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类型(完整版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含.doc

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    关 键  词:
    完整版 2020 年中 数学 动态 问题 图形 探究 下载 _中考其它_中考复习_数学_初中
    资源描述:

    1、专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一:矩形中的相似求解例1.(2019绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M、N分别在边AB、CD上,点E、F分别在边BC、AD上,MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.(1)若a:b的值为1,当MNEF时,求k的值.(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,MPE=60,MP=EF=3PE时,求a:b的值.题型二:二次函数中几何图形最值求解例2.(2019衡阳)如图,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是

    2、x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E(1)求该抛物线的函数关系表达式;(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由题型三:二次函数中面积最值的求解例3.(2019自贡)如图,已知直线AB与抛物线相交于点A(-1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式;(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大

    3、时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.题型四:反比例函数中面积最值的求解例4.(2018扬州一模)如图1,反比例函数y= (x0)的图象经过点A(2,1),射线AB与反比例函数图象交于另一点B(1,a),射线AC与y轴交于点C,BAC=75,ADy轴,垂足为D(1)求k的值;(2)求tanDAC的值及直线AC的解析式;(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线lx轴,与AC相交于点N,连接CM,求CMN面积的最大值题型五

    4、:反比例函数中面积最值的求解例5.(2019达州)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0),B(3,0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;(2)设点D是x轴上一点,当tan(CAO+CDO)=4时,求点D的坐标;(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,BMP和EMN的面积分别为m、n,求mn的最大值.题型六:二次函数中最值及最短路径题型例6.(2019绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的

    5、左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,ABD的面积为5(1)求抛物线和一次函数的解析式;(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值例7.(2019潍坊)如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物

    6、线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时,求点P的坐标答案与解析题型一:矩形中的相似求解例1.(2019绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M、N分别在边AB、CD上,点E、F分别在边BC、AD上,MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.(1)若a:b的值为1,当MNEF时,求k的值.(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,MPE=60,MP=EF=3PE时,求a:b的值.【分析】(1)当a:b=1时,可得四边形ABCD为正方形,由MNEF,可证MN=EF,即k=1;(2)先

    7、确定MN和EF的取值范围,当MN取最大值,EF取最小值时,k的值最大,否则反之;(3)根据N是矩形顶点,分两种情况讨论,即N分别与D点和C点重合,依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解:(1)当a:b=1时,即AB=BC,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形,过F作FGBC于G,过M作MHCD于H,如下图所示,MNEF,NMH=EFG,MHN=FGE=90,MH=FG,MNHFEG,MN=EF,即k=1;(2)由题意知:b=2a,所以得:aEF,2aMN,所以当MN取最大值,EF取最小值时,k取最大值,为;当MN取最小值,EF取最大值时,k取最小值,为;(3)如下图所示,连接FN

    8、,ME,设PE=x,则EF=MP=3x,PF=2x,MN=3EF=9x,PN=6x,又FPN=MPE,FPNEPM,PFN=PEM,FNME,当N点与D点重合时,由FNME得,M点与B点重合,过F作FHBD于H,MPE=60,PFH=30,PH=x,FH=,BH=BP+PH=4x,DH=5x,在RtDFH中,tanFDH=,即a:b=;当N点与C点重合时,过过点E作EHMN于H,连接EM,则PH=x,EH=,CH=PC+PH=13x, 在RtECH中,tanECH=,MEFC,MEB=FCB=CFD,B=D,MEBCFD,=2,即a:b=;综上所述,a:b的值为或.题型二:二次函数中几何图形最

    9、值求解例2.(2019衡阳)如图,二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E(1)求该抛物线的函数关系表达式;(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解;(2)由POECBP得出比例线段,可表示OE的长,利用二

    10、次函数的性质可求出线段OE的最大值;(3)过点M作MHy轴交BN于点H,由SMNBSBMH+SMNH即可求解【答案】见解析.【解析】解:(1)抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0),解得:,抛物线函数关系表达式为yx22x3;(2)由题意知:ABOA+OB4,在正方形ABCD中,ABC90,PCBE,OPE+CPB90,CPB+PCB90,OPEPCB,又EOPPBC90,POECBP,设OPx,则PB3x,OE,当时,即OP=时线段OE长有最大值,最大值为(3)存在如图,过点M作MHy轴交BN于点H,N点坐标为(0,3),设直线BN的解析式为ykx+b,直线BN的解析式为yx3

    11、,设M(m,m22m3),则H(m,m3),MHm3(m22m3)m2+3m,SMNBSBMH+SMNH,a时,MBN的面积有最大值,最大值是,此时M点的坐标为()题型三:二次函数中面积最值的求解例3.(2019自贡)如图,已知直线AB与抛物线相交于点A(-1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式;(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点

    12、F的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)把A(-1,0),B(2,3)代入抛物线得:解得抛物线的函数表达式为:y=x2+2x+3(2)A(-1,0),B(2,3),直线AB的解析式为:y=x+1,如下图所示,过M作MNy轴交AB于N,设M(m,m2+2m+3),N(m,m+1),(-1m2)MN=m2+m+2,SABM=SAMN+SBMN=SABM=,当时,ABM的面积有最大值,而SMANB=2SABM=,此时(3)存在,点理由如下:抛物线顶点为D,则D(1,4),则顶点D到直线的距离为,设、,设P到直线的距离为PG.则PG=,P为抛物线上任意一点都有PG=PF,当P

