从历史到课堂—汪晓勤教授讲座.pptx

1、普陀普陀 2017-11-01从历史到课堂从历史到课堂数学教师专业发展的一个视角数学教师专业发展的一个视角汪晓勤汪晓勤华东师范大学教师教育学院华东师范大学教师教育学院 从历史到课堂从历史到课堂引 言 HPM MKT专门内容知识 案例1：三角形内角和 案例2：均值不等式 案例3：点到直线的距离公式内容与学生知识 案例4：用字母表示数 案例5：棱柱的概念内容与教学知识 案例6：三角形中位线 案例7：函数的概念 案例8：和角公式结 语一门科学的历史就是这门一门科学的历史就是这门科学本身。科学本身。J.W.von Goethe(1749-1832)引引 言言歌歌 德德歌德歌德颜色理论颜色理论序序引引

2、言言HPM为何与为何与如何之如何之探讨探讨教育取教育取向之历向之历史研究史研究历史相历史相似性实似性实证研究证研究教学实教学实践与案践与案例开发例开发HPM与教师与教师专业发专业发展展数学史数学史融入教融入教材研究材研究技术与技术与HPMHPM与大学与大学数学教数学教育育 自自1972年开始年开始HPM成为数学教育的富成为数学教育的富有特色的研究领域有特色的研究领域引引 言言教师专业发展教师专业发展信念信念知识知识能力能力教学取向的数学知识（教学取向的数学知识（MKT）的构成）的构成案例1 三角形内角和 从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现 三角形内角和的发现三角形内角和的发现案例1 三角形内角和

3、小组合作，探究一般三角形的内角和案例1 三角形内角和u等腰三角形拼图方案等腰三角形拼图方案案例1 三角形内角和u不等边三角形拼图方案不等边三角形拼图方案案例1 三角形内角和案例1 三角形内角和 在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助线来说理。三角形内角和的说理三角形内角和的说理案例1 三角形内角和u第第 1 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与毕达哥拉斯的证明相同 案例1 三角形内角和u第第2组的方案：组的方案：锁定下中三角形。与19世纪末美国教科书上的证明相同 案例1 三角形内角和u第第 3 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与克莱罗的证明相同 案例1 三角形内角和第第 4 组的方案组

4、的方案：锁定下中三角形。与欧几里得的证明相同 案例2 均值不等式问题问题1：如图，设如图，设AC=a，CB=b，CD AB，证明，证明 CD是是 AC 和和 CB 的几何中项。的几何中项。（几何原本几何原本第第6卷命题卷命题13）问题问题2：根据该图，你能给出正数根据该图，你能给出正数a和和b的算术中项与几的算术中项与几何中项之间的大小关系吗？何中项之间的大小关系吗？案例2 均值不等式问题问题3：若若1/a，1/c，1/b构成等差数列，则称构成等差数列，则称 c 为为 a 和和 b 的调和中项。如图，过点的调和中项。如图，过点 C 作作 CE OD，证明，证明 DE 是是 AC 和和 CB 的

5、调和中项。的调和中项。（帕普斯作图法）（帕普斯作图法）问题问题4：根据该图，你能给出根据该图，你能给出a和和b的算术中项、几何中的算术中项、几何中项和调和中项之间的大小关系吗？项和调和中项之间的大小关系吗？案例2 均值不等式问题问题5：以以O为圆心，为圆心，OC为半径作半圆，过点为半径作半圆，过点O作作OD的的垂线，交半圆于垂线，交半圆于F，证明，证明 DF 是是 AC 和和 CB 的均方根的均方根（平方平均）。（平方平均）。（帕普斯作图法）（帕普斯作图法）问题问题6：根据上述作图法，你能给出正数根据上述作图法，你能给出正数a和和b的算术中的算术中项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗

6、？项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗？问题问题5：一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪点看上去它一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪点看上去它最长（最长（雷雷格格蒙塔努斯蒙塔努斯最大最大视角视角问题问题）？）？案例2 均值不等式案例案例3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式00,0AxByTAu面积法面积法00AxByCMTA00:lAxByAxBy0000121212PMNTMNSSMTONAxByCCABC AxByCAB案例案例3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式022000002200220,coscoscoscosQQAxByCBAxCyBABPMPQyyAxCyBBAxCdy

7、BABAxByCAB u三角法三角法案例案例3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式000000222200220000220022A xxB yyAxByCA xxB yyABxxyyxxyyA xxB yyABAxByCAB u最值法最值法u教学设计教学设计引入 古埃及一元一次方程问题古埃及一元一次方程问题探究 古希腊丢番图问题的求解古希腊丢番图问题的求解形成形成 用字母表示任意数或一类数用字母表示任意数或一类数巩固 字母表示数的应用字母表示数的应用小结小结 字母表示数的意义字母表示数的意义案例4 用字母表示数公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人古巴比伦人修辞代数：修辞代数：用文字

