上海市宝山区2020年高考二模 数学试卷 （解析版）.doc

1、2020 年上海市宝山区高考数学二模试卷年上海市宝山区高考数学二模试卷 一、填空题（共一、填空题（共 12 小题）小题） 1已知复数已知复数 z 满足满足 z（1+i2020）24i（其中，（其中，i 为虚数单位），则为虚数单位），则 z 2函数函数 yarcsin（x+1）的定义域是）的定义域是 3计算行列式的值，计算行列式的值， 4 已 知 双 曲 线 已 知 双 曲 线的 实 轴 与 虚 轴 长 度 相 等 ， 则的 实 轴 与 虚 轴 长 度 相 等 ， 则 的渐近线方程是的渐近线方程是 5已知无穷数已知无穷数，则数列，则数列an的各项和为的各项和为 6一个圆锥的表面积为一个圆锥的表面

2、积为 ，母线长为，母线长为 ，则其底面半径为，则其底面半径为 7某种微生物的日增长率某种微生物的日增长率 r，经过，经过 n 天后其数量由天后其数量由 p0变化为变化为 p，并且满，并且满足方程足方程， 实验检测，这种微生物经过一周数量由实验检测，这种微生物经过一周数量由 2.58 个单位增长到个单位增长到 14.86 个单位，则增长率个单位，则增长率 r （精确到（精确到 1%） 8已知已知的展开式的常数项为第的展开式的常数项为第 6 项，则常数项为项，则常数项为 9某医院某医院 ICU 从从 3 名男医生和名男医生和 2 名女医生中任选名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫，则选出的位赴武汉抗疫

3、，则选出的 2 位医生中至位医生中至 少有少有 1 位女医生的概率是位女医生的概率是 10已知方程已知方程 x2+tx+10（tR）的两个虚根是）的两个虚根是 x1，x2，若，若，则，则 t 11已知已知 O 是坐标原点，点是坐标原点，点 A（1，1）若点）若点 M（x，y）为平面区域）为平面区域上的一个上的一个 动点，则动点，则的取值范围是的取值范围是 12已知平面向量已知平面向量 ， ， 满足满足， ，则，则的最小的最小 值为值为 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13抛物线抛物线 y4x2的准线方程是（的准线方程是（ ） Ax

4、2 Bx1 Cy Dy 14若函数若函数 f（x）sinx+acosx 的图象关于直线的图象关于直线对称，则对称，则 a 的值为（的值为（ ） A1 B1 C D 15用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+35+（1）n（2n1）（）（1）nn，nN*成立那么，成立那么， “当“当 n1 时，命题成立”是“对时，命题成立”是“对 nN*“时，命题成立”的（“时，命题成立”的（ ） A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分 C充要充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要 16已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1，

5、x2都有都有 ，则函数，则函数（ ） A是偶函数，且在（是偶函数，且在（0，+）上单调递减）上单调递减 B是偶函数，且在（是偶函数，且在（0，+）上单调递增）上单调递增 C是奇函数，且单调递减是奇函数，且单调递减 D是奇函数，且单调递增是奇函数，且单调递增 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACB90，AB2AC2，D 是是 AB 的中点的中点 （1）若三棱柱）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为的体积为，求三棱柱，求三棱柱 ABCA1B1C1的高；的高； （2）若若 C1C2，求二面角，求

6、二面角 DB1C1A1的大小的大小 18已知函数已知函数 f（x），它们的最，它们的最 小正周期为小正周期为 （1）若）若 yf（x）是奇函数，求）是奇函数，求 f（x）和）和 g（x）在）在0，上的公共递减区间上的公共递减区间 D； （2）若）若 h（x）f（x）+g（x）的一个零点为）的一个零点为 x，求，求 h（x）的最大值）的最大值 19据相关数据统计，据相关数据统计，2019 年底全国已开通年底全国已开通 5G 基站基站 13 万个，部分省市的政府工作报告将万个，部分省市的政府工作报告将 “推进“推进 5G 通信网络建设”列入通信网络建设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国

