上海市复旦大学2022年“数学英才实验班”选拔考试笔试试题.docx

1、上海市复旦大学2022年“数学英才实验班”选拔考试笔试试题一、解答题1求符合条件的序列 的个数，满足如下条件：（1）；（2），有.2已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.3求所有正整数组，使得不定方程组 有正有理数的解.4定义，其中为奇素数.(1)给出同余方程的满足的一组解；(2)（代数基本定理）设，且，求证在内至多有个解；(3)（小定理）求证：；(4)（原根存在定理）若正整数满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；(5)求证，存在，都存在中必有一者成立；(6)说明当时，必有一组非零解.5（1）四面体的四个平面将空间分成了几部分？（2）正八面体的八个平面将空间

2、分成了几部分？试卷第1页，共1页参考答案：1【分析】设满足题设条件的序列的集合，则可得递推关系，据此中元素的个数.【详解】设满足题设条件的序列的集合.设，.再记,由题意，易得且有如下递推公式：由此可得：，而，且对应的特征方程为，其根为，故，而，故，解得，故整理得到：所以.2证明见解析【分析】取，利用反证法可证根的实部全部大于0.【详解】证明：取，反设，且.则这要求，矛盾！3为及其轮换.【分析】就中至少有一个数为1、中无任何一个数为1分类讨论，两者均可以利用整除性得到相应的解.【详解】（1）中至少有一个数为1，不妨设，由可知，同理知，设，则,若，则，否则，此时；若，则，故，若，则，若，则不是整数

3、，矛盾，故此时.考虑顺序，则为及其轮换；（2）中无任何一个数为1，可设，其中，且，于是，我们有，故，同理可得，所以，同理，于是，；不妨设，由于，故，故；故，又所以；此时，考虑顺序，则为及其轮换；综上所述，为及其轮换.4(1)(2)证明见解析(3)证明见解析(4)证明见解析(5)证明见解析(6)答案见解析【分析】（1）给出，验证后符号条件.（2）利用带余除法结合数学归纳法可证.（3）利用完全剩余系的性质可证明费马小定理.（4）利用代数基本定理结合欧拉函数的性质可证明该结论.（5）记意义下的原根记为，则问题可转化为同余方程组是否有解问题，取，则可得存在性成立.（6）就、分类讨论，后者可通过一个引理

4、（构造有向图可证明）来证明.【详解】（1）显然是的倍数，所以；（2）下面先证明一个引理：在中，若在内有一个根，则，引理的证明：在内作带余除法，则，故，故，所以，故在中，.回到原题，对次数作数学归纳法.当时，有且只有一个根；假设结论对成立，考虑次数为的情况：若无根，则命题已经成立；若有根，由引理，有，设，且，由归纳假设有至多有个根，故至多有个根，由数学归纳法可得原命题成立.（3）考虑（该集合为除以后不同余数的集合），若，对任意的，则有，又对，任意的，若，则，故，故，故若，则当取遍中所有元素后，当取遍中所有元素，所以，所以.（4）由（3）可知，否则，故，由的最小性可得，故.对任意，定义，设中元素的

5、个数为，如果，则；设，则，故为中多项式的一个根，由代数基本定理，对任意的，最多有个剩余类为的根.对于，因为，故中的元素两两相异，并且都是的根.当，如果，则，所以，故，而，故，所以必定存在，有.（5）由（4），记意义下的原根记为，记，则题设中的方程可化为，取，则上述三个方程必然有一个有整数解.（6）任取意义下的原根，分以下两种情况讨论：1.若，则同时也是的原根.因为遍历，自然会使得原方程有非零解.2.若，下一共有个非零元素和元素0，（1）存在，使得，则在下中存在这么一个元素，这个元素为0，取，构造完成.（2）不存在，使得，则存在，下面证明引理：如果，是的原根，那么一定存在，使得.证明：假设不存在

6、， 先考察，可以推出，我们规定：如果满足，则在之间连一条有向边，由前述讨论可得1.一条可以推出一条，设为条.2. 一条可以推出一条，反之亦然，所以条数一样，设为条.3. 一条可以推出一条，反之亦然，所以条数一样，设为条.4. 一条可以推出一条，反之亦然，所以条数一样，条.5. 一条可以推出一条，分别设为条和条.故，得到，矛盾，故引理成立.回到原题，如果不存在，使得，设，设为另一个余数，由引理，一定存在，使得，故，考察这3组数（）互不相同且没有一个元素为零，元素个数为，一定存在使得原命题条件成立.5（1）15个；（2）59个【分析】（1）考虑三面在第四个面上的交线后可求不同部分的个数；（2）先设

7、正八面体上半部分为，与之相对应的平行面设为，逐步添加后观察不同部分的变化，从而可求总的不同部分数.【详解】（1）显然三个面将空间分为8个部分，第四个平面将空间分成的两个半空间分别与这8个部分中的7个和8个有交集，故答案为个.（2）先设正八面体上半部分为，与之相对应的平行面设为.容易看出处于一般位置，它们分割出8个部分.考虑加入，它与上述三个面交于同一点，因此在其上的交线形状如下：（分割出6个区域）下一步添加，它与平行，因此无交线，和其余三面的交线如图所示：（分割出7个区域）再添加，它与平行，并且注意这里出现了一处四面共点：，故交线如图所示：（新增9个区域）再添加，出现一处四面共点，图中已标出：（新增13个区域）最后添上，需要注意此处有三处四点共面，不要忘记这一组：（新增16个区域）综上，总分割数为：.答案第9页，共9页