小学四年级上册数学北京课改版讲义重点.docx

1、 一 大数的认识一、计数单位与数位顺序表1.一(个)、十、百、千、万、十万、百万都是计10 个十万是一百万,10 个一百万是一千万,10 个一千万是一亿。数单位。2.数位顺序表。计数单位与数位的区别:计数单位是指计算物体个数的单位;数位是指一个数中每个数字所占的位置。3.在数位顺序表中,从个位起向左数,每四位为一级,分别是个级、万级、亿级易错点:误认为计数单位之间的进率都是 10,这是不对的,一定要注意“相邻”二字。4.每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这就是十进制计数法。二、大数的读法、写法读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。如 97000000 读作:九千七百万,而不是 9 千 7

2、 百万。1.大数的读法:(1)读数时,要从高位读起,按照数位顺序表划分数级,先读亿级,再读万级,最后读个级。(2)读亿级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“亿”字;读万级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。举例:707450055错解:七亿七百四十五万五十五正解:七亿零七百四十五万零五十五(3)每级末尾不管有几个0,都不读,其他数位上有一个或者连续几个 0,都只读一个零。2.大数的写法:写亿以上数时,除了亿级外,万级和个级都要保证有四位数。巧记(1)写数时,从高位起一级一级往下写,即先写亿级,再写万级,最后写个级。(2

3、)哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写 0 占位。大数比较数数位,数位相同看首位;三、数的大小比较首位相同比下位,1.比较大数的大小时,首先要看数的位数,位数多的那个数就大。比出大小巧解答。2.如果位数相同,就比较最高位,最高位上的数大的那个数就大。 3.如果最高位上的数相同,就比较下一位上的数,下一位上的数大的那个数就大。4.如果最高位的下一位上的数也相同,就按照上述方法依次比较下去,直到比较出大小为止。四、数的改写“”是约等号,读作“约等于”。1.改写整亿、整万的数。(1)改写整万的数时,先分级,然后去掉万级后面的 4个 0,并在末尾写上“万”字。(2)改写整亿的数时,先分级,

4、然后去掉亿级后面的 8个 0,并在末尾写上“亿”字。易错点:只有整亿的数改写成以“亿”为单位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿的数改写后是一个近似数,要用“”连接。2.用“四舍五入”法求近似数用“四舍五入”法求一个数的近似数,精确到哪一位就看它的下一位是大于 5,等于 5,还是小于 5。(1)如果精确位的下一位大于或等于 5,就把精确位后面的数全部舍去,并向前一位进 1。(2)如果精确位的下一位小于 5,就直接把精确位后面的数全部舍去。 二 乘法一、三位数乘两位数的计算法则1.三位数乘两位数(进位,因数中间和末尾没有 0)(1)较大的数写在上面,相同数位对齐。巧记三位数乘两位数,竖式计算别马

5、虎,大数在上位对齐,下面的数最辛苦,个位乘完十位乘,对准各自积尾数,所得的积加一起,就是最后的得数。(2)用两位数的个位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与个位对齐。(3)用两位数的十位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与十位对齐。(4)将两次乘得的积加起来。2.三位数乘两位数(一个因数中间有 0)下面的两位数的个位或十位与 0 相乘后,加上进位数,写在相应位置,如果没有进位,就在这一位上写 0。3.三位数乘两位数(因数的末尾有 0)先将 0 前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几个 0,就在积的末尾添上几个 0 。易错点:哪一位去乘上面的数,积的末位就和那一位对齐。因数末尾有

6、0,只需先乘 0 前面的数,再把 0 添上。二、三位数乘两位数(估算)在进行三位数乘两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。易错点:把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”还是该“五入”。三、积的变化规律在乘法算式中,一个因数不变,另一个因数乘(或除易错点:以)几(0 除外),积也乘(或除以)相同的数。如:乘法算式中,一个因数乘几(0除外),另一个因数除以几(0 除外),积不变。182=36453=1351802=360 4530=135018020=360045030=13500 三 运 算 定 律一、加法运算定律1.加法交换律两