7、共建基站年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个万个 （1）如果从）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共个，那么，今年底全国共 有基站多少万个（精确到有基站多少万个（精确到 0.1 万个）；万个）； （2）如果计划今年新建基站）如果计划今年新建基站 60 万个，到万个，到 2022 年底全国至少需要年底全国至少需要 800 万个，并且，今后万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问新建的数量每年比上一年以等比递增，问 2021 年和年和 2022 年至少各建多少万个才能完成年至少各建多少万个才能

8、完成 计划？（精确到计划？（精确到 1 万个）万个） 20已知直线已知直线 l：ykx+m 和椭圆和椭圆相交于点相交于点 A（x1，y1），），B（x2，y2） （1）当直线）当直线 l 过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线 l 的方程的方程 （2）点）点在上，若在上，若 m0，求，求ABC 面积的最大值；面积的最大值； （3）如果原点）如果原点 O 到直线到直线 l 的距离是的距离是，证明：，证明：AOB 为直角三角形为直角三角形 21定义：定义：an是无穷数列，若存在正整数是无穷数列，若存在正整数 k 使得对任意使得对任意 nN*，均有，均有 an+kan（an

9、+kan） 则称则称an是近似递增（减）数列，其中是近似递增（减）数列，其中 k 叫近似递增（减）数列叫近似递增（减）数列an的间隔数的间隔数 （1）若）若，an是不是近似递增数列，并说明理由；是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列）已知数列an的通项公式为的通项公式为，其前，其前 n 项的和为项的和为 Sn，若，若 2 是近似递是近似递 增数列增数列Sn的间隔数，求的间隔数，求 a 的取值范围；的取值范围； （3）已知）已知，证明，证明an是近似递减数列，并且是近似递减数列，并且 4 是它的最小间隔数是它的最小间隔数 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12

10、 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1已知复数已知复数 z 满足满足 z（1+i2020）24i（其中，（其中，i 为虚数单位），则为虚数单位），则 z 12i 【分析】由【分析】由 i 得乘方运算得：得乘方运算得：i20201，进而直接求出，进而直接求出 z 解：解：i20201，1+i20202， 则由则由 z（1+i2020）24i 得得 2z24i，即，即 z12i， 故答案是故答案是 12i 2函数函数 yarcsin（x+1）的定义域是）的定义域是 2，0 【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足【分析】可看出，要使得原

11、函数有意义，则需满足1x+11，解出，解出 x 的范围即可的范围即可 解：解：要使要使 yarcsin（x+1）有意义，则）有意义，则1x+11， 解得解得2x0， 该函数的定义该函数的定义域为域为2，0 故答案为：故答案为：2，0 3计算行列式的值，计算行列式的值， 2 【分析】根据【分析】根据，计算，计算即可即可 解：解：03122 故答案为：故答案为：2 4 已 知 双 曲 线 已 知 双 曲 线的 实 轴 与 虚 轴 长 度 相 等 ， 则的 实 轴 与 虚 轴 长 度 相 等 ， 则 的渐近线方程是的渐近线方程是 yx 【分析】利用已知条件求出【分析】利用已知条件求出 ab，然后求解

12、渐近线方程即可，然后求解渐近线方程即可 解：解：双曲线双曲线的实轴与虚轴长度相等，可得的实轴与虚轴长度相等，可得 ab， 则则的渐近线方程是：的渐近线方程是：yx 故答案为：故答案为：yx 5已知无穷数已知无穷数，则数列，则数列an的各项和为的各项和为 【分析】求出【分析】求出 a1和和 d，由此可求出无穷等比数列各项的和，由此可求出无穷等比数列各项的和 解：解：an2（）n，首项为，首项为，公比为，公比为， 数列数列an的各项和为的各项和为 S， 故答案为：故答案为： 6一个圆锥的表面积为一个圆锥的表面积为 ，母线长为，母线长为 ，则其底面半径为，则其底面半径为 【分析】利用圆锥的表面积计算

