2019-2020学年高三12月月考数学（文）试题（解析版）.doc

1、 2019-2020 学年高三月考（文数）试卷学年高三月考（文数）试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 60.0分）分） 1.已知集合ln1Axx， 20By yx，则 AB=( ) A. 0,e B. 0,+ C. 0,+ D. 0,e20,+ 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件计算出AB、集合，再计算并集. 【详解】集合 ln10Axxxxe ，200By yxy y，0ABx x， 故选 C. 【点睛】集合的描述法一定要辨别清楚集合所描述的对象，20By yx所描述的是函数值构成的 集合，易错. 2.复数 2 3 1 i z i ，则z （ ） A.

2、 5 B. 3 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算和乘方运算化简,求得复数3 4zi ,即可求解复数的模. 【详解】解 3(3)(1)24 1 2 1(1)(1)2 iiii i iii , 2 1234zii , 2 2 | |3( 4)5z . 故选:A 【点睛】 本题考查了复数的四则运算及复数模的计算,其中根据复数的除法运算及乘方运算求得复数,再利用 复数模的公式求模是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力. 3.命题“1,2x ， 2 20xa”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. 1a B. 2a C. 3a D. 4a 【答案】A 【解析

3、】 【分析】 “1,2x ， 2 20xa”为真命题可转化为 2 2,1,2xa x恒成立，可得2a，根据充分必要条件 可选出答案. 【详解】若“1,2x ， 2 20xa”为真命题，可得 2 2,1,2xa x恒成立 只需 2 min (2)2ax， 所以1a 时，1,2x ， 2 20xa”为真命题， “1,2x ， 2 20xa”为真命题时推出2a， 故1a 是命题“1,2x ， 2 20xa”为真命题的一个充分不必要条件， 选 A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2018 年

4、1 月至 2018 年 11 月期间“跑团” 每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线图中 11 个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断 BCD. 【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的

5、； 月跑步平均里程高峰期大致在 9，l0 月份，故 A，B，C 错.本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题. 5.已知向量a，b满足| 2a ，| 4b ， ()aab，则向量a在b方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 分析：先求a和b的夹角，再求向量a在b方向上的投影. 详解:因为 aab， 所以 2 ()42 4 cos,48cos,0,aabaa ba ba b 所以 12 cos,. 23 a ba b 所以向量a在b方向上的投影= 1 cos,2 ()1. 2 aa b 故答案为 A 点睛： （1）

6、本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) a在 b方向上的投影= cos,cos,.aa bba b 6.函数 2 ln1x f x x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出函数的的定义域，结合函数奇偶性的对称性以及函数值的对应性进行排除即可 【详解】因为函数 2 ln1x fx x ， fxf x，所以函数 f x是偶函数， 图象关于 y 轴对称，故排除 A、C选项； 又 ln1 20 2 f ， ln3 20 2 f，故排除 B选项. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶

7、性，对称性以及函数值的对应性，结合排 除法是解决本题的关键 7.将函数 cos 2 4 f xx 的图象向左平移 8 个单位，得到函数 g x的图象，则下列说法不正确的是 ( ) A. 1 62 g B. g x在区间 57 , 88 上是增函数 C. 2 x 是 g x图象的一条对称轴 D. ,0 8 是 g x图象的一个对称中心 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用三角函数的图象平移求得 g x，然后逐一分析四个选项得答案 详解：把函数 cos 2 4 f xx 的图像向平左移 8 个单位， 得到函数图象的解析式 1 22 84632 g xcosxcos xgcos （ ）（），（）

8、， 故 A 正确； 当 57 , 88 x 时， 57 2 44 xg x （， ）， （ ）在区间 57 , 88 是增函数，故 B 正确； 1 22 gcosx （）， 是 g x图象的一条对称轴，故 C正确； 2 842 gcos （）（） ， ,0 8 不是 g x图像的一个对称中心，故 D错误 故选 D 点睛：本题考查yAsinx（） 型函数的图象和性质，是基础题 8.已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ，则 2020 a（ ） A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用递推公式可验证出数列 n a为周期为3周期

