上海市长宁区2020年高考二模 数学试卷 （解析版）.doc

1、2020 年上海市长宁区高考数学二模试卷年上海市长宁区高考数学二模试卷 一填空题（共一填空题（共 12 小题）小题） 1已知集合已知集合 A（2，1，B（0，+），则），则 AB 2行列式行列式的值等于的值等于 3（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是的二项展开式的第三项的系数是 4若复数若复数 z 满足满足 z23，则，则|z| 5若实数若实数 x、y 满足满足，则，则 zxy 的最小值为的最小值为 6直线直线 l：（t 是参数）的斜率为是参数）的斜率为 7如图，已知正四棱柱如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱长为的侧棱长为，底面边长为，底面边长为 1，则直线，则直线 D1B

2、 和底和底 面面 ABCD 所成的角的大小为所成的角的大小为 8记等差数列记等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn若若 a31，S714，则，则 a5 9已知已知 2，1， ， ，1，2，3若函数若函数 f（x）x在（在（0，+）上递减且）上递减且 为偶函数，则为偶函数，则 10在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一 项，则每个项目都有该校教师参加的概率为项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）（结果用数值表示） 11 已知点 已知点 M、 N 在以在以 AB

3、为直径的圆上 若为直径的圆上 若 AB5， AM3， BN2， 则， 则 12已知函数已知函数 f（x）若关于若关于 x 的方程的方程 f（x）xb 有三个不同的实数解，则实有三个不同的实数解，则实 数数 b 的取值范围是的取值范围是 二选择题（本大题共有二选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生分）每题有且只有一个正确选项考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13已知向量已知向量，xR，则“，则“x1”是“”是“ ”的（”的（ ） ） A充分非必要条件充分非必要条件

4、 B必要非充分条件必要非充分条件 C充要条件充要条件 D既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 14 某单位现有职工 某单位现有职工 52 人， 将所有职工编号， 用系统抽样的方法抽取一个容量为人， 将所有职工编号， 用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本 已的样本 已 知知 6 号、号、32 号、号、45 号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A19 B20 C18 D21 15在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，角中，角 的始边为的始边为 x 轴的正半轴，顶点为坐标原点轴的正半轴，顶点为坐标原点 O已知角已知角 的的 终边

5、终边 l 与单位圆交于点与单位圆交于点 A（0.6，m），将），将 l 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转 与单位圆交于点与单位圆交于点 B（x，y），）， 若若 tan，则，则 x（ ） A0.6 B0.8 C0.6 D0.8 16在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线 yx2、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲所围成的曲 边区域面积边区域面积 S 的一种方法：把区间的一种方法：把区间0，1平均分成平均分成 n 份，在每一个小区间上作一个小矩份，在每一个小区间上作一个小矩 形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线形，使得每个矩形的左上端点都在抛

6、物线 yx2上（如图），则当上（如图），则当 n时，这些小矩形时，这些小矩形 面积之和的极限就是面积之和的极限就是 S已知已知 12+22+32+n2n（n+1）（）（2n+1）利用此方法计算）利用此方法计算 出的由曲线出的由曲线 y、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为（所围成的曲边区域的面积为（ ） A B C D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17如图，已知圆锥的顶点为如图，已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为，底面圆心为

7、 O，半径为，半径为 2，母线长为，母线长为 2 （1）求该圆锥的体积；）求该圆锥的体积； （2）已知）已知 AB 为圆锥底面的直径，为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且为底面圆周上一点，且BOC90，M 为线段为线段 AC 的中点，求异面直线的中点，求异面直线 OM 与与 PB 所成的角的大小所成的角的大小 18已知函数已知函数 f（x）sinxcosx，xR （1）设）设ABC 的内角的内角 A、B、C 所对的边长分别为所对的边长分别为 a、b、c若若 f（A）0，且，且 b2，c 3，求，求 a 的值；的值； （2）求函数）求函数 yf（x）cosx 的最大值的最大值 19培养某种