7、个数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。用字母表示:a+b=b+a巧记2.加法结合律加法乘法运算律,用的巧妙可简便,交换加数、因数位,所得结果不会变,一个数乘两数和,看看能否用简便,如果可以凑成整,分乘再加和不变。三个数相加,先把前两个数相加再加第三个数,或者先把后两个数相加再加第一个数,和不变,这叫做加法结合律。用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c)3.加法算式中的简便计算利用“加法交换律”和“加法结合律” 可以使计算更简便。简便计算的基本原则是“凑整”。如下所示:582+115+118+385=582+118+115+385=(582+118)+(115+385)=700+

8、500(加法交换律)(加法结合律)=1200易错点:二、乘法运算定律1.乘法交换律一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个数的和。两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法交换律。用字母表示:ab=ba2.乘法结合律三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。这叫做乘法结合律。用字母表示:(ab)c=a(bc)3.乘法分配律不管运用什么定律,凑整数是简便计算最基本的原则。要根据每一题的实际情况,判断应该用什么方法更简便。两个数的和与一个数相乘,可以先用这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。这叫做乘法分配 律。 用字母表示

9、:(a+b)c=ac+bc4.乘法算式中的简便计算(1) 25134=25413=10013=1300(乘法交换律和结合律)(2) 10239=(100+2)39=10039+239=3900+78=3978(乘法分配律)(乘法分配律)(3)3589+6589=(35+65)89=10089=8900 四 线 与 角一、线段、射线和直线1.线段线段有两个端点,可以量出长度。巧记射线一路跑到黑,直线两端无头尾,线段两端被固定,要量长度不用愁。2.射线射线只有一个端点,可以向一端无限延长。也可以将射线看作是把线段的一端无限延长,得到一条射线。射线不能测量长度。射线:3.直线直线没有端点,可以向两端

10、无限延长。也可以将直线看作是将线段的两端无限延长,得到一条直线。直线不能易错点:测量长度。直线:直线:是直的,没有端点。有些曲线,虽然也没有端点,但不属于直线。4.两点之间线段最短。如下图:通过观察,第条路线最短,也就是两点之间线段最短。二、角从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角通常用符号“”来表示。 易错点:1.角的度量角的大小与角两边的长短无关。角的顶点确定角的位置,角的两边叉开的大小确定角的大小。(1)角的计量单位是“度”,用符号“”表示,把半圆分成180 等份,每一份所对的角的大小是 1 度,记作 1,量角的工具是量角器。巧记角的分类看大小,锐角直角和钝角,还有平角和周角,从小到

11、大错不了。(2)量角的步骤一副三角尺有两个,其中一个三角尺是等腰直角三角形,分别是 45、45、90的角,另一个三角尺分别是 30、60、90的角,利用一副三角尺,可以画出很多特殊的角,比如:15、105、135、150等。将角的顶点与量角器的中心点重合。让量角器的 0刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度就是角的度数。2.角的分类锐角是小于 90的角;直角是等于 90的角;钝角是大于 90且小于 180的角;平角是等于 180的角,平角的两条边在同一条直线上;周角是等于 360的角,周角的两条边互相重合,在同一条直线上。1 平角=2 直角3.画角1 周角=2 平角=4 直角

12、画角的步骤(以画一个 65的角为例):用量角器量角时,一定要明确是读内刻度线,还是读外刻度线。(1)画一条射线。(2)使量角器的中心点和射线的端点重合,0 刻度线和射线重合。(3)在量角器 65刻度线的地方点一个点。 (4)以画的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。 五 方向与位置一、描述物体的方向1.确定一个点的位置,除了知道方向,还要知道距离。方向和距离是确定位置的两要素。2.根据方向和距离确定物体位置位置具有相对性,找准观测点很关键,在观测点处用虚线画出方向标,可以帮助确定方向。首先要确定方向;再确定距离,在位置图中,可以用单位长度的线段表示较长的实际距离,根据实际距离确定图中

