天津市河东区2020年高考一模 数学试卷 （解析版）.doc

1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题一、选择题 1已知集合已知集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则，则 AB（ ） A2，3，4 B2，4，5 C1，2，3，4，0，1，2，3， ，4，5 D2，4 2i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数 Z 满足条件满足条件 2Z+|Z| 2i，则复数，则复数 Z 在复平面的坐标为（在复平面的坐标为（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 3双曲线双曲线1（a0）的一条渐进线与直线）的一条渐进线与直线 yx 垂直，则垂直，则 a 的值为（的值为（ ） A5 B25 C D1 4已知平

2、面已知平面 、，直线，直线 l，直线，直线 m 不在平面不在平面 上，下列说法正确的是（上，下列说法正确的是（ ） A若若 ，m，则，则 lm B若若 ，m，则 ，则 lm C若若 1m，则，则 m D若若 lm，m，则 ，则 5对于非零向量对于非零向量 、 ，“，“2”是“”是“ ， 共线”的（共线”的（ ） A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 6已知函数已知函数 f（x）为定义在）为定义在3，3的奇函数，且的奇函数，且 f（2）f（1）f（3）0，则下列各，则下列各 式一定正确的是（式一定正确的是（

3、 ） Af（1）f（log2）f（0）f（log 9） ） Bf（log 9）+f（1）f（log2）+f（ （0） Cf（log 9）+f（1）f（1）f（log28） Df（log 9）+f（1）f（log2）+f（ （0） 7三角形三角形 ABC 中，中，A，B，C 对应的边分别为对应的边分别为 a，b，c，A，b3，三角形，三角形 ABC 的面积为的面积为，则边，则边 a 的值为（的值为（ ） A B C7 D49 8已知实数已知实数 a、b，ab0，则，则的最大值为（的最大值为（ ） A B C D6 9已知函数已知函数 f（x）sin（4x）（）（x0，），函数，函数 g（x）f（

4、x）+a 有三个零点有三个零点 x1，x2，x3，则，则 x1+x2+x3的取值范围是（的取值范围是（ ） A， B， C0，） D，） 二、填空题二、填空题 10在（在（）5的展开式中，的展开式中，xy3的系数是的系数是 11 已知抛物线的焦点为 已知抛物线的焦点为 F （0，） ， 点） ， 点 P （1， t） 在抛物线上， 则点） 在抛物线上， 则点 P 到到 F 的距离的距离 12已知圆已知圆 O 过点过点 A（0，0）、）、B（0，4）、）、C（1，1），点），点 D（3，4）到圆）到圆 O 上的点最小上的点最小 距离为距离为 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为正四棱锥的高与底

5、面边长相等且体积为 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中中 点的球的表面积为点的球的表面积为 14已知圆已知圆 O 内接正三角形内接正三角形 ABC 边长为边长为 2，圆心为，圆心为 O，则，则 ，若线段，若线段 BC 上一点上一点 D，BDDC， 15函数函数 f（x）x，g（x）x2x+3，若存在，若存在 x1，x2，xn0， ，使得，使得 f（x1）+f（x2） ） +f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（ （x2）+g（xn 1）+f（xn），），nN*，则，则 n 的最大的最大 值为值为 三、解答题三、解答题 16已知递增等差数列已知递增等

6、差数列an，等比数列，等比数列bn，数列，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等成等 比数列，比数列，bnan+cn，nN* （1）求数列）求数列an、bn的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列cn的前的前 n 项和项和 Sn 17“海河英才”行动计划政策实施“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止年半以来，截止 2019 年年 11 月月 30 日，累计引进各类日，累计引进各类 人才落户人才落户 23.5 万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才获得者等顶尖领

7、军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 （1）李军抽取了）李军抽取了 8 人其中学历型人才人其中学历型人才 4 人，技能型人才人，技能型人才 3 人，资格型人才人，资格型人才 1 人，周二和人，周二和 周五随即进行采访，每天周五随即进行采访，每天 4 人（人（4 人任意顺序），周五采访学历型人才人任意顺序），周五采访学历型人才不超过不超过 2 人的概人的概 率：率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元元/人，技能型人才人，技能型人才 4