9、数列，从而可得 20201 1 2 aa. 【详解】令1n ，则 2 1 1 1121a a 令2n，则 3 2 1 11 12a a 令3n，则 4 3 111 11 22 a a 数列 n a为周期为3的周期数列 2020673 3 11 1 2 aaa 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列， 从而利用周期将所求值进行化简. 9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 8 6 3 B. 16 C. 8 D. 24 【答案】C 【解析】 由三视图可知：该几何体为三棱锥，由正视图及侧视图可知底面三角形

10、的底为 4，由侧视图可知底面三角 形的高为2 3，三棱锥的高为2 3，故可得几何体的体积 11 =4 2 32 3=8 32 V ，故选 C. 10.执行如图所示的程序框图，如果输入 n3，则输出的 S（ ） A. 7 6 B. 3 7 C. 8 9 D. 4 9 【答案】B 【解析】 【分析】 列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【详解】判断前1,3,0inS, 第 1次循环, 1 ,2 1 3 Si , 第 2次循环, 11 ,3 1 33 5 Si , 第 3次循环, 111 1 33 55 7 S , 4i ,此时,in,满足判断框的条件,结束循环,输出结 果:

11、 1111111113 1 1 33 55 723355 77 S 故选:B 【点睛】本题考查程序框图中循环结构,考查裂项求和,难度较易. 11.已知定义在 R 上的偶函数 f x，其导函数为 fx当0x时，恒有 0 2 x fxfx，若 2 g xx f x，则不等式 1 2g xgx的解集为 A. 1 ,1 3 B. 1 ,1, 3 C. 1 , 3 D. 1 , 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 ( )f x为偶函数，则( )g x 也为偶函数，利用导数可以判断( )g x在0,为减函数，则不等式 ( )(12 )g xgx 可转化为12xx，解不等式即可得到答案 【详解】解：

12、f x是定义在 R上的偶函数， ()( )fxf x 0x时，恒有( )()0 2 x f xfx， 2 ( )2( )0x f xxf x 又 2 ( )( )g xx f x， 2 ( )2( )( )0g xxf xx f x ( )g x在0,为减函数 ( )f x为偶函数， ( )g x也为偶函数 ( )g x在(,0)为增函数 又( )(12 )g xgx，12xx， 即 22 (12 )xx ， 化简得(1)(31)0xx， 得 1 1 3 x 故 选 A 【点睛】通过构造新函数来研究函数单调性是本题一大亮点，同时利用抽象函数的单调性、奇偶性解不等 式是常考考点，要牢牢掌握 12

13、.已知 12 FF， 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 12 PFPF，线段 1 PF的垂直平 分线过 2 F，若椭圆的离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e，则 2 1 e2 e2 的最小值为（） A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 ，再利用均值不等式得到答案. 【详解】设椭圆长轴 1 2a，双曲线实轴 2 2a，由题意可知： 122 2FFF Pc， 又 121122 2 ,2FPF PaFPF Pa， 1112 22 ,22FPcaFPca， 两式相减，可

14、得： 12 2aac， 2 2112 122 242 222 eaa acc ecaca ， 2 22 22 2222 1222 4 2842 42 2222 caacecaacac ecacaca . ， 22 22 2 222 22 aacc caca ，当且仅当 2 2 2 2 ac ca 时等立， 2 1 e2 e2 的最小值为 6， 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2 1 e2 e2 是解题的关键，意在考查 学生的计算能力. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0分）分） 13.从 2、3、8、9 任取两个

15、不同的数值，分别记为 a、b，则为整数的概率= 【答案】 1 6 【解析】 试题分析：从 2，3，8，9 中任取两个数记为, a b，作为作为对数的底数与真数，共有 2 4 12A 个不同的基 本事件，其中为整数的只有 23 log 8,log 9两个基本事件，所以其概率 21 126 P . 考点：古典概型. 14.设变量 x，y满足约束条件 10 10 0 xy xy x ，则目标函数3zxy的最小值为_. 【答案】-3 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的 坐标,代入目标函数得答案. 【详解】由约束条件 10