8、水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质 N已知向水中每投放已知向水中每投放 1 个单个单 位的物质位的物质 N，x（单位：天）时刻后水中含有物质（单位：天）时刻后水中含有物质 N 的量增加的量增加 ymol/L，y 与与 x 的函数关系的函数关系 可近似地表示为可近似地表示为 y根据经验，当水中含有物质根据经验，当水中含有物质 N 的量不低于的量不低于 4mol/L 时，物质时，物质 N 才能有效发挥作用才能有效发挥作用 （1）若在水中首次）若在水中首次投放投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，计算物质，计算物质 N 能持续有效发挥作用几天？

9、能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放）若在水中首次投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，第，第 8 天再投放天再投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，试判断第，试判断第 8 天至第天至第 12 天，水中所含物质天，水中所含物质 N 的量是否始终不超过的量是否始终不超过 6mol/L，并说明理由，并说明理由 20（16 分）已知椭圆：分）已知椭圆：1（ab0）的右焦点的坐标为（）的右焦点的坐标为（2， ，0），且长轴长），且长轴长 为短轴长的为短轴长的倍椭圆的上、下顶点分别为倍椭圆的上、下顶点分别为 A、B，经过点，经过点 P（0，4）的直线）的直线 l 与椭圆与椭圆 相交于相交

10、于 M、N 两点（不同于两点（不同于 A、B 两点）两点） （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （2）若直线）若直线 BMl，求点，求点 M 的坐标；的坐标； （3）设直线）设直线 AN、BM 相交于点相交于点 Q（m，n），求证：），求证：n 是定值是定值 21（18 分）若数列分）若数列cn满足“对任意正整数满足“对任意正整数 i，j，ij，都存在正整数，都存在正整数 k，使得 ，使得 ckcicj”，”， 则称数列则称数列cn具有“性质具有“性质 P”已知数列”已知数列an为无穷数列为无穷数列 （1）若）若an为等比数列，且为等比数列，且 a11，判断数列，判断数列an是否具有“性质是

11、否具有“性质 P”，并说明理由；”，并说明理由； （2）若）若an为等差数列，且公差为等差数列，且公差 d0，求证：数列，求证：数列an不具有“性质不具有“性质 P”；”； （3）若等差数列）若等差数列an具有“性质具有“性质 P”，且”，且 a32，求数列，求数列an的通项公式的通项公式 an 参考答案参考答案 一填空题（本大题共有一填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1已知集合已知集合 A（2，1，B（0，+），则）

12、，则 AB （0，1 【分析】进行交集的运算即可【分析】进行交集的运算即可 解：解：A（2，1，B（0，+），）， AB（0，1 故答案为：（故答案为：（0，1 2行列式行列式的值等于的值等于 2 【分析】利用行列式的计算公式即可得出【分析】利用行列式的计算公式即可得出 解：解：52812 故答案为：故答案为：2 3（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是的二项展开式的第三项的系数是 10 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数 解：解：（1+x）5的二项展开式的第三项的系数是的二项展开式的第三项的系数是10， 故答案为

13、：故答案为：10 4若复数若复数 z 满足满足 z23，则，则|z| 【分析】由已知求得【分析】由已知求得|z2|z|23，开方后得答案，开方后得答案 解：解：由由 z23，得，得|z2|z|23，则，则|z| 故答案为：故答案为： 5若实数若实数 x、y 满足满足，则，则 zxy 的最小值为的最小值为 1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：解：由实数由实数 x、y 满足满足，作出可行域，作出可行域

14、， 化目标函数化目标函数 zxy 为为 yxz， 由图可知，当直线由图可知，当直线 yxz 过点过点 A（0，1）时，直线在）时，直线在 y 轴上的截距最大，轴上的截距最大，z 有最小值为有最小值为 1 故答案为：故答案为：1 6直线直线 l：（t 是参数）的斜率为是参数）的斜率为 2 【分析】直线【分析】直线 l：（t 是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率 解：解：直线直线 l：（t 是参数），消去参数为：是参数），消去参数为：y2x5，可得斜率，可得斜率 k2 故答案为：故答案为：2 7如图，已知正四棱柱如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D