8、00 元元/人， 资格型人才人， 资格型人才 600 元元/人， 则创业急需型人才最少需要多少元人， 则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均 人使每名人才平均 采访补贴费用大于等于采访补贴费用大于等于 500 元元/人？人？ 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，PA平面平面 ABCD，正方形，正方形 ABCD 边长为边长为 2，E 是是 PA 的的 中点中点 （1）求证：）求证：PC平面平面 BDE； （2）求证：直线）求证：直线 BE 与平面与平面 PCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为，求，求 PA 的长度；的长度； （3）若）若 PA2，线段，线段 PC 上

9、是否存在一点上是否存在一点 F，使，使 AF平面平面 BDE，若存在，求，若存在，求 PF 的长的长 度，若度，若不存在，请说明理由不存在，请说明理由 19已知椭圆已知椭圆1（ab0）的右焦点为）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为），左右顶点分别为 A，B，上顶，上顶 点为点为 C，BFC120 （1）求椭圆离心率；）求椭圆离心率； （2）点）点 F 到直线到直线 BC 的距离为的距离为，求椭圆方程；，求椭圆方程； （3）在（）在（2）的条件下，点）的条件下，点 P 在椭圆上且异于在椭圆上且异于 A，B 两点，直线两点，直线 AP 与直线与直线 x2 交于点交于点 D，说明，说明 P 运

10、动时以运动时以 BD 为直径的圆与直线为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明 的位置关系，并证明 20已知函数已知函数 f（x）x2x+klnx，k0 （1）函数）函数 f（x）在点（）在点（1，f（1）处的切线的斜率为）处的切线的斜率为 2，求，求 k 的值；的值； （2）讨论函数）讨论函数 f（x）的单调性；）的单调性； （3）若函数）若函数 f（x）有两个不同极值点为）有两个不同极值点为 x1、x2，证明，证明|f（x1）f（x2）|2k 参考答案参考答案 一一.选择题选择题 1已知集合已知集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则，则 AB（ ） A2，3，4 B2，4，5 C1

11、，2，3，4，0，1，2，3， ，4，5 D2，4 【分析】求出【分析】求出 B 中不等式的解集确定出中不等式的解集确定出 B，找出，找出 A 与与 B 的交集即可的交集即可 解：解：集合集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|（+1，+1） AB2，4， 故选：故选：D 2i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数 Z 满足条件满足条件 2Z+|Z| 2i，则复数，则复数 Z 在复平面的坐标为（在复平面的坐标为（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【分析】设【分析】设 Zx+yi，（，（x，yR）由）由 2Z+|Z|2i，可得，可得 2（x+yi）

12、2i，可，可 得：得：2x0，2y2，解出即可得出，解出即可得出 解：解：设设 Zx+yi，（，（x，yR） 2Z+|Z|2i，2（x+yi）2i， 可得：可得：2x0，2y2， 解得解得 y1，x 复数复数 Z 在复平面的坐标为（在复平面的坐标为（，1）在第二象限）在第二象限 故选：故选：B 3双曲线双曲线1（a0）的一条）的一条渐进线与直线渐进线与直线 yx 垂直，则垂直，则 a 的值为（的值为（ ） A5 B25 C D1 【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出 a0，进而可得其渐近线的方程；再求，进而可得其渐近线的方程；再求 得直线得直线

13、yx 的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可 解：解：根据题意，双曲线根据题意，双曲线1（a0）的一条渐进线为）的一条渐进线为 yx； 直线直线 yx 的斜率为的斜率为， 双曲线双曲线1（a0）的一条渐进线与直线）的一条渐进线与直线 yx 垂直，必有双曲线的一条渐近线垂直，必有双曲线的一条渐近线 的斜率为的斜率为； 即即 a5， 故选：故选：A 4已知平面已知平面 、，直线，直线 l，直线，直线 m 不在平面不在平面 上，下列说法正确的是（上，下列说法正确的是（ ） A若若 ，m，则则 lm B若若 ，m，则 ，则 lm C若若 1m，则，则 m

14、D若若 lm，m，则 ，则 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得 答案答案 解：解：对于对于 A，若，若 ，m，则，则 lm 或或 l 与与 m 异面，故异面，故 A 错误；错误； 对于对于 B，若，若 ，m，则，则 m，又，又 l，则，则 lm，故，故 B 正确；正确； 对于对于 C，若，若 1m，则，则 m 或或 m，故，故 C 错误；错误； 对于对于 D，若，若 lm，m，则，则 或或 与与 相交，故相交，故 D 错误错误 故选：故选：B 5对于非零向量对于非零向量 、 ，

