上海市崇明区2020年高考二模 数学试卷 （解析版）.doc

1、2020 年上海市崇明区高考数学二模试卷 一、填空题 1行列式的值等于 2设集合 Ax|1x2，Bx|0x4，则 AB 3已知复数 z 满足i，i 为虚数单位，则 z 4已知函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x），则 f1（3） 5已知某圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积等于 6（2x2）4的展开式中含 x5项的系数是 （用数字作答） 7若 sin（），则 cos2 8已知数列an是无穷等比数列，其前 n 项和为 Sn，若 a2+a33，a3+a4，则 9将函数 f（x）sinx 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 yg（x）的图象， 若对满足|f （x1）

2、g （x2） |2 的任意 x1， x2， |x1x2|的最小值是 ， 则 的最小值是 10已知样本数据 x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5， 且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 11在ABC 中，（cosx，cosx），（cosx，sinx），则ABC 面积的最大值 是 12 对于函数 f （x） ， 其定义域为 D， 若对任意的 x1， x2D， 当 x1x2时都有 f （x1） f （x2） ， 则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”，若函数 f（x）定义域为 D1，2，3，4，5， 6，值域为 A7，8，9，则函数 f（x）是“不

3、严格单调增函数”的概率是 二、选择题 13若矩阵是线性方程组 的系数矩阵，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 14若抛物线 y28x 的焦点 F 与双曲线1 的一个焦点重合，则 n 的值为（ ） A1 B1 C2 D13 15设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，）， 则“数列An为等差数列”的充要条件是（ ） Aan是等差数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等差数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同

4、 16已知函数 f（x）m 2x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合 Bx|ff（x） 0，xR，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ） A0，4） B1，4） C3，5 D0，7） 三、解答题 17如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点 （1）求直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小； （2）求点 C 到平面 A1BE 的距离 18已知函数 f（x）2x （1）判断 f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由 19某开发商欲将一块如图所示的四边形空

5、地 ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个 封闭的施工区域， 经测量， 边界 AB 与 AD 的长都是 2千米， BAD60， BCD120 （1）如果ADC105，求 BC 的长（结果精确到 0.001 千米）； （2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到 0.001 千 米） 20已知椭圆：1 的右焦点为 F，直线 xt（t（， ）与该椭圆交于 点 A、B（点 A 位于 x 轴上方），x 轴上一点 C（2，0），直线 AF 与直线 BC 交于点 P （1）当 t1 时，求线段 AF 的长； （2）求证：点 P 在椭圆上； （3）求证：SPAC 21在无穷数列

6、an中，anN*，且 an+1，记an的前 n 项和为 Sn （1）若 a110，求 S9的值； （2）若 S317，求 a1的值； （3）证明：an中必有一项为 1 或 3 参考答案 一、填空题 1行列式的值等于 2 【分析】利用行列式的计算公式即可得出 解：行列式14232 故答案为：2 2设集合 Ax|1x2，Bx|0x4，则 AB x|0x2 【分析】 由题意通过数轴直接求出 A 和 B 两个集合的公共部分， 通过数轴求出就是 AB 即可 解：集合 Ax|1x2，Bx|0x4， 所以 ABx|1x2x|0x4x|0x2 故答案为：x|0x2 3已知复数 z 满足i，i 为虚数单位，则

7、z 12i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：i，i， z 12i 故答案为：12i 4已知函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x），则 f1（3） 1 【分析】令 f（x）3 解得 x1，所以函数 f（x）过点（1，3），故函数 f（x）的反函 数过点（3，1），即 f1（3）1 解：函数 f（x）2x+1，其反函数为 yf1（x）， 令 f（x）3 得，2x+13，x1， 函数 f（x）过点（1，3）， 故函数 f（x）的反函数过点（3，1），即 f1（3）1， 故答案为：1 5已知某圆锥的正视图是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积等于 【分析】圆锥的底面直径为 2，母