16、10 0 xy xy x 作出可行域如图: 化目标函数3zxy为3yxz 由图可知，当直线3yxz过点1,0B 时,直线在 y轴上的截距最大,z有最小值为3z . 故答案为:-3. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 15.在四面体SABC中，ABBC， 2ABBC ，2SASC，6SB ，则该四面体外接球的 表面积是_. 【答案】6 【解析】 【分析】 取SB中点O,连接OA OC,由题意可得90SABSCB,由直角三角形的性质可得O点为四面体的 外接球球心,再由球的表面积公式计算即可得到. 【详解】取SB的中点O,连OA OC,在SBA中，6,2,2S

17、BABSA由 222 ABSASB可得 90SAB 即有OAOBOS,同理可得OCOBOS,则O为四面体SABC的外接球球心,且半径 为 6 2 ,则该四面体外接球的表面积是 6 46 4 . 故答案为: 6. 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积考查学生的空间想象能力，难度一般. 16.已知数列 n a的通项公式为(1) n an n，数列 n b的通项公式为31 n bn，将数列 n a、 n b中的 共有元素依次取出，构成数列 n c，则 10 c _. 【答案】812 【解析】 解法一： 因为1 n an n,31 n bn， 所以当1n 时， 1 1 22a ， 此时 1 2b ，

18、满足题意， 即 1 2c . 易知31 n bn是一个公差为 3 的等差数列，假设1n n与1nknk是 n c中相邻的两项，则 1nknk 121n nk kn必须是 3 的倍数， 显然， 当 3,6,9,k 时， 一定满足此关系， 从而可以发现 n c中的项是 12，45，78， 依此类推，可得 10 28 29812c. 解法二：依题意，令131n nm， * ,m nN，即 2 213 41nm，故41m为某个奇数平方 的 3 倍，设 2 41321mk ，则213 21nk ， 于是32nk， 2 331,1,2,3,mkkk 这时 2 131992 k cn nmkk ，故 10

19、900902812c. 故答案为 812 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0分）分） 17.已知函数 coscos3sinf xxxx （1）求 f x的最小值； （2） 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 1f C ， 3 3 4 ABC S，7c ， 求ABC 的周长 【答案】 （1） 1 2 ;（2）4 7. 【解析】 【详解】试题分析:（1）将函数4 7 的解析式进行化简，先展开，再进行降幂，应用辅角公式转化为 sin()Ax 的形式.（2）由于7,c 只需求出a b的值，应用面积公式求出ab，再由余弦定理计算 出 22 ab的值，

20、故 2 ()2.ababab 试题解析:（1） 2 1 cos231 coscos3sincos3sin cossin2sin 2 2226 x f xxxxxxxxx 当sin 21 6 x 时， f x取最小值为 1 2 （2） 1 sin 21 26 f CC ， 1 sin 2 62 C ， 0,C， 13 2, 666 C ， 3 C 13 3 sin 24 ABC SabC ，3ab， 由余弦定理得 22 2cos7 3 abab ， 2 16ab即4ab ， 47abc ，所以ABC的周长为47 考点：1、三角恒等变换；2、解三角形. 18.某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解

21、同学对社团活动的满意程度，随机选取了 100 位同学进行问 卷调查，并将问卷中的这 100人根据其满意度评分值（百分制）按照40，50） ，50，60） ，60，70） ， 90，100分成 6组，制成如图所示频率分布直方图 （1）求图中 x的值； （2）求这组数据的中位数； （3）现从被调查的问卷满意度评分值在60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取 5 人进行座谈了解，再从 这 5人中随机抽取 2人作主题发言，求抽取的 2人恰在同一组的概率 【答案】 （1）0.02； （2）75； （3）0.4 【解析】 【分析】 （1）由面积和为 1，可解得 x的值； （2）由中位数两侧的面积相等，可解

22、得中位数； （3）列出所有基本事件共 10 个，其中符合条件的共 4个，从而可以解出所求概率 【详解】解： （1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x） 10=1，解得 x=0.02 （2）中位数设为 m，则 0.05+0.1+0.2+（m-70） 0.03=0.5，解得 m=75 （3）可得满意度评分值在60，70）内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为 a1，a2 满意度评分值在70，80）内有 30人，抽得样本3 人，记为 b1，b2，b3， 记“5人中随机抽取 2人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A， 基本事件有（a1，a2） ， （a1，