8、来表达用文字来表达一个方程一个方程丢番图丢番图缩略代数：缩略代数：用字母表示未用字母表示未知数知数符号代数符号代数用字母表示任用字母表示任意数意数韦韦 达达案例4 用字母表示数案例4 用字母表示数问题问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。21133327xxxx案例4 用字母表示数问题问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？案例4 用字母表示数问题问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数正方形个数-1)3几何原本几何原本卷卷11之

9、棱柱定义之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都相似且平行的，其他各面都是平行四边形。是平行四边形。案例5 棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱之棱柱定义：定义：有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多面体叫棱柱。案例5 棱柱的概念案例5 棱柱的概念421021124051015202530354045欧氏定义改进的欧氏定义基于棱锥的定义基于棱的定义基于棱柱面的定义基于棱柱空间的定义历史上的棱柱定义分布历史上

10、的棱柱定义分布0246810121416181829-1848 1849-1868 1869-1888 1889-1908 1909-1929欧氏定义改进的欧氏定义棱柱面定义棱锥定义棱柱空间定义案例5 棱柱的概念棱柱定义的演进棱柱定义的演进 Schuyler(1876)最早最早对欧对欧氏定义进行改进。氏定义进行改进。棱柱是一个多面体，它有棱柱是一个多面体，它有两个面为全等、平行的多两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。应边为底的平行四边形。案例5 棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定义：

11、棱柱是这样的多面体，它的两棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。等多边形的对应边。案例5 棱柱的概念案例5 棱柱的概念 尝试对空间几何体进行归类尝试对空间几何体进行归类案例5 棱柱的概念 几何体的分类，引出多面体案例5 棱柱的概念 多面体的分类，引出棱柱案例5 棱柱的概念 棱柱定义的初步构建棱柱定义的初步构建 任务：用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱给棱柱下一个定义下一个定义。经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生的定义

12、分成7类，分别用D1、D2、D7表来示，见下表。案例5 棱柱的概念类别类别定义定义属性属性D1上下面相同且平行的多面体叫棱柱。底面特征D2两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。边形。底面、侧面特征底面、侧面特征D3侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。底面、侧棱特征D4有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。底面、侧棱特征D5至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。底面、侧面、侧棱特征D6上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平行的线段将上下各点平行相连的柱体。动态生成D7由一个多边形向

13、一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。动态生成案例5 棱柱的概念学生用斜棱柱拼接形成学生用斜棱柱拼接形成D2的的一个反例一个反例D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。棱柱定义的棱柱定义的不断完善不断完善 D2的反例案例5 棱柱的概念 D2的历史相似性几何原本几何原本卷卷11之棱柱定义之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。PPT展示欧几里得的画像与几何原本中的棱柱定义。案例5 棱柱的概念教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。案例5 棱柱的概念案例6 三角形中位线定理

14、问题问题1：如何将三角形土地四等分？（背景故事：古代：如何将三角形土地四等分？（背景故事：古代巴比伦四兄弟分土地问题。）巴比伦四兄弟分土地问题。）分割方案之一分割方案之一分割方案之二分割方案之二分割方案之三分割方案之三案例6 三角形中位线定理 中位线定义中位线定义分割方案之三分割方案之三问题问题2：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样的大小关系和位置关系？的大小关系和位置关系？案例6 三角形中位线定理S1的证法的证法问题问题3：如何证明三角形中位线与底边

15、的大小关系和位：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？置关系？案例6 三角形中位线定理问题问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？置关系？S2的证法的证法案例6 三角形中位线定理问题问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？置关系？S3的证法的证法案例6 三角形中位线定理问题问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？置关系？S4的证法的证法案例6 三角形中位线定理视频：三角形中位线定理的历史视频：三角形中位线定理的历

16、史欧几里得与中位线定理欧几里得与中位线定理案例6 三角形中位线定理问题问题4：为什么分割方案：为什么分割方案3中的四个三角形两两全等？中的四个三角形两两全等？分割方案之三分割方案之三案例6 三角形中位线定理问题问题5：你觉得哪一种分割方案最好？：你觉得哪一种分割方案最好？分割方案之一分割方案之一分割方案之二分割方案之二分割方案之三分割方案之三案例6 三角形中位线定理 中位线定理中位线定理的发现的发现 中位线定理中位线定理的证明的证明 转化思想的转化思想的历史相似性历史相似性 学生可以超学生可以超越古人越古人 中位线与三中位线与三角形面积公角形面积公式式 中位线定理中位线定理与平行线分与平行线分