15、1的侧棱长为的侧棱长为，底面边长为，底面边长为 1，则直线，则直线 D1B 和底和底 面面 ABCD 所成的角的大小为所成的角的大小为 【分析】连结【分析】连结 BD，推导出，推导出 BD，DD1平面平面 ABCD，D1BD 是直线是直线 D1B 和底面和底面 ABCD 所所成的角，由此能求出直线成的角，由此能求出直线 D1B 和底面和底面 ABCD 所成的角的大小 所成的角的大小 解：解：连结连结 BD， 正四棱柱正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱长为的侧棱长为，底面边长为，底面边长为 1， BD，DD1平面平面 ABCD， D1BD 是直线是直线 D1B 和底面和底面 ABCD 所成

16、的角，所成的角， D1DBD，D1DBD， ， 直线直线 D1B 和底面和底面 ABCD 所成的角的大小为所成的角的大小为 故答案为：故答案为： 8记等差数列记等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn若若 a31，S714，则，则 a5 3 【分析】由等差数列的性质可得：【分析】由等差数列的性质可得：a3+a5a1+a7再利用求和公式即可得出再利用求和公式即可得出 解：解：由等差数列的由等差数列的性质可得：性质可得：a3+a5a1+a7 S7147（a1+a7）（1+a5），）， 解得：解得：a53， 故答案为：故答案为：3 9已知已知 2，1， ， ，1，2，3若函数若函数 f（x）x在

17、（在（0，+）上递减且）上递减且 为偶函数，则为偶函数，则 2 【分析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得【分析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得 a2、1 或或，据此验证函数，据此验证函数 f （x）的奇偶性，即可得答案）的奇偶性，即可得答案 解：解：根据题意，函数根据题意，函数 f（x）x为幂函数，为幂函数， 若函数若函数 f（x）x在（在（0，+）上递减，必有）上递减，必有 a0，则，则 a2、1 或或， 当当 a2 时，时，f（x）x 2 ，为偶函数，为偶函数，符合题意，符合题意， 当当 a1 时，时，f（x）x 1 ，为奇函数，不符合题意，为奇函数，不符合题意， 当当 a时，时，f

18、（x），为非奇非偶函数，不符合题意；，为非奇非偶函数，不符合题意； 则则 a2； 故答案为：故答案为：2 10在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一 项，则每个项目都有该校教师参加的概率为项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）（结果用数值表示） 【分析】基本事件总数【分析】基本事件总数 n3481，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数 m36，由此能求出每个项目都有该校教师参加的概率，由此能求出每个项目都有该校教师参

19、加的概率 解：解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项， 基本事件总数基本事件总数 n3481， 每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数 m36， 则每个项目都有该校教师参加的概率为则每个项目都有该校教师参加的概率为 p 故答案为：故答案为： 11 已知点 已知点 M、 N 在以在以 AB 为直径的圆上 若为直径的圆上 若 AB5， AM3， BN2， 则， 则 12 【分析】连接【分析】连接 BM，BN，利用数量积公式表示，利用数量积公式表示，再结合其几何意义即可求

20、出结，再结合其几何意义即可求出结 果果 解：解：连接连接 BM，BN，因为，因为 AB 为直径，所以为直径，所以AMBANB90， 又因为又因为 AB5，AM3，BN2， BM4； （） | |cosABM| | cosABN 422212 故答案为：故答案为：12 12已知函数已知函数 f（x）若关于若关于 x 的方程的方程 f（x）xb 有三个不同的实数解，则实有三个不同的实数解，则实 数数 b 的取值范围是的取值范围是 （，（，1）（）（3，+） 【分析】利用函数的奇偶性画出函数【分析】利用函数的奇偶性画出函数 f（x）的大致图象，关于）的大致图象，关于 x 的方程的方程 f（x）xb