    13、与顶点D重合时,也有PG=PF.此时PG=,即顶点D到直线的距离为,PF=DF=,PG=PF,PG2=PF2,整理化简可得0x=0,当时,无论取任何实数,均有PG=PF.题型四:反比例函数中面积最值的求解例4.(2018扬州一模) 如图1,反比例函数y= (x0)的图象经过点A(2,1),射线AB与反比例函数图象交于另一点B(1,a),射线AC与y轴交于点C,BAC=75,ADy轴,垂足为D(1)求k的值;(2)求tanDAC的值及直线AC的解析式;(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线lx轴,与AC相交于点N,连接CM,求CMN面积的最大值【答案】见解析.【解析】解

    14、:(1)将A(2,1)代入反比例函数y,k2;(2)由(1)知,反比例函数解析式为y,点B(1,a)在反比例函数y的图象上,a2,点B(1,2)过B作BEAD于E,如下图所示,则AEBE21ABEBAE45又BAC75,DAC30DCtan30AD2,OC1,即C(0,1)设直线AC的解析式为ykx+b,解得直线AC的解析式为yx1(3)设M(m,),N(m,m1)则MN(m1)m+1,SCMN(m+1)mm2+m+(m)2+当m时,CMN的面积有最大值,最大值为.题型五:反比例函数中面积最值的求解例5.(2019达州)如图1,已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0),B(3,0).(1)

    15、求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;(2)设点D是x轴上一点,当tan(CAO+CDO)=4时,求点D的坐标;(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,BMP和EMN的面积分别为m、n,求mn的最大值.【答案】见解析.【解析】解:(1)把点(1,0),(3,0)代入yx2+bx+c,得,解得b2,c3,yx22x+3(x+1)2+4,此抛物线解析式为:yx22x+3,顶点C的坐标为(1,4);(2)由(1)知:抛物线对称轴为x1,设抛物线对称轴与x轴交于点H,H(1,0),在RtCHO中,CH4,OH1,tanCOH4,COHCAO

    16、+ACO,当ACOCDO时,tan(CAO+CDO)tanCOH4,如下图所示,当点D在对称轴左侧时,ACOCDO,CAOCAO,AOCACD,AC,AO1,AD20,OD19,D(19,0);当点D在对称轴右侧时,点D关于直线x1的对称点D的坐标为(17,0),点D的坐标为(19,0)或(17,0);(3)设P(a,a22a+3),设直线PA的解析式为:y=kx+b,将P(a,a22a+3),A(1,0)代入ykx+b,解得,ka3,ba+3,y(a3)x+a+3,当x0时,ya+3,N(0,a+3),如下图所示,m=SBPMSBPAS四边形BMNOSAON,n=SEMNSEBOS四边形BM

    17、NO,mnSBPASEBOSAON4(a22a+3)331(a+3)2(a+)2+,当a时,mn有最大值.题型六:二次函数中最值及最短路径题型例6.(2019绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,ABD的面积为5(1)求抛物线和一次函数的解析式;(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;(3)若点P为x轴上任意一点,在

    18、(2)的结论下,求PE+PA的最小值【答案】见解析.【解析】解:(1)由平移知,平移后得到的抛物线解析式为y=a(x-1)2-2,OA=1,点A的坐标为(-1,0),代入抛物线的解析式得,4a-2=0,得:a=,抛物线的解析式为,即令y=0,解得x1=-1,x2=3,B(3,0),AB=OA+OB=4,ABD的面积为5,SABD=AByD=5yD=,解得x1=-2,x2=4,D(4,),设直线AD的解析式为y=kx+b,解得:,直线AD的解析式为:y=x+.(2)过点E作EMy轴交AD于M,如下图所示,设E(a,a2a),M(a,a+),ME=a2+a+2,SACE=SAMESCME=(a23

    19、a4)=(a)2+,当a=时,ACE的面积有最大值,最大值是,此时E点坐标为(,)(3)作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作FHAE于点H,交轴于点P,AG=,EG=,,AGE=AHP=90sinEAG=,PH=AP,E、F关于x轴对称,PE=PF,PE+AP=FP+HP=FH,此时FH最小,EF=,AEG=HEF,sinAEG=sinHEF=FH=3即PE+PA的最小值是3例7.(2019潍坊)如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与M相切于点

    20、A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时,求点P的坐标【答案】见解析【解答】解:(1)AC为ABO的中线,点B(0,4),点C(0,2),点A(4,0),点M为线段AC的中点,即M(2,1);(2)P与直线AD,则CAD90,设CAO,则CAOODAPEH,tanCAOtan,则sin,cos,AC,则CD10,则D(0,8),设直线AD的解析式为:ymx+n:得:,解得:k=2,b=8,直线AD的表达式为:y2x8;(3)抛物线的表达式为:ya(x2)2+1,将点B坐标代入上式并解得:a,故抛物线的表达式为:yx23x+4,过点P作PHEF,则EHEF2,cosPEH得:PE5,设点P(x,x23x+4),则点E(x,2x8),则PEx23x+42x+85,解得x或2(舍),则点P(,)

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