13、线段的长度;最后画出物体具体位置,标明名称。易错点:在表述两个方向中间的方向时,通常把东、西放在前面,把南、北放在后面。如上图:以学校为观测点,要确定小芳家、小红家、小刚家、小亮家的位置,就要分别确定它们的方向和距离,小芳家在学校的西北方向,距离是 4 个格,每格代表 200 米,即 800 米;小红家在学校的西南方向,距离是 1000 米;小刚家在学校的东北方向,距离是1000 米;小亮家在学校的东南方向,距离是 800二、描述路线图易错点:观测点不是一成不变的,要随着行程的变化而变化。描述路线图时,三个要素不能少,一是观测点,观测点是不同的;二是方向要找准;三是注意单位距离描述行走路线时,

14、要先描述起点,再描述方向,最后描述距离。表示的实际距离。按照先后顺序依次描述出行时走的方向和距离。如上图中,要描述每个赛段所走的方向和路程, 首先从起点出发,向 1 号点行进,1 号点在起点的东北方向,要走 5 个单位长度,也就是 250 米;然后从 1 号点向西北行进 250 米到达 2 号点;再以 2 号点为观测点向西南行进 200 米到达终点。易错点:虽然人们常习惯说“行、列”,但数对的格式是(列数,行数)。三、用数对确定物体的位置用数对确定物体的位置,主要是确定物体所在的“列数、行数” ,确定了物体所在的列和行,就可以写出数对。也可以根据数对表示出来的列数和行数,确定物体的位置。如:A

15、 同学在教室中的位置是第 3 列、第 5 行,他的位置用数对表示为(3,5);B 同学的位置用数对表示为(2,4),那么他在教室中的位置是第 2 列、第 4 行。四、魔术纸圈莫比乌斯圈德国有一位数学家叫莫比乌斯,在 1858 年发现了这样一个奇妙的纸圈。所以人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。莫比乌斯圈在实际生活中的应用非常广泛。莫比乌斯圈只有一个面,一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。沿着莫比乌斯圈的中心线剪开,不会像普通纸圈一样得到两个纸圈,而是得到一个更大的纸圈。 六 除法一、三位数除以两位数的计算1.两、三位数除以整十数可以先将被除数和除数都看作是几个十,然后按照除数是一位数的方法

16、去口算。比如:15030想:150 是 15 个十,30 是 3 个十,因为153=5,所以 15030=5。巧记除法要从高位起,除到哪里商哪里,余数不能大除数,这个道理别忘记。2.除数不是整十数的笔算除法把除数看作与它接近的整十数来试商,试得的商和除数相乘,如果余数比除数小,说明试得的商是合适的。比如:7212想:把 12 看作 10,72 看作 70,试商 7,然后用 712=84,发现商大了,调小一些,商6,612=72,商正好,可得 7212=6。3.三位数除以两位数(1)从被除数的最高位除起。(2)先用除数去试除被除数的前两位,如果比除数小,再试除前三位。(3)除到哪一位,就在那一位

17、上面写商。(4)每次除得的余数都要比除数小。易错点:4.试商法:用“四舍”法估计除数来试商,得到的商容易偏大;用“五入”法估计除数来试商,得到的商容易偏小。四舍法:当除数的个位上是 1、2、3、4时舍去,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常大些,如不合适应调小。五入法:当除数的个位上是 5、6、7、8、9时进一,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常小些,如不合适应调大。二、三位数除以两位数(估算)易错点:在进行三位数除以两位数的估算时,可把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”,还是该“五入”。以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。 比