15、“，“2”是“”是“ ， 共线”的（共线”的（ ） A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【分析】对于非零向量【分析】对于非零向量 、 ，“，“2”“ ， 共线”，反之不一定成立，可举例说共线”，反之不一定成立，可举例说 明明 解：解：对于非零向量对于非零向量 、 ，“，“2”“ ， 共线”，共线”， 反之不一定成立，可能：反之不一定成立，可能：2 等等 “2”是“”是“ ， 共线”的充分不必要条件共线”的充分不必要条件 故选：故选：B 6已知函数已知函数 f（x）为定义在）为定义在3，3的奇函数，且的奇

16、函数，且 f（2）f（1）f（3）0，则下列各，则下列各 式一定正确的是（式一定正确的是（ ） Af（1）f（log2）f（0）f（log 9） ） Bf（log 9）+f（1）f（log2）+f（ （0） Cf（log 9）+f（1）f（1）f（log28） Df（log 9）+f（1）f（log2）+f（ （0） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）0，据此结合不等式的性质依次分析选，据此结合不等式的性质依次分析选 项，综合即可得答案项，综合即可得答案 解：解：根据题意，函数根据题意，函数 f（x）为定义在）为定义在3，3的奇函数，则有的奇函数

17、，则有 f（0）0， 据此分析选项：据此分析选项： 对于对于 A，f（1）f（log2）f（0）f（log 9），即），即 f（1）f（3）f（0）f（ 2），变形可得），变形可得 f（1）+f（3）f（2），不一定正确；，不一定正确； 对于对于 B，f（log 9）+f（1）f（log2）+f（0），即），即 f（2）+f（1）f（3）+f （0），变形可得），变形可得 f（2）+f（1）f（3），不正确；），不正确； 对于对于 C，f（log 9）+f（1）f（1）f（log28），即），即f（2）+f（1）f（1） f（3），变形可得），变形可得 f（2）2f（1）+f（3）0，不一定正

18、确；，不一定正确； 对于对于 D，f（log 9）+f（1）f（log2）+f（0），即），即 f（2）+f（1）f（3），）， 变形可得变形可得 f（2）+f（1）f（3），）， 又由又由 f（2）f（1）f（3）0，则必有，则必有 f（2）+f（1）f（3），故），故 D 一定正确；一定正确； 故选：故选：D 7三角形三角形 ABC 中，中，A，B，C 对应的边分别为对应的边分别为 a，b，c，A，b3，三角形，三角形 ABC 的面积为的面积为，则边，则边 a 的值为（的值为（ ） A B C7 D49 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值

19、，进而根据余弦定理可求的值，进而根据余弦定理可求 a 的值的值 解：解：A，b3，三角形，三角形 ABC 的面积为的面积为bcsinA， 解得：解得：c5， 由余弦定理可得：由余弦定理可得：a7 故选：故选：C 8已知实数已知实数 a、b，ab0，则，则的最大值为（的最大值为（ ） A B C D6 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果 解：解：由于由于 a2+b22ab0， 所以所以， 故：故：，（当且仅当，（当且仅当 ab 时，等号成立）时，等号成立） 故选：故选：A 9已知函数已知函数 f（x）s

20、in（4x）（）（x0，），函数），函数 g（x）f（x）+a 有三个零点有三个零点 x1，x2，x3，则，则 x1+x2+x3的取值范围是（的取值范围是（ ） A， B， C0，） D，） 【分析】根据题意画出函数【分析】根据题意画出函数 f（x）的图象，函数）的图象，函数 g（x）f（x）+a 有三个零点，等价于有三个零点，等价于 函数函数 yf（x）与函数）与函数 ya 有三个交点，利用数形结合法即可求出有三个交点，利用数形结合法即可求出 x1+x2+x3的取值范的取值范 围围 解：解：根据题意画出函数根据题意画出函数 f（x）的图象，如图所示：）的图象，如图所示： ， 函数函数 g（x

21、）f（x）+a 有三个零点，等价于函数有三个零点，等价于函数 yf（x）与函数）与函数 ya 有三个交点，有三个交点， 当直线当直线 l 位于直线位于直线 l1与直线与直线 l2之间时，符合题意，之间时，符合题意， 由图象可知：由图象可知：， 所以所以， 故选：故选：D 二、填空题二、填空题 10在（在（）5的展开式中，的展开式中，xy3的系数是的系数是 【分析】写出二项展开式的通项，得到【分析】写出二项展开式的通项，得到 r 值，则答案可求值，则答案可求 解：解：（）5的展开式的通项为的展开式的通项为 取取 r3，可得（，可得（）5的展开式的展开式 xy3的系数为的系数为 故答案为：故答案为