13、公式即可得出【分析】利用圆锥的表面积计算公式即可得出 解：解：如图所示，设底面半径为如图所示，设底面半径为 r， 则则 r2+r， 解得解得 r， 故答案为：故答案为： 7某种微生物的日增长率某种微生物的日增长率 r，经过，经过 n 天后其数量由天后其数量由 p0变化为变化为 p，并且满足方程，并且满足方程， 实验检测，这种微生物经过一周数量由实验检测，这种微生物经过一周数量由 2.58 个单位增长到个单位增长到 14.86 个单位，则增长率个单位，则增长率 r 25% （精确到（精确到 1%） 【分析】由题意知，【分析】由题意知，p02.58，p14.86，n7，代入，代入，求解得答案，求解

14、得答案 解：解：由题意知，由题意知，p02.58，p14.86，n7， 代入代入，得，得 14.862.58 e7r， 5.76，则，则 7rln5.76，得，得 r0.25 则增长率则增长率 r25% 故答案为：故答案为：25% 8已知已知的展开式的常数项为第的展开式的常数项为第 6 项，则常数项为项，则常数项为 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项 解：解：已知已知的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为 Tr+1 xn 2r，令 ，令 n2r0，求得，求得 n2r 常数项为第常数项为第 6 项，故有项

15、，故有 r5，n2r10，则常数项为，则常数项为 ， 故答案为：故答案为： 9某医院某医院 ICU 从从 3 名男医生和名男医生和 2 名女医生中任选名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫，则选出的位赴武汉抗疫，则选出的 2 位医生中至位医生中至 少有少有 1 位女医生的概率是位女医生的概率是 【分析】基本事件总数【分析】基本事件总数 n10，选出的，选出的 2 位医生中至少有位医生中至少有 1 位女医生包含的基本事位女医生包含的基本事 件个数件个数 mC7，由此能求出选出的，由此能求出选出的 2 位医生中至少有位医生中至少有 1 位女医生的概率位女医生的概率 解：解：某医院某医院 ICU 从从 3

16、 名男医生和名男医生和 2 名女医生中任选名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫，位赴武汉抗疫， 基本事件总数基本事件总数 n10， 选出的选出的 2 位医生中至少有位医生中至少有 1 位女医生包含的基本事件个数位女医生包含的基本事件个数 mC7， 则选出的则选出的 2 位医生中至少有位医生中至少有 1 位女医生的概率是位女医生的概率是 p 故答案为：故答案为： 10 已知方程 已知方程 x2+tx+10 （tR） 的两个虚根是） 的两个虚根是 x1， x2， 若， 若， 则， 则 t 2 【分析】根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示【分析】根据实系数一元二次方程虚根

17、共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示 出出，解方程求出，解方程求出 t 的值的值 解：解：由已知，设两个虚根为由已知，设两个虚根为 x1，x2，则，则 x1+x2t，x1x21， ， 解得解得经检验，经检验，t符合题意符合题意 故答案为：故答案为： 11已知已知 O 是坐标原点，点是坐标原点，点 A（1，1）若点）若点 M（x，y）为平面区域）为平面区域上的一个上的一个 动点，则动点，则的取值范围是的取值范围是 0，2 【分析】先画出满足约束条件【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 分析比较后，即可得到分析比较后，

18、即可得到的取值范的取值范围围 解：解：满足约束条件满足约束条件的平面区域如下图所示：的平面区域如下图所示： 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当当 x1，y1 时，时，11+110 当当 x1，y2 时，时，11+121 当当 x0，y2 时，时，10+122 故故和取值范围为和取值范围为0，2 故答案为：故答案为：0，2 12已知平面向量已知平面向量 ， ， 满足满足，则，则的最小的最小 值为值为 4 【分析】 根据条件可设【分析】 根据条件可设， 根据， 根据 即可得出即可得出，然后根据，然后根据即可得出（即可得出（nq）