8、线为 2，求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积 解：由已知，圆锥的底面直径为 2，母线为 2，圆锥的高为： 则这个圆锥的体积是12 故答案为： 6（2x2）4的展开式中含 x5项的系数是 32 （用数字作答） 【分析】先写出展开式的通项，然后求出含 x5项的 k 的值，再求出该项的系数 解：由已知得（2x2）4的展开式的通项为： ， 令 83k5 得 k1 故该项的系数为： 故答案为：32 7若 sin（），则 cos2 【分析】先利用诱导公式求得 cos，再利用二倍角的余弦公式，即可求得结论 解：sin（），cos cos22cos21 故答案为： 8 已知数列an是无穷等比数列， 其前 n 项

9、和为 Sn， 若 a2+a33， a3+a4， 则 8 【分析】求出等比数列的首项与公比，然后求解数列的前 n 项和，然后求解极限即可 解：数列an是无穷等比数列，其前 n 项和为 Sn，若 a2+a33，a3+a4 ， q 所以 a1（）3，解得 a14， Sn， 则8 故答案为：8 9将函数 f（x）sinx 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 yg（x）的图象， 若对满足|f （x1） g （x2） |2 的任意 x1， x2， |x1x2|的最小值是 ， 则 的最小值是 【分析】先根据左加右减得到 g（x）的解析式，然后根据三角函数的性质可知，两个相 邻的最值点的函数值的差为 2此

10、时它们横坐标差的绝对值为 ，据此求出 的值 解：由已知得 f（x1）sinx1，g（x2）sin（x2） 因为|f（x1）g（x2）|2，所以 f（x1），g（x2）一个取得最大值，另一个取最小值 不妨设， 由已知得，k，mZ结合 0 当 km，时成立 故答案为： 10已知样本数据 x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5， 且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 7 【分析】设样本数据 x1，x2，x3，x4中最大的为 x1，由平均数和方差公式可得 x1+x2+x3+x4 16 和 x12+x22+x32+x4284，再讨论样本数据中的最大值的情况

11、，分析可得答案 解：根据题意，设样本数据 x1，x2，x3，x4中最大的为 x1， 样本数据 x1，x2，x3，x4的平均数为 4，方差为 5， 则有 （x1+x2+x3+x4）4，即 x1+x2+x3+x416， （x12+x22+x32+x424 2）5，则有 x 1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 284， 若 x19，即样本数据中最大值是 9，有 x2+x3+x47，x22+x 3 2+x 4 23，不成立， 若 x18，即样本数据中最大值是 8，有 x2+x3+x48，x22+x 3 2+x 4 220，不成立， 若 x17，即样本数据中最大值是 7，有 x2+x3+x49，x2

12、2+x32+x 4 225，此时四个数据可 以为 7、1、3、5，符合题意； 故样本数据中的最大值是 7； 故答案为：7 11在ABC 中，（cosx，cosx），（cosx，sinx），则ABC 面积的最大值 是 【分析】将点 A 置于直角坐标系中的原点，则运用平面向量坐标表示得到面积 S|sin （2x）|，进而可求得其范围 解：将点 A 置于直角坐标系中的原点，则 B（cosx，cosx），C（cosx，sinx）， |AC| 1；|AB|2|cosx|； xAB； 故 AB 与 AC 的夹角为|x|； ABC 的面积 S|AB|AC|sinCAB1|2cosx|sin（x ）| sin

13、xcosx cos2x|sin2x|sin（2x）|， 故答案为： 12 对于函数 f （x） ， 其定义域为 D， 若对任意的 x1， x2D， 当 x1x2时都有 f （x1） f （x2） ， 则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”，若函数 f（x）定义域为 D1，2，3，4，5， 6，值域为 A7，8，9，则函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率是 【分析】基本事件总数 n666216，由函数 f（x）是“不严格单调增函数”，得 f （1）7，f（6）9，7f（2）f（3）f（4）f（5）9，f（2），f（3），f（4）， f（5）都有可能是 8，函数 f（x）是“不严格单调增函

14、数”包含的基本事件个数 m4， 由此能求出函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率 解：对于函数 f（x），其定义域为 D，若对任意的 x1，x2D， 当 x1x2时都有 f（x1）f（x2），则称函数 f（x）为“不严格单调增函数”， 函数 f（x）定义域为 D1，2，3，4，5，6，值域为 A7，8，9， 基本事件总数 n666216， 函数 f（x）是“不严格单调增函数”，f（1）7，f（6）9， 7f（2）f（3）f（4）f（5）9， 且 f（2），f（3），f（4），f（5）7，8，9， f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是 8， 函数 f（x）是“不严格单调增函数”包

