, 3 = , 4

3、 = ，从而 1 =2 =1, 3 = , 4 = = 。4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为 3 =1, 4 = ，故所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。3.证明: 的不变因子是 ，其中= 。证 因为 n = ，按最后一列展开此行列式，得 n = ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1 =2 = = = 1，故所给矩阵的不变因子为 1 =2 = = = 1， = = ，即证。4

4、. 设A是数域P上一个阶矩阵, 证明A与相似。证 设 A = ，则 = ，因为A与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明与有相同的不变因子即可。注意到与对应的级子式互为转置, 因而对应的级子式相等, 故 与 有相同的各级行列式因子, 从而有相同的不变因子, 即证A与相似。5. 设 A = 求。解 因为 = ，所以 = = = = = 。6. 求下列复系数矩阵的若尔当标准形:1） 2）3） 4）5） 6)7) 8)9) 10)11) 12) 13) 14) 解 1）设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是 , , ，故A的若尔当标准形为 = 。2）设原矩阵为A ,则 = ，于

5、是A的初等因子是 , ，故A的若尔当标准形为 = 。3) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。4) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是，故A的若尔当标准形为 = 。5) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是, , , 从而A的若尔当标准形为 = 。6) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是, , , 从而A的若尔当标准形为 = 。7) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。8) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是, 故A的若尔当标准形为 = 。9) 设原矩阵为A ,则 = ，于

6、是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。10) 设原矩阵为A ,则= ，设 =, 则由“卡当”公式可解得 其中. 于是A的初等因子是, , ,故A的若尔当标准形为 = 。11) 设原矩阵为A ,则 = ，于是A的初等因子是,故 A的若尔当标准形为 = 。12) 设原矩阵为A ,则 = ，因为三阶子式无公共非零因式,所以的行列式因子为 3 =1, 4 = ， 于是 4 = , 3 =2 =1 =1，因此A的初等因子是,故 A的若尔当标准形为 = 。13) 设原矩阵为A ,则 = ，所以A的初等因子是, , , ,故 A的若尔当标准形为 = 。14) 设原矩阵为A ,则 = ，于是有一个

7、阶子式 = ，所以的行列式因子为1 =2 = = = 1， = = =，其中1, ,是个次单位根, 所以A的初等因子为 , , , ，故 A的若尔当标准形为 =。注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为练习。7. 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准形。解 1)已知A = ,且 = ，所以A的有理标准形为 = 。2)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。3)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , , ，故A的有理标准形为 = 。4)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 =

8、 。5)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。6)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , , ，故A的有理标准形为 = 。7)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , , ，故A的有理标准形为 = 。8)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。9)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。10)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。11)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为, ，故A的有理标准形为 =。12)已知 A

9、 = ，且 = ，因为4 = ,3 =(三阶子式的公因式是零次多项式),所以A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 =。13)已知 A = ,且 = ，所以A的不变因子为， ，故A的有理标准形为 =。14)已知 A = ,且 = = ，又因为 ，所以。这意味着A的不变因子为 , ，故A的有理标准形为 = 。二. 补充题参考解答1. A是维线性空间上V的线性变换。1) 若A在V的某基下的矩阵A是某多项式的伴侣阵, 则A的最小多项式是；2)设A的最高次的不变因子是, 则A的最小多项式是。证 1) 设A在V的基下的矩阵为A, 多项式 ，则的伴随矩阵为 A，故A的不变因子为 , ，这意味着是A的最高次的不变因子, 因此, 也是A的初等因子的最小公倍式, 从而它是A的最小多项式，即证.。2)由1)的证明即知A的最高次的不变因子是, 也是A的最小多项式.。