21、有有 三个不同的实数解，等价于函数三个不同的实数解，等价于函数 yf（x）与函数）与函数 yx+b 有三个不同的交点，利用导数有三个不同的交点，利用导数 的几何意义求出直线的几何意义求出直线 yx+b 与函数与函数 f（x）相切时，）相切时，b 的值，根据函数图象，即可求出有的值，根据函数图象，即可求出有 三个不同的交点时三个不同的交点时 b 的取值范围的取值范围 解：解：显然函数显然函数 f（x）是偶函数，图象关于）是偶函数，图象关于 y 轴对轴对称，画出函数称，画出函数 f（x）的图象，如图所示：）的图象，如图所示： ， 关于关于 x 的方程的方程 f（x）xb 有三个不同的实数解，等价于

22、函数有三个不同的实数解，等价于函数 yf（x）与函数）与函数 yx+b 有三个不同的交点，有三个不同的交点， 设当设当 x0 且且 x1 时，直线时，直线 yx+b 与与 f（x）相切时，切点坐标为（相切时，切点坐标为（x0，y0），）， f（x）， 解得：解得：x02 或或 0， 切点坐标为（切点坐标为（2，1）或（）或（0，1），代入直线），代入直线 yx+b 得：得：b3 或或1， 由函数由函数 f（x）的图象可知，当）的图象可知，当 b3 或或 b1 时，函数时，函数 yf（x）与函数）与函数 yx+b 有三有三 个不同的交点，个不同的交点， 故答案为：（，故答案为：（，1）（）（3，

23、+） 二二选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生分）每题有且只有一个正确选项考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13已知向量已知向量，xR，则“，则“x1”是“”是“ ”的（”的（ ） ） A充分非必要条件充分非必要条件 B必要非充分条件必要非充分条件 C充要条件充要条件 D既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 【分析】由【分析】由 ，可设，可设k ，于是（，于是（1，x，1）k（x，1，1），解出即可得出），解出即可得出 解：解：由由 ，可

24、设，可设k ，于是（，于是（1，x，1）k（x，1，1），）， ，解得，解得 k1x “x1”是“”是“ ”的充要条件”的充要条件 故选：故选：C 14 某单位现有职工 某单位现有职工 52 人， 将所有职工编号， 用系统抽样的方法抽取一个容量为人， 将所有职工编号， 用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本 已的样本 已 知知 6 号、号、32 号、号、45 号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A19 B20 C18 D21 【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个【分析】根据系统抽样的特征可

25、知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个 职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可 解：解：设样本中还有一个职工的编号是设样本中还有一个职工的编号是 x 号，号， 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6 号、号、x 号、号、32 号、号、45 号，它们构号，它们构 成等差数列，成等差数列， 6+45x+32， x6+453219 因此，另一学生编号为因此，另一学生编号为 19 故选：故选：A 15在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，角中，角 的始边为的始边为 x 轴

26、的正半轴，顶点为坐标原点轴的正半轴，顶点为坐标原点 O已知角已知角 的的 终边终边 l 与单位圆交于点与单位圆交于点 A（0.6，m），将），将 l 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转 与单位圆交于点与单位圆交于点 B（x，y），）， 若若 tan，则，则 x（ ） A0.6 B0.8 C0.6 D0.8 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得 x 的值的值 解：解：在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，角中，角 的始边为的始边为 x 轴的正半轴，顶点为坐标原点轴的正半轴，顶点为坐标原点 O，已知角，已知角 的终边的终边

27、l 与单位圆交于点与单位圆交于点 A（0.6，m），）， 将将 l 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转 与单位圆交与单位圆交于点于点 B（x，y），若），若 tan，m0.8， 故故 A（0.6，0.8） 由题意，由题意，xcos（）sin0.8， 故选：故选：B 16在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线 yx2、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲所围成的曲 边区域面积边区域面积 S 的一种方法：把区间的一种方法：把区间0，1平均分成平均分成 n 份，在每一个小区间上作一个小矩份，在每一个小区间上作一个小矩 形，使得每个矩形的左上端点都在抛