15、含的基本事件个数 m4， 则函数 f（x）是“不严格单调增函数”的概率是 p 故答案为： 二、选择题 13若矩阵是线性方程组 的系数矩阵，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 【分析】本题根据线性方程组的系数矩阵的定义可写出线性方程组的系数矩 阵，然后根据矩阵相等即可得到 a、b 的值 解：依题意，由线性方程组的系数矩阵的定义，可知 线性方程组的系数矩阵为， 即， a1，b1 故选：A 14若抛物线 y28x 的焦点 F 与双曲线1 的一个焦点重合，则 n 的值为（ ） A1 B1 C2 D13 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件列出方程，即可

16、得到结 果 解：抛物线 y28x 的焦点 F（2，0）与双曲线 1 的一个焦点重合， 可得 2，解得 n1 故选：B 15设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，）， 则“数列An为等差数列”的充要条件是（ ） Aan是等差数列 Ba1，a3，a2n1，或 a2，a4，a2n，是等差数列 Ca1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列 Da1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同 【分析】Ai2（ai+ai+1），可得：Ai+1Ai2（ai+2ai），利用等差数列的定义通项公 式即可判断出结论 解：Ai2（ai

17、+ai+1）， Ai+1Ai2（ai+2+ai+1）2（ai+ai+1）2（ai+2ai）， 若数列An为等差数列，则 ai+2ai为常数，可得：a1，a3，a2n1，和 a2，a4， a2n，都是等差数列，且公差相同 反之也成立 “数列An为等差数列”的充要条件是：a1，a3，a2n1，和 a2，a4，a2n， 都是等差数列，且公差相同 故选：D 16已知函数 f（x）m 2x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合 Bx|ff（x） 0，xR，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ） A0，4） B1，4） C3，5 D0，7） 【分析】由x|f（x）0x|f（f（

18、x）0可得 f（0）0，从而求得 m0；从而化 简 f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0，从而讨论求得 解：设 x1x|f（x）0x|f（f（x）0， f（x1）f（f（x1）0， f（0）0， 即 f（0）m0， 故 m0； 故 f（x）x2+nx， f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0， 当 n0 时，成立； 当 n0 时，0，n 不是 x2+nx+n0 的根， 故n24n0， 解得：0n4； 综上所述，0n+m4； 故选：A 三、解答题 17如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点 （1）求直线 BE 与平面 ABCD 所成

19、的角的大小； （2）求点 C 到平面 A1BE 的距离 【分析】（1）由已知可得EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角，求其正切值，再由 反三角表示即可； （2）以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，分别求出平面 A1BE 的一个法向量 与的坐标，可得点 C 到平面 A1BE 的距离 d 解：（1）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，ED底面 ABCD， EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角 底面边长为 2，BD， 又 DE1，tan 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小为； （2）以 A 为坐标原点，分

20、别以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系 则 B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0）， ， 设平面 A1BE 的一个法向量 由，取 y1，得 点 C 到平面 A1BE 的距离 d 18已知函数 f（x）2x （1）判断 f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断证明即可 （2）先求出 f（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可 解：（1）当 a0 时，f（x）在其定义域上是增函数， 证明：设 x1x2，则 f（x1）

21、f（x2） （） （）（1）， x1x2，a0， 0 则 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），即函数 f（x）为增函数 （2）f（x）2xa 2x， 若 f（x）是奇函数，则 f（x）f（x），得 2xa 2x（2xa 2x）2x+a 2x， 即 2x+2xa（2x+2x）， 得 a1，即当 a1 时，函数 f（x）是奇函数， 当 a1 时，f（x）f（x）且 f（x）f（x），即函数 f（x）既不是奇函数也不是 偶函数 19某开发商欲将一块如图所示的四边形空地 ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个 封闭的施工区域， 经测量， 边界 AB 与 AD 的长都是 2千米， BA