19、212，从，从 而可求出而可求出 nq3，这样即可求出，这样即可求出的最小值的最小值 解：解：， 设设， ， ， ，且，且， 4+（nq）216， （nq）212，（，（n+q）2（nq）2+4nq12+4nq0，解得，解得 nq3， ， 的最小值为的最小值为4 故答案为：故答案为：4 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13抛物线抛物线 y4x2的准线方程是（的准线方程是（ ） Ax2 Bx1 Cy Dy 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程 解：解

20、：由题意，抛物线的标准方程为由题意，抛物线的标准方程为 x2y， p，开口朝上，开口朝上， 准线方程为准线方程为 y； 故选：故选：D 14若函数若函数 f（x）sinx+acosx 的图象关于直线的图象关于直线对称，则对称，则 a 的值为（的值为（ ） A1 B1 C D 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出 的值，利用正切函数的值，利用正切函数 的性质进行转化求解即可的性质进行转化求解即可 解：解：f（x）sinx+acosx（sinx cosx ），）， 设设 cos，sin，则，则 tana， 即即 f（x）s

21、in（x+），）， f（x）的图象关于直线）的图象关于直线对称，对称， k，kZ， 则则 k，kZ， atantan（k）tan1， 故选：故选：A 15用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+35+（1）n（2n1）（）（1）nn，nN*成立那么，成立那么， “当“当 n1 时，命题成立”是“对时，命题成立”是“对 nN*“时，命题成立”的（“时，命题成立”的（ ） A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分 C充要充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要 【分析】“当【分析】“当 n1 时，命题成立”是“对时，命题成立”是“对 nN*“时，命题成立”的归纳的基础，没有“时，命题成立”的归纳

22、的基础，没有 它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对 nN*“时的命题成立反之成立“时的命题成立反之成立 解：解：用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+35+（1）n（2n1）（）（1）nn，nN*成立成立 那么，“当那么，“当 n1 时，命题成立”是“对时，命题成立”是“对 nN*“时，命题“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立”的归纳的基础，没有它 成立无法递推，成立无法递推， 但是只有它成立，不能得出对但是只有它成立，不能得出对 nN*“时的命题成立“时的命题成立 由“对由“对 nN*“时，命题成立”，显然包括“时，命题成立”，显然包括 n1

23、 成立成立 “当“当 n1 时，命题成立”是“对时，命题成立”是“对 nN*“时，命题成立”的必要不充分条件“时，命题成立”的必要不充分条件 故选：故选：B 16已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1，x2都有都有 ，则函数，则函数（ ） A是偶函数，且在（是偶函数，且在（0，+）上单调递减）上单调递减 B是偶函数，且在（是偶函数，且在（0，+）上单调递增）上单调递增 C是奇函数，且单调递减是奇函数，且单调递减 D是奇函数，且单调递增是奇函数，且单调递增 【分析】根据题意即可得出【分析】根据题意即可得出在（在（0，+

24、）上单调递减，并可得出）上单调递减，并可得出 g（x）是偶函数，）是偶函数， 从而得出正确的选项从而得出正确的选项 解：解：对任意两个不相等的正数对任意两个不相等的正数 x1，x2都有都有， 函数函数在（在（0，+）上单调递减，）上单调递减， 又又 f（x）是）是 R 上的奇函数，上的奇函数， ， g（x）g（x），）， g（x）是偶函数，且在（）是偶函数，且在（0，+）上单调递减）上单调递减 故选：故选：A 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACB90，AB2AC2，D 是是 AB 的中点

25、的中点 （1）若三棱柱）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为的体积为，求三棱柱，求三棱柱 ABCA1B1C1的高；的高； （2）若）若 C1C2，求二面角求二面角 DB1C1A1的大小的大小 【分析】（【分析】（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高；）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高； （2）以）以 C 为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1 所在直线为所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标 系，分别求出平面系，分别求出平面 C1B1D 的法向量与平面的法向量与平面 A1B1C1 的法向量，再由两法向量所成角的余的法向量，再由两法向量