28、物线形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线 yx2上（如图），则当上（如图），则当 n时，这些小矩形时，这些小矩形 面积之和的极限就是面积之和的极限就是 S已知已知 12+22+32+n2n（n+1）（）（2n+1）利用此方法计算）利用此方法计算 出的由曲线出的由曲线 y、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲边区域的面积为（所围成的曲边区域的面积为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线 y、y 轴、轴、y1 围成的曲边梯形的面围成的曲边梯形的面 积，再由正方形的面积减去该面积可得曲线积，再由正方形的面积减去该面积可得曲线 y

29、、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲边区所围成的曲边区 域的面积域的面积 解：解：如图，如图， 把纵轴区间把纵轴区间0，1，n 等分，得到等分，得到 n 个矩形，每一个矩形的底边长都是个矩形，每一个矩形的底边长都是 ， 高分别为高分别为， n 个矩形的面积和为个矩形的面积和为（12+22+32+n2） 曲线曲线 y、y 轴、轴、y1 围成的曲边梯形的面积为围成的曲边梯形的面积为 由曲线由曲线 y、x 轴以及直线轴以及直线 x1 所围成的曲边区域所围成的曲边区域的面积为的面积为 1 故选：故选：D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题

30、必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17如图，已知圆锥的顶点为如图，已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为，底面圆心为 O，半径为，半径为 2，母线长为，母线长为 2 （1）求该圆锥的体积；）求该圆锥的体积； （2）已知）已知 AB 为圆锥底面的直径，为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且为底面圆周上一点，且BOC90，M 为线段为线段 AC 的中点，求异面直线的中点，求异面直线 OM 与与 PB 所成的角的大小所成的角的大小 【分析】（【分析】（1）在）在 RtPOB 中，由已知结合勾股定理求得中，由已知结合勾股定理求得 PO，即该圆锥的

31、高，即该圆锥的高 h2再再 由圆锥体积公式求解；由圆锥体积公式求解； （2）连接）连接 PC，BC，由，由 M 为线段为线段 AC 的中点，得的中点，得 OMBC，则异面直线，则异面直线 OM 与与 PB 所所 成的角就是直线成的角就是直线 BC 与与 PM 所成的角由已知结合勾股定理得到所成的角由已知结合勾股定理得到 PBPCBC，得到，得到 PBC 为等边三角形，则异面直线为等边三角形，则异面直线 OM 与与 PB 所成的角的大小可求所成的角的大小可求 解：解：（1）如图，由题意得）如图，由题意得 ，OB2 在在 RtPOB 中，中，即该圆锥的高，即该圆锥的高 h2 由圆锥的体积公式得由圆

32、锥的体积公式得 即该圆锥的体积为即该圆锥的体积为 （2）连接）连接 PC，BC， 由由 M 为线段为线段 AC 的中点，得的中点，得 OMBC， 异面直线异面直线 OM 与与 PB 所成的角就是直线所成的角就是直线 BC 与与 PB 所成的角所成的角 POC90，BOC90， ， 在在PBC 中，中， PBC 为等边三角为等边三角形，即形，即 因此异面直线因此异面直线 OM 与与 PB 所成的角的大小为所成的角的大小为 18已知函数已知函数 f（x）sinxcosx，x一、选择题一、选择题 （1）设）设ABC 的内角的内角 A、B、C 所对的边长分别为所对的边长分别为 a、b、c若若 f（A）

