(完整版)二次函数平行四边形存在性问题例题.doc

1、二次函数平行四边形存在性问题例题一解答题（共9小题）1如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F

2、，交抛物线于点E求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由3已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N

3、（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由4已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QAQO|的取值范围5如图，RtOAB

4、如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由6如图，直线y=x+3与

5、x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由7如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DEx轴，垂足为E，交AB

6、于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DHAC交AB于H，当DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标8已知直线y=kx+b（k0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的

7、四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（mn）（m0），过点E（01）的直线lx轴，BRl于R，CSl于S，连接FR、FS试判断RFS的形状，并说明理由9抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05

8、月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共9小题）1（2016安顺）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线

9、x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）2（2016十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A

10、，与y轴交于点C抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）当y=0时，3x3=0，x=1A（1，0）当x=0时，y=3，C（0，3），抛物线的解析式是：y=x22x3当y=0时，x22x3=0，解得：x1=1，x2=3B（3，0）（2）由（1）知B（3，0

11、），C（0，3）直线BC的解析式是：y=x3，设M（x，x3）（0x3），则E（x，x22x3）ME=（x3）（x22x3）=x2+3x=（x）2+；当x=时，ME的最大值为（3）答：不存在由（2）知ME取最大值时ME=，E（，），M（，）MF=，BF=OBOF=设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BPMF，BFPMP1（0，）或P2（3，）当P1（0，）时，由（1）知y=x22x3=3P1不在抛物线上当P2（3，）时，由（1）知y=x22x3=0P2不在抛物线上综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形3（20

12、16义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1

13、）连接CH由轴对称得CHAB，BH=BO，CH=CO在CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点当x=0时，y=6，当y=0时，x=8B（0，6），A（8，0）OB=6，OA=8，在RtAOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），OC=aCH=a，AH=4，AC=8a，在RtAHC中，由勾股定理，得（8a）2=a2+42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得解得：抛物线的解析式为：（2）由（1）的结论，得D（）DF=设BC的解析式为：y=kx+b，则有解得直线BC的解析式为：y=2x+6设存在点P使四边形ODAP

14、是平行四边形，P（m，n）作PEOA于E，HD交OA于FPEO=AFD=90，PO=DA，PODAPOE=DAFOPEADFPE=DF=n=P（）当x=时，y=2+6=1点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P（3）由题意得，平移后的解析式为：对称轴为：x=2，当x=0时，y=当y=0时，0=解得：F在N的左边F（，0），E（0，），N（，0）连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有解得：EF的解析式为：y=x解得：Q（2，）4（2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上

15、，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QAQO|的取值范围【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）（1分）点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x3）（x8）将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得（2分）过A、B、C三点的抛物线的解析式为（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛

16、物线的对称轴与x轴的交点为G直线BC的解析式为y=2x+6.4分）设点P的坐标为（x，2x+6）解法一：如图，作OPAD交直线BC于点P，连接AP，作PMx轴于点MOPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为（5分）但此时，OMGA，OPAD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PNx轴于点N则PEO=DEA，PE=DE可得PENDEG由，可得E点的坐标为（4，0）NE=EG=，ON=OENE=，NP=DG=点P的坐标为（5分）x=时，点P不在直线

17、BC上直线BC上不存在符合条件的点P（6分）（3）|QAQO|的取值范围是（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QAQO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QAQO|最大，直线AH的解析式为：y=x+6，直线BC的解析式为：y=2x+6，联立可得：交点为（0，6），OQ=6，AQ=10，|QAQO|=4，|QAQO|的取值范围是：0|QAQO|45（2016山西模拟）如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把RtOAB绕点O逆时针旋转90，点B旋转到点C的位置，一条抛物

18、线正好经过点O，C，A三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把AOB绕点O逆时针旋转90，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+b

19、x把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=x2+4x；（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，EF=PM=42a，PE=MF=a2+4a，则矩形PEFM的周长L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：y=x2+4x=（x2）2+4可知顶点坐标（2，4），知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平

20、行线，与x轴没有其它交点，过y=4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有x2+4x=4 解得x1=2+，x2=2N点坐标为N1（2+，4），N2（2，4）6（2015葫芦岛）如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果

21、存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，解得y=x2+x+3（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，设点E的坐标是（x，x2+x+3），则点M的坐标是（x，x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SBEC=SBEM+SMEC=（x2+x）4=x2+3x=（x2）2+3，当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，BEC的面积最大，最大面积是3（3）在抛物线上存

22、在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如图2，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，AM所在的直线的斜率是：；y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2+x+3），则解得或，x0，点P的坐标是（3，）如图3，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，AM所在的直线的斜率是：；y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2+x+3），则解得或，x0，点P的坐标是（

23、5，）如图4，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2+x+3），则解得，点P的坐标是（1，）综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（3，）、（5，）、（1，）7（2015梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DEx轴，垂足为E，交AB于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）在D

24、E上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DHAC交AB于H，当DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标【解答】解：（1）B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，解得：所求的抛物线为：y=（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解得：直线AB的解析式为y=x+2，设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），G点与D点关于F点对称，G点的坐标为（x，），若以G为圆心，

25、GD为半径作圆，使得G与其中一条坐标轴相切，若G与x轴相切则必须由DG=GE，即x2+x+2（）=，解得：x=，x=4（舍去）；若G与y轴相切则必须由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或（3）M点的横坐标为22，N点的横坐标为28（2015资阳）已知直线y=kx+b（k0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点

26、的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（mn）（m0），过点E（01）的直线lx轴，BRl于R，CSl于S，连接FR、FS试判断RFS的形状，并说明理由【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又直线BC过C、F两点，故得方程组：解之，得，所以直线BC的解析式为：y=x+1； （2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，设M（x，x+1），则D（x，x2），MDy轴，MD=x+1x2，由MD=OF，可得|x+1x2|=1，当x+1x2=1时，解得x1=0（舍）或x1=3，所以M（3，），当x+1x2

27、，=1时，解得，x=，所以M（，）或M（，），综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（3，）或（，）或（，）；（3）过点F作FTBR于点T，如图2所示，点B（m，n）在抛物线上，m2=4n，在RtBTF中，BF=，n0，BF=n+1，又BR=n+1，BF=BRBRF=BFR，又BRl，EFl，BREF，BRF=RFE，RFE=BFR，同理可得EFS=CFS，RFS=BFC=90，RFS是直角三角形9（2015百色）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单

28、位长度，点D的速度是每秒2个单位长度（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，解得，抛物线的解析式为：y=x23x+2，令y=0，则x23x+2=0，解得：x1=1，x2=2，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；（2）存在，由已知条件得ABx轴，ABCD，当AB=CD时，以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，设D（m，0），当C（1，0）时，则CD=m1，m1=3，m=4，当C（2，0）时，则CD=m2，m2=3，m=5，D（5，0），综上所述：当D（4，0）或（5，0）时，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形；（3）设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，E（0，t），D（2t，0），设直线BD的解析式为：y=kx+b，解得k=或k=（不合题意舍去），当k=，t=，点D、E运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上