26、所成角的余 弦值求解二面角弦值求解二面角 DB1C1A1的大小的大小 解：解：（1）由）由ACB90，AB2AC2，得，得 BC， 由三棱柱由三棱柱 ABCA1B1C1的体积为的体积为， 得， 得， 解得， 解得 CC16 三棱柱三棱柱 ABCA1B1C1的高为的高为 6； （2）以）以 C 为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1 所在直线为所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标 系，系， 则则 D（ ，0），），B1（0，2），），C1（0，0，2） ， 设平面设平面 C1B1D 的法向量为的法向量为， 由由，取，取 z1，得，得 平面平面 A1B1C

27、1 的法向量的法向量 记二面角记二面角 DB1C1A1的大小为的大小为 ，则，则 cos 二面角二面角 DB1C1A1的大小为的大小为 arccos 18已知函数已知函数 f（x），它们的最，它们的最 小正周期为小正周期为 （1）若）若 yf（x）是奇函数，求）是奇函数，求 f（x）和）和 g（x）在）在0，上的公共递减区间上的公共递减区间 D； （2）若）若 h（x）f（x）+g（x）的一个零）的一个零点为点为 x，求，求 h（x）的最大值）的最大值 【分析】（【分析】（1）依题意，可得）依题意，可得 2，0，进而得出函数，进而得出函数 f（x）及函数）及函数 g（x）的解析式，）的解析式，

28、 由此分别求出它们在由此分别求出它们在0，上的单调递减区间，再取交集即可；上的单调递减区间，再取交集即可； （2），把点，把点代入化简可得代入化简可得， 结合题意可得结合题意可得，进而求得，进而求得 h（x）的最大值）的最大值 解：解：（1）由）由，得，得 2， 又又 yf（x）是奇函数，故）是奇函数，故 0， 在在0，上，上，的递减区间是的递减区间是，的递减区间的递减区间 是是， ； （2），把点，把点代入得代入得 ，即，即， ，得，得， ， 19据相关数据统计，据相关数据统计，2019 年底全国已开通年底全国已开通 5G 基站基站 13 万个，部分万个，部分省市的政府工作报告将省市的政府工

29、作报告将 “推进“推进 5G 通信网络建设”列入通信网络建设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个万个 （1）如果从）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共个，那么，今年底全国共 有基站多少万个（精确到有基站多少万个（精确到 0.1 万个）；万个）； （2）如果计划今年新建基站）如果计划今年新建基站 60 万个，到万个，到 2022 年底全国至少需要年底全国至少需要 800 万个，并且，今后万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问新建的数量

30、每年比上一年以等比递增，问 2021 年和年和 2022 年至少各建多少万个才能完成年至少各建多少万个才能完成 计划？（精确到计划？（精确到 1 万个）万个） 【分析】（【分析】（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为 0.2 万，首项为万，首项为 3 万个，万个， 取出取出 S12，加上，加上 13 得答案；得答案； （2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得 q，然后求解第二项与第，然后求解第二项与第 三项得答案三项得答案 解：解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，

31、公差为）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为 0.2 万，首项为万，首项为 3 万个万个 则计划则计划 2020 年新建基站数为年新建基站数为 故故 2020 年全国共有基站年全国共有基站 13+49.262.2 万个；万个； （2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为 q（q0） 由由 60+60q+60q280013，得，得 解得：解得：q3（q0） 2021 年至少建年至少建 603180 万个，万个，2022 年至少建年至少建 609540 万个才能完成计划万个才能完成计划 20已知已知直线直线 l：ykx+m 和椭圆和椭圆相

32、交于点相交于点 A（x1，y1），），B（x2，y2） （1）当直线）当直线 l 过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线 l 的方程的方程 （2）点）点在上，若在上，若 m0，求，求ABC 面积的最大值；面积的最大值； （3）如果原点）如果原点 O 到直线到直线 l 的距离是的距离是，证明：，证明：AOB 为直角三角形为直角三角形 【分析】（【分析】（1）求得椭圆的）求得椭圆的 a，b，c，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所 求直线方程；求直线方程； （2）可得直线）可得直线 ykx，联立椭圆方程可得，联立椭圆方