22、： 11已知抛物线的焦点为已知抛物线的焦点为 F（0，），点），点 P（1，t）在抛物线上，则点）在抛物线上，则点 P 到到 F 的距离的距离 1 【分析】先通过焦点坐标，求出【分析】先通过焦点坐标，求出 p 和抛物线的方程，再把点和抛物线的方程，再把点 P 的坐标代入，可求得的坐标代入，可求得 t， 然后利用抛物线的定义即可得解然后利用抛物线的定义即可得解 解：解：设抛物线的方程为设抛物线的方程为 x22py（p0），）， 抛物线的焦点为抛物线的焦点为 F（0，），），p1，抛物线的方程为，抛物线的方程为 x22y， 把点把点 P（1，t）代入）代入 x22y，得，得 12t，t， 由抛物线

23、的定义可知，由抛物线的定义可知， 点点 P 到到 F 的距离为的距离为 故答案为：故答案为：1 12已知圆已知圆 O 过点过点 A（0，0）、）、B（0，4）、）、C（1，1），点），点 D（3，4）到圆）到圆 O 上的点最小上的点最小 距离为距离为 【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论 解：解：设圆设圆 O 的方程为的方程为 x2+y2+dx+ey+f0，圆，圆 O 过点过点 A（0，0）、）、B（0，4）、）、C（1，1），）， ，求得，求得，故圆的方程为，故圆的方程为 x2

24、+y2+2x4y0， 即即 （x+1）2+（y2）25，表示圆心为（，表示圆心为（1，2）、半径为）、半径为的圆的圆 |DO|2， 故点故点 D（3，4）到圆）到圆 O 上的点最小距离为上的点最小距离为 2， 故答案为：故答案为： 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中棱中 点的球的表面积为点的球的表面积为 6 【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一 个边长为个边长为 1

25、 的正方形的正方形 EFGH，而球，而球 O 是以正方形是以正方形 EFGH 为底面，点为底面，点 O 为中心的长方体为中心的长方体 的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球 O 的半径，进而求出球的半径，进而求出球 O 的表面积的表面积 解：解：设正四棱锥的底面边长为设正四棱锥的底面边长为 a，则高也是，则高也是 a， 所以正四棱锥的体积为：所以正四棱锥的体积为：， 解得：解得：a2， 设底面中心为点设底面中心为点 O，则，则 O 为球心，为球心， 易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为 1 的正方形的正方形 EF

26、GH，如图所示：，如图所示： ， 因为球因为球 O 经过四棱锥四条侧棱中点，所以球经过四棱锥四条侧棱中点，所以球 O 是以正方形是以正方形 EFGH 为底面，点为底面，点 O 为中心为中心 的长方体的外接球，的长方体的外接球， 显然长方体的高为显然长方体的高为 2， 所以球所以球 O 的半径的半径 R， 所以球所以球 O 的表面积为：的表面积为：4R246， 故答案为：故答案为：6 14已知圆已知圆 O 内接正三角形内接正三角形 ABC 边长为边长为 2，圆心为，圆心为 O，则，则 ，若线段，若线段 BC 上一点上一点 D，BDDC， 【分析】先根据正弦定理求得半径【分析】先根据正弦定理求得半

27、径 R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求 得第二个空得第二个空 解：解：因为因为ABC 是半径为是半径为 R 的的O 的内接正三角形的内接正三角形 所以所以2R，解得，解得 R 显然显然OBC 是等腰三角形，且是等腰三角形，且 OBOCR，BOC120 R2 cos120， 线段线段 BC 上一点上一点 D，BDDC， （） （）（） （） （）（2222cos6022）； 故答案为：故答案为：， 15函数函数 f（x）x，g（x）x2x+3，若存在，若存在 x1，x2，xn0， ，使得，使得 f（x1）+f（x2） ） +f（xn1）+g

