(完整版)一元二次方程知识点和经典例题.doc

1、一元二次方程一.基本概念定义：形如：（）的方程,叫做一元二次方程的一般式.例题：若方程是关于x的一元二次方程，求m的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： , 开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：,因式分解得： ，（3）配方法: ,得：,即： ，（4）公式法： 解法步骤：先把一元二次方程化为一般式； 找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；计算出的值；把a,b, 的值代入公式;求出方程的两个根. 例题：解方程： x(x+12)=8x+12 解：原方程化简得：,方程中：a=1,b=4,c=-12=(4)2-41（-12）=16+48=64.= 原方程根为：，-6. 一元二次方程解法练

2、习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： (2x-1)=7 （2）用因式分解法解一元二次方程： 5x(x-3)=6-2x 2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4) （3）用配方法解一元二次方程： x(x+4)=8x+12 （4）用公式法解一元二次方程： 2x2-33x+130=0 （5）选择适当的方法解下列方程: 三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把叫做一元二次方程：（）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况： 例1.不解方程判断下列方程跟的情况： （1） （2） （3）2 解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，=(-8)2-428=64

3、-64=0 =0 原方程有两个相等的实数根. （2）方程中：a=1,b=4,c=-12，=(4)2-41（-12）=16+48=64 0 原方程有两个不相等的实数根. （3）方程中：a=2,b=-3,c=2，=(-3)2-422=9-16=-7 0 原方程无实数根.例2.关于x的一元二次方程（m1）x22（m3）xm20有实数根，求m的取值范围.解：当m10时, 即：m时，该方程是关于x一元二次方程.原方程有实数根，即：2（m3）24（m1）（m2）28m44解得： m的取值范围是且m. 例3. 求证：关于x的一元二次方程总有实数根. 证明：且， 总有 关于x的一元二次方程总有实数根.四.一元

4、二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程(且)的两个根分别为和，则：； 特别地：对于一元二次方程，根与系数的关系为： ； 注：此定理成立的前提是也就是说必须在方程有实数根时才可使用.此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。2.根与系数关系的应用举例（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；例1.已知关于的一元二次方程x24xp0的一个根是2，求该方程的另一根.解：设方程的另一根为，则+2=-4，=-6 方程的另一根为-6.例2.已知方程有一个根是2，求它的另一个根.解：是它的另一个根是，则 2=，= 方程的另一根为.注：本题也可由+2=求出=（2）已知一元二次方程的两根或两根之和与两

5、根之积，求这个方程；例3.已知一元二次方程的两根分别为和，求这个方程. .例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数.解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：+， 这个一元二次方程为：，解这个方程得：，.所求的两个数分别为2和3.（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数； 例6.已知方程的一个根是，求另一根及k的值. 例7.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. （5）利用根与系数关系求代数式的值； 例8.若是方程的两个根，求下列各式的值： ； ； ； 注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ， ， ， 根与系数的关系充分体

6、现了整体代换的思想 （6）运用根的判别式和根与系数的关系解综合题 例9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和求实数的取值范围； 当时，求的值例10.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值方程两实根的积为5； 方程的两实根满足例11.已知一元二次方程若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为，且+3=3，求m的值.例12. 已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2求m的取值范围；设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值例14.已知关于的一元二次方程（为常数）求证：方程有两个不相等的实数根； 设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值