23、b1） ， （a1，b2） ， （a1，b3） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a2，b3） ， （b1，b2） ， （b1，b3） ， （b2，b3）共 10个，A包含的基本事件个数为 4个， 利用古典概型概率公式可知 P（A）=0.4 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题 19.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABAD，PA平面 ABCD，E是棱 PC 上一点. （1）证明：平面 ADE平面 PAB. （2）若 PE4EC，O为点 E 在平面 PAB 上的投影，3AD ，ABAP2CD2，求四棱锥 PADEO

24、的体积. 【答案】 （1）证明见解析（2）12 3 25 【解析】 【分析】 (1) 由 PA平面 ABCD,可得 PAAD，又 ABAD,则 AD平面 PAB即可证得结论; (2) 取 AB 的中点 F可得 CFAB,进而有 CF面 PAB,即 EOCF,可知 O 点在线段 PF上,由已知可得 PO 4OF即 44 55 OECFAD,因为:=5:4 AODAEO SS,则 99 55 += P ADEOP AODP AEOP AODD AOP VVVVV ，因为 44 55 PAOPAF SS,代入即可得出结果. 【详解】 （1）证明：因为 PA平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以

25、PAAD， 又 ABAD，PAABA，所以 AD平面 PAB， 又AD 平面 ADE，所以平面 ADE平面 PAB； （2）解：取 AB 的中点 F， 所以 CFAD，则 CFAB， 又 PACF，PAABA，所以 CF面 PAB， 则 EOCF，即 O 点在线段 PF上， 又 PE4EC，所以 PO4OF， 44 55 OECFAD， 则 99 55 P ADEOP AODD AOP VVV ， 44 55 PAOPAF SS， 14 3 315 D AOPAOP VAD S ， 12 3 25 P ADEO V . 【点睛】本题考查面面垂直的判定,考查四棱锥体积的求法,借助底面积之间的比值

26、将四棱锥的体积转化为求 三棱锥的体积,借助等体积转化求出三棱锥体积,难度一般. 20.已知椭圆 22 22 1(0) yx Cab ab ：的长轴与短轴比值是 2，椭圆 C过点 1 3 2 ，. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点0,Pm作圆 x2+y2=1切线l交椭圆 C于 A， B两点， 记 AOB （O为坐标原点） 的面积为 S AOB， 将 S AOB表示为 m的函数，并求 S AOB的最大值 【答案】 （1） 2 2 1 4 y x（2） 2 2 3 3 AOB m S m ，m（-，-11，+） ；SAOB的最大值为 1 【解析】 【分析】 (1) 由已知可知2ab,及椭圆

27、 C过点 1 3 2 ，,代入椭圆方程即可求得, a b,进而得出结果. (2) 由题设知切线l的斜率存在,设切线l的方程为y kxm ，与椭圆方程联立求得弦长AB,由于l与圆 22 1xy相切,可得 2 1 m k =1,化简可得 2 2 31 23 AOB m SAB m ,利用基本不等式化简即可求得结果. 【详解】解： （1）椭圆 22 22 10 yx Cab ab ： 的长轴与短轴比值是 2， 2ab，设椭圆 C 的方程为： 22 22 1 4 yx bb ， 椭圆 C 过点 1 3 2 ， 22 31 1 44bb ，12ba， 椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 y x. （

28、2）由题意知,1m . 由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y kxm ， 由 2 2 1 4 ykxm y x ，得 222 4240kxkmxm， 设 A、B两点的坐标分别为（x1，y1） （x2，y2） ， 则 2 1212 22 24 44 kmm xxx x kk ， 又l与圆 22 1xy相切， 2 1 m k =1， 22 1km， AB= 22 121 2 1()4kxxx x = 2 22 2 222 44 4 1 (4)4 m k m k kk = 2 4 3 3 m m ， 2 2 31 23 AOB m SAB m ,(, 11,)m 2 32 3 1 3 3 2