28、（xn）g（x1）+g（ （x2）+g（xn 1）+f（xn），），nN*，则，则 n 的最大的最大 值为值为 8 【分析】因为【分析】因为 f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f （xn）等价）等价于（于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2 有解，又有解，又 左边的最小值为左边的最小值为 2（n1），右边的最大值为），右边的最大值为，所以，所以 2（n1）且且 n 为正整数，为正整数， 从而可得从而可得 n 的最大值为的最大值为 8 解：解：因为因为 f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）

29、+g（x2）+g（xn1）+f（xn） 等价于（等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2 有解，有解， ， （x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+22（n1），（），（xn1）2+2， 根据题意得根据题意得 2（n1）且且 n 为正整数，为正整数， n，n 的最大值为的最大值为 8， 故答案为：故答案为：8 三、解答题三、解答题 16已知递增等差数列已知递增等差数列an，等比数列，等比数列bn，数列，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等成等 比数列，比数列，bnan+cn，nN* （1）求数列）求数列an、bn的通项公式；的通项公

30、式； （2）求数列）求数列cn的前的前 n 项和项和 Sn 【分析】 （【分析】 （1）设等差数列的公差为）设等差数列的公差为 d，d0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，由等比数列的中项性质，解方程可得公差， 进而得到进而得到 an；再由；再由 b1a1+c1，可得，可得bn的首项，结合等比数列的通项公式求得公的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进比，进 而得到而得到 bn； （2）求得）求得 cnbnan2n（2n1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数 列的求和公式，可得所求和列的求和公式，可得所求和 解：解：（1）递增等差数列）

31、递增等差数列an的公差设为的公差设为 d，d0， a1、a2、a5成等比数列，可得成等比数列，可得 a22a1a5， 即（即（a1+d）2a1（a1+4d），即为（），即为（1+d）21+4d，解得，解得 d2（0 舍去），舍去）， 则则 an2n1，nN*； 等比数列等比数列bn的公比设为的公比设为 q， b1a1+c12，bn2qn 1， ， b4a4+c416，即有，即有 q38，解得，解得 q2， 则则 bn2n，nN*； （2）cnbnan2n（2n1），）， 前前 n 项和项和 Snc1+c2+cn（2+22+2n）1+3+（2n1） （1+2n1）n2n+12n2 17“海河英才

32、”行动计划政策实施“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止年半以来，截止 2019 年年 11 月月 30 日，累计引进各类日，累计引进各类 人才落户人才落户 23.5 万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才获得者等顶尖领军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 （1）李军抽取了）李军抽取了 8 人其中学历型人才人其中学历型人才 4 人，技能型人才人，技能型人才 3 人，资格型人才人，资格型人才 1 人，周二

33、和人，周二和 周五随即周五随即进行采访，每天进行采访，每天 4 人（人（4 人任意顺序），周五采访学历型人才不超过人任意顺序），周五采访学历型人才不超过 2 人的概人的概 率：率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元元/人，技能型人才人，技能型人才 400 元元/人， 资格型人才人， 资格型人才 600 元元/人， 则创业急需型人才最少需要多少元人， 则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均 人使每名人才平均 采访补贴费用大于等于采访补贴费用大于等于 500 元元/人？人？ 【分析】（【分析】（1）设

34、事件）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”，利用古典概型概率人”，利用古典概型概率 计算公式能求出周五采访学历型人才不超过计算公式能求出周五采访学历型人才不超过 2 人的概率人的概率 （2）设创业急需型人才最少需要）设创业急需型人才最少需要 x 元元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元元/ 人，各类人才的补贴数额人，各类人才的补贴数额为随机变量为随机变量 ，取值分别为，取值分别为 400，500，600，x，分别求出相应，分别求出相应 的概率，进而求出的概率，进而求出 E（）484.6+0.018x

35、，由，由 484.6+0.018x500，能求出结果，能求出结果 解：解：（1）设事件）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”，人”， 则周五采访学历型人才不超过则周五采访学历型人才不超过 2 人的概率为：人的概率为： P（A） （2）设创业急需型人才最少需要）设创业急需型人才最少需要 x 元元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元元/ 人，人， 各类人才的补贴数额为随机变量各类人才的补贴数额为随机变量 ，取值分别为，取值分别为 400，500，600，x， P（400）25.5% 0.255， P（5

36、00）53.6% 0.536， P（600）19.1% 0.191， P（x）1.8%0.018， ， E（）4000.255+500 0.536+6000.191+0.018x484.6+0.018x， 484.6+0.018x500， 解得解得 x855.56， 创业急需型人才最少需要创业急需型人才最少需要 855.56 元元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元元/ 人人 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，PA平面平面 ABCD，正方形，正方形 ABCD 边长为边长为 2，E 是是 PA 的的 中点中点 （1）求证：）求