17、线段成比例线段成比例定理定理 基于数学史，基于数学史，重构三角形重构三角形中位线定理中位线定理的探究过程的探究过程专门内容知识内容与学生知识水平内容知识内容与教学知识案例7 函数的概念函数概念的历史函数概念的历史总之有自变量、因总之有自变量、因变量且一变量且一个个 x 有且有且仅有一个仅有一个 y 的值与的值与其对应的式子其对应的式子案例7 函数的概念问题问题1：初中数学中的函数是怎么定义的？初中数学中的函数是怎么定义的？L.Euler(1707 1783)案例7 函数的概念 欧拉的函数定义欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式和一

18、些数或常量以任何方式组成的解析式。组成的解析式。无穷分析引论无穷分析引论 德摩根代数学德摩根代数学的定义的定义(1837)：A.de Morgan(1806-1871)案例7 函数的概念Any expression which contains x in any way is called a function of x.李善兰李善兰的译文：的译文：“凡式中含天，凡式中含天，为天之为天之函数函数。”这便是中文这便是中文“函数函数”名称的由来。名称的由来。案例7 函数的概念案例7 函数的概念问题问题2：下图为某天：下图为某天沪深沪深300指数随时刻变化指数随时刻变化的图像。该的图像。该图像体现了

19、图像体现了指数和指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？间的关系能否用一个解析式来刻画呢？如果某个量依赖于另一个量，如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。量称为后面这个量的函数。微分学基础微分学基础L.Euler(1707 1783)案例7 函数的概念 欧拉欧拉的新定义（的新定义（1755）：）：课前的问卷调查表明：课前的问卷调查表明：161人中有人中有65人认为它不是函数关系，占比人认为它不是函数关系，占比40.3

20、7%。理由是：。理由是：y 不随不随 x 的变化而变化；的变化而变化；没有没有 y 与与 x 的关系式；的关系式；x 与与 y 之间没有关系；之间没有关系；y没有依赖没有依赖 x 的变化而改变，的变化而改变，是60%否40%案例7 函数的概念问题问题2：y=0(x R)是不是一个函数？说明理由。是不是一个函数？说明理由。狄利克雷的现代定义（狄利克雷的现代定义（1837）：）：设设 a、b 是两个确定的值，是两个确定的值，x 是可取是可取 a、b 之间一切值的之间一切值的变量。如果对于每一个变量。如果对于每一个 x，有唯一有限的有唯一有限的 y 值与它对应值与它对应,当当x连续变化时，连续变化时

21、，y 也随之变也随之变化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函数。的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例7 函数的概念案例7 函数的概念案例8 和角公式问题：你能用下面两对直角三角形拼成一个长方形吗？问题：你能用下面两对直角三角形拼成一个长方形吗？案例8 和角公式方案方案1：菱形模型：菱形模型sinsincoscossin案例8 和角公式sinsincoscossin方案方案2：矩形模型：矩形模型案例8 和角公式 数学史融入高数学教学：材料、原则、方式与价值数学史融入高数学教学：材料、原则、方式与价值结结 语语数学史料数学史料 人物事人物事件件 概念术概念术语语 数学问数学问题题

22、 公式定公式定理理 学科思学科思想想 工具符工具符号号选材原则选材原则 趣味性趣味性 可学性可学性 科学性科学性 有效性有效性 新颖性新颖性运用方式运用方式 附加式附加式 复制式复制式 顺应式顺应式 重构式重构式效果评价效果评价 知识之知识之谐谐 方法之方法之美美 探究之探究之乐乐 能力之能力之助助 文化之文化之魅魅 德育之德育之效效结 语HPM数学数学史史一般内一般内容知识容知识专门内专门内容知识容知识内容与内容与课程知课程知识识内容与内容与学生知学生知识识内容与内容与教学知教学知识识水平内水平内容知识容知识MKT专业发展专业发展 HPM与中学数学教师专业发展与中学数学教师专业发展 一种模式一种模式 一个团队一个团队 一批案例一批案例 一条进路一条进路结 语 HPM：数学教师专业发展的一条进路数学教师专业发展的一条进路中学数学课例研究的流程中学数学课例研究的流程 确定课题确定课题 查阅资料查阅资料 教学目标教学目标 问题聚焦问题聚焦选题与准备 交流研讨交流研讨 形成设计形成设计 教师试讲教师试讲 设计修正设计修正研讨与设计 课堂教学课堂教学 问卷调查问卷调查 学生访谈学生访谈 同行评议同行评议实施与反馈 分析数据分析数据 课堂实录课堂实录 教学反思教学反思 课例撰写课例撰写整理与写作结结 语语Thank YouThank Y