33、0，且，且 b2，c 3，求，求 a 的值；的值； （2）求函数）求函数 yf（x）cosx 的最大值的最大值 【分析】（【分析】（1）由）由，得，得 ，解得得出，解得得出 A，再利用余弦定理即，再利用余弦定理即 可得出可得出 （2）由题意得）由题意得 ，利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出，利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出 最值最值 解：解：（1）由）由，得，得 ， 因为因为 A 为为ABC 的内角，所以的内角，所以 由余由余弦定理得弦定理得 a2b2+c22bccosA， 所以所以 （2）由题意得）由题意得 因为因为 xR，所以，所以 y 的最大值为的最大值为 19培养某种水生植物

34、需要定期向培养植物的水中加入物质培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质 N已知向水中每投放已知向水中每投放 1 个单个单 位的物质位的物质 N，x（单位：天）时刻后水中含有物质（单位：天）时刻后水中含有物质 N 的量增加的量增加 ymol/L，y 与与 x 的函数关系的函数关系 可近似地表示为可近似地表示为 y根据经验，当水中含有物质根据经验，当水中含有物质 N 的量不低于的量不低于 4mol/L 时，物质时，物质 N 才能有效发挥作用才能有效发挥作用 （1）若在水中首次投放）若在水中首次投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，计算物质，计算物质 N 能持续有效发挥作用几天？能持续有

35、效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放）若在水中首次投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，第，第 8 天再投放天再投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，试判断第，试判断第 8 天至第天至第 12 天，水中所含物质天，水中所含物质 N 的量是否始终不超过的量是否始终不超过 6mol/L，并说明理由，并说明理由 【分析】（【分析】（1）由题意）由题意 x，（单位：天）时刻后水中含有物质，（单位：天）时刻后水中含有物质 N 的量列出分段函数的解析的量列出分段函数的解析 式，推出在水中首次投放式，推出在水中首次投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，物质，物质 N 能持续有效发挥作用的天数能持续

36、有效发挥作用的天数 （2）设第）设第 x（8x12）天水中所含物质）天水中所含物质 N 的量为的量为 ymol/L，化简函数的解析式，利用基，化简函数的解析式，利用基 本不等式求解函数的最大值，推出结果即可本不等式求解函数的最大值，推出结果即可 解解： （1） 由题意） 由题意 x， （单位： 天） 时刻后水中含有物质， （单位： 天） 时刻后水中含有物质 N 的量为的量为 解解 y4，得，得 2x8 所以若在水中首次投放所以若在水中首次投放 1 个单位的物质个单位的物质 N，物质，物质 N 能持续有效发挥作用能持续有效发挥作用 6 天天 （2）设第）设第 x（8x12）天水中所含物质）天水中

37、所含物质 N 的量为的量为 ymol/L， 则则， ， 当且仅当当且仅当 ，即，即 x108，12时，等号成立即当时，等号成立即当 x10 时，时，ymax6 所以第所以第 8 天至第天至第 12 天，水中所含物质天，水中所含物质 N 的量始终不超过的量始终不超过 6mol/L 20（16 分）已知椭圆：分）已知椭圆：1（ab0）的右焦点的坐标为（）的右焦点的坐标为（2， ，0），且长轴长），且长轴长 为短轴长的为短轴长的倍椭圆的上、下顶点分别为倍椭圆的上、下顶点分别为 A、B，经过点，经过点 P（0，4）的直线）的直线 l 与椭圆与椭圆 相交于相交于 M、N 两点（不同于两点（不同于 A、B

38、 两点）两点） （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （2）若直线）若直线 BMl，求点，求点 M 的坐标；的坐标； （3）设直线）设直线 AN、BM 相交于点相交于点 Q（m，n），求证：），求证：n 是定值是定值 【分析】（【分析】（1）利用已知条件得到）利用已知条件得到，a2b24，求出，求出 a，b 然后求解椭圆方程然后求解椭圆方程 （2）由题意点）由题意点 B 的坐标为的坐标为 （0，2），设点），设点 M（x，y）求出）求出 M 的轨迹方程，结合的轨迹方程，结合 椭圆方程求出椭圆方程求出 M 的坐标的坐标 （3）设）设 M（x1，y1），），N（x2，y2），直线），直线 l 的方