37、证：PC平面平面 BDE； （2）求证：直线）求证：直线 BE 与平面与平面 PCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为，求，求 PA 的长度；的长度； （3）若）若 PA2，线段，线段 PC 上是否存在一点上是否存在一点 F，使，使 AF平面平面 BDE，若存在，求，若存在，求 PF 的长的长 度，若不存在，请说明理由度，若不存在，请说明理由 【分析】（【分析】（1）由题意，以）由题意，以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz设设 PA a（a0），求出平面），求出平面 BDE 的一个法向量为的一个法向量为与与的坐标，利用的坐标，利用 ，结

38、合，结合 PC平面平面 BDE，可得，可得 PC平面平面 BDE； （ 2 ） 设 平 面） 设 平 面 PCD 的 法 向 量 为的 法 向 量 为， 求 出， 求 出及及 ，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得 a 值，值， 可得可得 PA 的长度是的长度是 2 或或 4； （3） 由） 由 PA2， 得， 得 P （2， 2， 0） ， 设线段） ， 设线段 PC 上存在一点上存在一点 F， 使， 使 AF平面平面 BDE， 且， 且， 得到得到 F（22，22，2），再由），再由与与共线求得共线求得 ，得到，得到的坐

39、标，则的坐标，则|PF|可求可求 【解答】（【解答】（1）证明：）证明：PA平面平面 ABCD，ABCD 为正方形，为正方形， 以以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 设设 PAa（a0） 则则 A（0，2，0），），B（0，2，2），），C（0，0，2），），D（0，0，0），）， P（a，2，0），），E（ ） ， 设平面设平面 BDE 的一个法向量为的一个法向量为 ， 由由，取，取 y11，得，得 ， 又又 PC平面平面 BDE，PC平面平面 BDE； （2）证明：设平面）证明：设平面 PCD 的法向量为的法向量为， ， 由由，令

40、，令 x22，得，得 ， 由题意，由题意，|cos|， 解得解得 a2 或或 4， PA 的长度是的长度是 2 或或 4； （3）解：）解：PA2，P（2，2，0），）， 设线段设线段 PC 上存在一点上存在一点 F，使，使 AF平面平面 BDE，且，且， 由由，得，得 F（22，22，2），）， 又又， 由由，解得，解得 |PF| 19已知椭圆已知椭圆1（ab0）的右焦点为）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为），左右顶点分别为 A，B，上顶，上顶 点为点为 C，BFC120 （1）求椭圆离心率；）求椭圆离心率； （2）点）点 F 到直线到直线 BC 的距离为的距离为，求椭圆方程；，求椭

41、圆方程； （3）在（）在（2）的条件下，点）的条件下，点 P 在椭圆上且异于在椭圆上且异于 A，B 两点，直线两点，直线 AP 与直线与直线 x2 交于点交于点 D，说明，说明 P 运动时以运动时以 BD 为直径的圆与直线为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明 的位置关系，并证明 【分析】（【分析】（1）根据）根据BFC120可知，可知，OFC60，再结合锐角三角函数即可求得，再结合锐角三角函数即可求得 离心率；离心率； （2）由（）由（1）的结论，先导出）的结论，先导出 b 与与 c 的关系，确定的关系，确定 B 和和 C 的坐标后，写出直线的坐标后，写出直线 BC 的方的方 程，利用点

42、到直线的距离公式可建立程，利用点到直线的距离公式可建立 a 与与 c 的等量关系，再结合的等量关系，再结合 a2c，即可求得，即可求得 a、b、 c 的值，于是得解；的值，于是得解； （3）直线）直线 AP 的斜率一定存在，设其方程为的斜率一定存在，设其方程为 yk（x+2）（）（k0），点），点 P 的坐标为（的坐标为（xP， yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点 P 的坐标；把的坐标；把 x2 代入直线代入直线 AP 方程可求出点方程可求出点 D 的坐标，从而得到以的坐标，从而得到以 BD 为直径的圆的圆心为直径的圆的圆心 E 的坐标；然后分的坐标；然后分 PF x 轴和轴和 PF 不垂直不垂直 x 轴两个类别讨论圆轴两个类别讨论圆 E 与直线 与直