22、D60， BCD120 （1）如果ADC105，求 BC 的长（结果精确到 0.001 千米）； （2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到 0.001 千 米） 【分析】（1）连接 BD，由题意可得ABD 为正三角形，可得 BDAD2，且ADB 60，进而可得ADC45，在BCD 中由正弦定理可得 CD 的值， （2）在BCD 中由正弦定理可得 CD，BC 的值，进而求出四边形的周长 解：（1）连接 BD，在ABD 中，因为BAD60，ABAD，所以ABD 为等边三 角形，所以 BD2， 因为ADC105，所以BDC1056045， 在 BCD 中 ， 由 正 弦

23、 定 理 可 得， 所 以 BC sin45 1.633 千米， （2）由（1）可得，而DBC1801204515， 所以 CD sin15 ， 所以四边形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD2+2+1.6666.309 千米 20已知椭圆：1 的右焦点为 F，直线 xt（t（， ）与该椭圆交于 点 A、B（点 A 位于 x 轴上方），x 轴上一点 C（2，0），直线 AF 与直线 BC 交于点 P （1）当 t1 时，求线段 AF 的长； （2）求证：点 P 在椭圆上； （3）求证：SPAC 【分析】 （1）求得椭圆的右焦点 F，以及点 A 的坐标，运用两点的距离公式可得所求值； （

24、2）设 A（x1，y1），B（x1，y1），求得直线 AF，BC 的方程，求得交点 P 的坐标， 代入椭圆方程，检验即可得证； （3）设直线 AP 的方程为 xmy+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合三角形的面积 公式和基本不等式，注意等号成立的条件，可得证明 解：（1）椭圆：1 的右焦点为 F（1，0）， 直线 x1 与该椭圆交于点 A，B，点 A 位于 x 轴上方，可得 A（1，），则 |AF|； （2）证明：设 A（x1，y1），B（x1，y1），则 x12+2y122， 直线 AF 的方程为 y（x1），BC 的方程为 y （x2），解得 P（， ）， 由（）2+2（）22，则 P

25、在椭圆上； （3）证明：SPAC|CF| |yAyP|yAyP|， 设直线 AP 的方程为 xmy+1，联立椭圆方程 x2+2y22， 可得（2+m2）y2+2my10，yA+yP ，yAyP ， 所以 SPAC ， 当且仅当 m0 时，上式取得等号， 则 SPAC 21在无穷数列an中，an一、选择题*，且 an+1，记an的前 n 项和 为 Sn （1）若 a110，求 S9的值； （2）若 S317，求 a1的值； （3）证明：an中必有一项为 1 或 3 【分析】（1）根据递推公式列出数列an中的项，找出规律，发现周期性，即可求出 S9 的值； （2）根据题意分析情况，进行求解，即可得

26、出答案； （3）先证明一定存在某个 ai，使得 ai6 成立，再进行检验，即可得到答案 解：（1）当 a110 时，an中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1，； 即数列an从第 4 项起每 3 项是一个周期， 所以 S3a1+a2+a323， S6S3a4+a5+a67， S9S6a7+a8+a97； 所以 S9S6+7S3+2723+1437； （2）若 a1是奇数，则 a2a1+3 是偶数，a3 ， 由 S317，得 a1+（a1 +3） 17，解得 a15，适合题意； 若 a1是偶数，不妨设 a12k（kN*），则 a2 a1k，a3， 由 S317，得 2k+k 17，

27、此方程无整数解； 若 k 是奇数，则 a3k+3， 由 S317，得 2k+k+（k+3）17，此方程也无整数解； 综上知，a15 （3）证明：先证明一定存在某个 ai，使得 ai6 成立；否则，对每一个 iN*，都有 ai 6； 则在 ai为奇数时，必有 ai+2 ai； 在 ai为偶数时，有 a i+2 3ai，或 ai+2ai； 因此，若对每一个 iN*，都有 ai6，则 a1，a3，a5，单调递减； 注意到 anN*，显然这一过程不可能无限进行下去； 所以必定存在某个 ai，使得 ai6 成立； 经检验，当 ai2，或 ai4，或 ai5 时，an中出现 1； 当 ai6 时，an中出现 3； 综上知，an中总有一项为 1 或 3