33、程可得 A，B 的长，由点到直线的距离公式可得的长，由点到直线的距离公式可得 C 到到 AB 的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值； （3）联立直线方程和椭）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的 条件：数量积为条件：数量积为 0，计算可得证明，计算可得证明 解：解：（1）椭圆）椭圆的的 a2，bc， 可得椭圆的左焦点（可得椭圆的左焦点（，0）和上顶点（）和上顶点（0，），）， 则直线则直线 l 的方程为的方程为1，即为，即为 yx；

34、（2）由）由 m0 可得直线可得直线 l 的方程为的方程为 ykx，联立椭圆方程，联立椭圆方程 x2+2y24，可得，可得 x2， y2， 则则|AB|2，C 到到 AB 的距离为的距离为 d， 则则ABC 面积为面积为 22， 显然显然 k0 时，上式取得最大值，由时，上式取得最大值，由1， 当且仅当当且仅当 k时，上式取得最大值时，上式取得最大值 1，则三角形，则三角形 ABC 的面积的最大值为的面积的最大值为 2； （3）证明）证明：联立：联立可得（可得（1+2k2）x2+4kmx+2m240， 由由 A（x1，y1），），B（x2，y2）可得）可得 x1+x2，x1x2， 由原点由原点

35、 O 到直线到直线 l 的距离是的距离是， 可得可得，即为，即为 3m24+4k2， 则则 x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（）（kx2+m） （1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2） km （）+m2（2k2m2+2m244k2 4k2m2+m2+2k2m2） （3m244k2）0， 可得可得， 则则AOB 为直角三角形为直角三角形 21 定义： 定义： an是无是无穷数列， 若存在正整数穷数列， 若存在正整数 k 使得对任意使得对任意 n一、 选择题一、 选择题*， 均有， 均有 an+kan（an+k an）则称）则称an是近似递增（减）数列，其中是近似递增

36、（减）数列，其中 k 叫近似递增（减）数列叫近似递增（减）数列an的间隔数的间隔数 （1）若）若，an是不是近似递增数列，并说明理由；是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列）已知数列an的通项公式为的通项公式为，其前，其前 n 项的和为项的和为 Sn，若，若 2 是近似递是近似递 增数列增数列Sn的间隔数，求的间隔数，求 a 的取值范围；的取值范围； （3）已知）已知，证明，证明an是近似递减数列，并且是近似递减数列，并且 4 是它的最小间隔数是它的最小间隔数 【分析】（【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列 （2）利用数

37、列的）利用数列的和和 ，进一步确定，进一步确定 a 的范围的范围 （3） 利用由利用由 an+kan得：得：， 即， 即 k2sin （n+k） ） sinn， 进一步利用赋值法的应用求出结果进一步利用赋值法的应用求出结果 解：解：（1）数列）数列an是近似递增数列，是近似递增数列， 由于由于n+（1）n32（1）n0， 或或， 即即 an+3an，或，或 an+2an 所以：数列所以：数列an是近似递增数列，是近似递增数列， （2）由题意得：）由题意得：， 或或， 即即恒成立恒成立 令令，则，则， 即即 a 的取值范围是（的取值范围是（） （3）由）由 an+kan得：得：， 即即 k2si

38、n（n+k）sinn， 由于由于 n 和和 k 为正整数，所以为正整数，所以 sinn 和和 sin（n+k）均取不到）均取不到1 所以所以 k4 时时，上式恒成立，即数列，上式恒成立，即数列an是近似递减数列，是近似递减数列，4 是它的间隔数是它的间隔数 当当 k3 时，当时，当 n5 时，时，2sin（5+3）sin53.93，故不等式，故不等式成立成立 当当 k2 时，当时，当 n5 时，时，2sin（5+2）sin53.2332 故不等式故不等式不成立不成立 当当 k1 时，当时，当 n5 时，时，2sin（5+1）sin51.361，故不等式，故不等式不成立不成立 所以所以 4 是它的最小间隔数是它的最小间隔数