39、程为的方程为 ykx+4联立直线与椭圆方程，联立直线与椭圆方程， 利用韦达定理结合直线方程求解利用韦达定理结合直线方程求解即可即可 解：解：（1）由题意得）由题意得 ，a2b24， 解得解得 ，b2， 所以所求椭圆的方程为所以所求椭圆的方程为 （2）由题意点）由题意点 B 的坐标为的坐标为 （0，2），设点），设点 M（x，y） 因为因为 BMMP，所以，所以 x2+（y+2） （y4）0， 又又， 解得解得 或或 或或 （舍去）（舍去） 所以所求点所以所求点 M 的坐标为的坐标为 或或 （3）设）设 M（x1，y1），），N（x2，y2），直线），直线 l 的方程为的方程为 ykx+4 由方

40、程组由方程组 ，得（，得（1+2k2）x2+16kx+240 所以所以， 直线直线 AN 的方程为的方程为 ，得，得， 直线直线 BM 的方程为的方程为 ，得，得， 所以所以， 因为因为 2kx1x23（x1+x2），得），得， 所以所以 n 为定值为定值 1 21（18 分）若数列分）若数列cn满足“对任意正整数满足“对任意正整数 i，j，ij，都存在正整数，都存在正整数 k，使得 ，使得 ckcicj”，”， 则称数列则称数列cn具有“性质具有“性质 P”已知数列”已知数列an为无穷数列为无穷数列 （1）若）若an为等比数列，且为等比数列，且 a11，判断数列，判断数列an是否具有“性质是

41、否具有“性质 P”，并说明理由；”，并说明理由； （2）若）若an为等差数列，且公差为等差数列，且公差 d0，求证：数列，求证：数列an不具有“性质不具有“性质 P”；”； （3）若等差数列）若等差数列an具有“性质具有“性质 P”，且”，且 a32，求数列，求数列an的通项公式的通项公式 an 【分析】（【分析】（1）由等比数列的通项公式、有理）由等比数列的通项公式、有理指数幂的运算性质结合新定义判定；指数幂的运算性质结合新定义判定； （2）由已知）由已知 ana1+（n1）da1，可得若，可得若 a10，不存在正整数，不存在正整数 k，使得，使得 aka2a3；若；若 a10，当，当时，不

42、存在正整数时，不存在正整数 k，使得，使得 aka2a3说明当说明当 d0 时，数列时，数列 an不具有“性质不具有“性质 P”； ”； （3）设数列）设数列an的公差为的公差为 d，则，则 an2+（n3）d由已知，对任意由已知，对任意 nN*，都存在正整，都存在正整 数数 k，使得，使得 aka3an，整理可得，整理可得 d0，且，且，对任意，对任意 an，设，设 ，整理可，整理可 得得 dan+1anZ，再由由（，再由由（2）知）知 d0，综合解得，综合解得 d1 或或 d2分析分析 d2 时，不满足时，不满足 要求要求d1，ann1 满足要求，即可求得满足要求，即可求得 ann1 【解

43、答】（【解答】（1）解：数列）解：数列an具有“性质具有“性质 P” 事实上，设数列事实上，设数列an的公比为的公比为 q，则，则，nN* 对任意正整数对任意正整数 i，j，ij， i+j12，ai+j1aiaj 数列数列an具有“性质具有“性质 P”；”； （2）证明：由已知）证明：由已知 ana1+（n1）da1， 若若 a10，则，则 a3a20，a2a30a1， 不存在正整数不存在正整数 k，使得，使得 aka2a3； 若若 a10，则当，则当时，时，anan+1a1， 不存在正整数不存在正整数 k，使得，使得 aka2a3 综上，当综上，当 d0 时，时，数列数列an不具有“性质不具有“性质 P”；”； （3）解：设数列）解：设数列an的公差为的公差为 d，则，则 an2+（n