29、 AOB S m m m m （当且仅当3m 时取等号） 当3m 时，SAOB的最大值为 1. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的关系,考查利用基本不等式求解三角形的面积范围问题, 难度较难. 21.函数 ( )()(0) x f xxbeab的图象在 1x处的切线方程是( 1)10exeye . （1）求 a，b的值； （2）若0m，证明： 2 ( )f xmxx. 【答案】 （1）1a ，1b.（2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1)由切线方程求出斜率和切点,分别代入导函数及原函数,解方程即可求得, a b; (2)由(1)可知 11 x f xxe,由 0m,可得 2

30、 xmxx,要证得 2 ( )f xmxx,只需证 (x)xf, 构造 g xf xx,求导化简可知 g x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增,求得 min 00g xg即可证得(x)xf,进而得出结论. 【详解】解： （1）由110exeye 得该切线斜率为 1e e 且10f ， 所以 1 110fba e ， 解得 1 a e 或1b， 又 1 x fxxbea ， 所以 1 1 be fa ee ， 若 1 a e ，则20be ，与0b矛盾， 故1a ，1b. （2）证明：由（1）可知 11 x f xxe， 由0m，可得 2 xmxx， 令 11 x g xxex， 22

31、x g xxe， 当2x时， 2220 x g xxe ， 当2x时，设 22 x h xg xxe， 30 x h xxe， 故函数 g x 在2,上单调递增，又 00 g ， 所以当 ,0x 时， 0gx ， 即函数 g x在区间,0上单调递减， 当0,x时， 0g x ， 即函数 g x在区间0,上单调递增， min 00g xg， 所以 2 0011 x g xgxexmxx ， 即 2 f xmxx. 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查导数在求极值和最值中的应用,考查利用导数证明不等式,难度较难. 请考生在请考生在 22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答

32、时请写清题、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题 号号 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 13 xt yt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 cos30 （1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，设1,1M，求 11 MAMB 的值 【答案】 （1） 22 :230C xyx ，:3310lxy ； （2） 15 3 . 【解析】 【分析】 （1）在曲线C的极坐标方程中，由 222 xy， cosx可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方 程，

33、在直线l的参数方程中消去参数t，可得出直线l的普通方程； （2）将直线l的参数方程表示为 1 1 2 3 1 2 xt yt （t为参数） ，并设点A、B对应的参数分别为 1 t、 2 t，将直 线l的参数方程与曲线C的普通方程联立，得出关于t的二次方程，并列出韦达定理，可计算出 12 1 2 11tt MAMBt t 的值. 【详解】 （1）在曲线C的极坐标方程中，由 222 xy， cosx可得出曲线C的普通方程为 22 230xyx ，即 2 2 14xy. 在直线l的参数方程中消去t得331xy，即3310xy ； （2）直线l的参数方程表示为 1 1 2 3 1 2 xt yt （t

34、为参数） ， 并设点A、B对应的参数分别为 1 t、 2 t， 将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，消去x、y得 2 330tt . 由韦达定理得 12 3tt， 1 2 30t t . 因此， 2 2 121 2 1212 1 21 21 2 343 4 1115 33 ttt ttttt MAMBt tt tt t . 【点睛】 本题考查极坐标方程、 参数方程与普通方程之间的互化， 同时也考查了直线参数方程t的几何意义， 对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中 等题. 23.已知函数 f(x)|xa|x2|. (1)当 a3

35、时，求不等式 f(x)3 的解集； (2)若 f(x)|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 【答案】(1) x|x4 或 x1；(2) 3，0. 【解析】 试题分析： （1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即 得所求 （2）原命题等价于-2-xa2-x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围 试题解析： （1）当 a3 时，f（x） 25,2 1,23 25,3 xx x xx 当 x2 时，由 f（x）3 得2x53，解得 x1； 当 2x3 时，f（x）3 无解； 当 x3 时，由 f（x）3 得 2x53，解得 x4. 所以 f（x）3 的解集为x|x1 或 x4 6 分 （2）f（x）|x4|x4|x2|xa|. 当 x1，2时，|x4|x2|xa|（4x）（2x）|xa| 2ax2a， 由条件得2a1 且 2a2，解得3a0， 故满足条件的实数 a 的取值范围为3，0 考点：绝对值不等式解法；带绝对值的函数