(完整版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含.doc
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1、专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一:矩形中的相似求解例1.(2019绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M、N分别在边AB、CD上,点E、F分别在边BC、AD上,MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.(1)若a:b的值为1,当MNEF时,求k的值.(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,MPE=60,MP=EF=3PE时,求a:b的值.题型二:二次函数中几何图形最值求解例2.(2019衡阳)如图,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是
2、x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E(1)求该抛物线的函数关系表达式;(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由题型三:二次函数中面积最值的求解例3.(2019自贡)如图,已知直线AB与抛物线相交于点A(-1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式;(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大
3、时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.题型四:反比例函数中面积最值的求解例4.(2018扬州一模)如图1,反比例函数y= (x0)的图象经过点A(2,1),射线AB与反比例函数图象交于另一点B(1,a),射线AC与y轴交于点C,BAC=75,ADy轴,垂足为D(1)求k的值;(2)求tanDAC的值及直线AC的解析式;(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线lx轴,与AC相交于点N,连接CM,求CMN面积的最大值题型五
4、:反比例函数中面积最值的求解例5.(2019达州)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0),B(3,0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;(2)设点D是x轴上一点,当tan(CAO+CDO)=4时,求点D的坐标;(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,BMP和EMN的面积分别为m、n,求mn的最大值.题型六:二次函数中最值及最短路径题型例6.(2019绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的
5、左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,ABD的面积为5(1)求抛物线和一次函数的解析式;(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值例7.(2019潍坊)如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物
6、线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时,求点P的坐标答案与解析题型一:矩形中的相似求解例1.(2019绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M、N分别在边AB、CD上,点E、F分别在边BC、AD上,MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.(1)若a:b的值为1,当MNEF时,求k的值.(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,MPE=60,MP=EF=3PE时,求a:b的值.【分析】(1)当a:b=1时,可得四边形ABCD为正方形,由MNEF,可证MN=EF,即k=1;(2)先
7、确定MN和EF的取值范围,当MN取最大值,EF取最小值时,k的值最大,否则反之;(3)根据N是矩形顶点,分两种情况讨论,即N分别与D点和C点重合,依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解:(1)当a:b=1时,即AB=BC,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形,过F作FGBC于G,过M作MHCD于H,如下图所示,MNEF,NMH=EFG,MHN=FGE=90,MH=FG,MNHFEG,MN=EF,即k=1;(2)由题意知:b=2a,所以得:aEF,2aMN,所以当MN取最大值,EF取最小值时,k取最大值,为;当MN取最小值,EF取最大值时,k取最小值,为;(3)如下图所示,连接FN
8、,ME,设PE=x,则EF=MP=3x,PF=2x,MN=3EF=9x,PN=6x,又FPN=MPE,FPNEPM,PFN=PEM,FNME,当N点与D点重合时,由FNME得,M点与B点重合,过F作FHBD于H,MPE=60,PFH=30,PH=x,FH=,BH=BP+PH=4x,DH=5x,在RtDFH中,tanFDH=,即a:b=;当N点与C点重合时,过过点E作EHMN于H,连接EM,则PH=x,EH=,CH=PC+PH=13x, 在RtECH中,tanECH=,MEFC,MEB=FCB=CFD,B=D,MEBCFD,=2,即a:b=;综上所述,a:b的值为或.题型二:二次函数中几何图形最
9、值求解例2.(2019衡阳)如图,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E(1)求该抛物线的函数关系表达式;(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解;(2)由POECBP得出比例线段,可表示OE的长,利用二
10、次函数的性质可求出线段OE的最大值;(3)过点M作MHy轴交BN于点H,由SMNBSBMH+SMNH即可求解【答案】见解析.【解析】解:(1)抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0),解得:,抛物线函数关系表达式为yx22x3;(2)由题意知:ABOA+OB4,在正方形ABCD中,ABC90,PCBE,OPE+CPB90,CPB+PCB90,OPEPCB,又EOPPBC90,POECBP,设OPx,则PB3x,OE,当时,即OP=时线段OE长有最大值,最大值为(3)存在如图,过点M作MHy轴交BN于点H,N点坐标为(0,3),设直线BN的解析式为ykx+b,直线BN的解析式为yx3
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