18、如:81291易错点:把812看作810, 91看作 90, 81090=9,被除数和除数变化的倍数必须统一,余那么 812919,但是有时候为了让商是整数, 数也要跟被除数或除数有同样的变化。被除数不满 5 也要进一。比如:71379,如果把 79 看作 80,那么就要把 713 看作 720,因为72 是 8 的倍数,因为 71 不是 8 的倍数,所以即使 713 个位上的数字不满 5,也要向十位进一。同样的道理,为了方便计算,有些算式的被除数的个位满 5 也要舍去,比如: 21629,估算时要把 216 看作 210,把 29 看作 30,216个位上的数字虽然大于 5,也要舍去,因为

19、21易错点:是 3 的倍数。如果题目中不止有一种商品,注意单价、数量和总价要相对应。三、商不变的性质除法算式中,被除数和除数同时乘或除速度是指单位时间内行走的路程,单位时间可以是时、分、秒等其他时间单位。以同一个不为 0 数,商不变,余数也跟着乘或除以同一个不为 0 的数。比如:598=7359080=7305900800=7300四、单价、数量和总价的关系单价数量=总价 总价单价=数量总价数量=单价五、速度、时间和路程之间的关系速度时间=路程 路程速度=时间路程时间=速度 七 用计算器探索规律一、认识计算器1. 计算器是生活中比较普及的计算工具,它通常分为显示器与键盘区两部分。计算器的种类和

20、型号有很多种,不同种类和不同型号的计算器,其构造和作用也不一样,但均有最基本的运算能力。开机键是ON,关机键是OFF,有时也用一个键开机和关机是 ON/OFF,清除键是 C 或者 AC,有时清除键和开机键是 ON/C,还有数字键 09,运算符号键“+、-、”以及“=”等其他功能键。2.如何运用计算机进行计算。比如:27+39(1)开机按 ON/C 键。(2)按数字键 2、 7,显示屏显示 27。(3)按+,显示屏显示 27。用计算器计算时,输入运算符号,并不显示运算符号。(4)按数字键 3、9,显示屏显示 39。(5)按=键,显示屏显示计算结果为 66。二、用计算器探索规律计算过程中,我们可以

21、先用计算器计算,然后通过观察、比较、归纳、类比发现并表达同组算式中的规律。比如:11=11111=121111111=12321要找规律,可以从数字的个数,排列规律等方面去类比,看有什么变化。11111111=1234321首先我们可以用计算器计算前三个算式的结果,通过计算和观察规律,乘法算式的两个因数是相同的,由若干个 1 组成,因数有几个 1,乘积就先从 1 排列到几,然后从几排到 1,比如:11111111=1234321,两个因数由 4 个 1 组成,积就从 1 排到 4 再排到 1,即 1234321,这样我们就可以推断出下一个算式的乘积为1111111111=12345321。 八

22、 条形统计图一、认识条形统计图观察条形统计图,可以从图中读出我1.用一个单位长度(如 1 厘米)表示一定的数们需要的信息,要注意1格代表几个单位。量,根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条,并按一定顺序排列起来,这样的统计图,称为条形统计图。2.条形统计图的特点能清楚地表示出数量的多少,是统计图资料分析中最常用的图形。按照排列方式的不同,可分为纵式条形统计图和横式条形统计图。纵式条形统计图:“图书角”图书统计图纵式条形统计图和横式条形统计图的原理是一样的,只是在不同情况下更为方便。横式条形统计图:鸿丰商场 2016 年 6 月某周矿泉水销售量统计图易错点:如果数据只是在一个范围内,而这个范围

23、的最低值又比较大,统计图中起始格可以用曲线表示 0 至最低值,从最低值开始有规律地上升。二、制作条形统计图1.从同一顶点画出两条射线分别作为统计图的纵轴和横轴。2. 确定好纵轴或横轴代表的是什么,一般纵式条形统计图中都会用纵轴来表示变化的数据。3.确定纵轴上 1 格代表几个单位。 4.在横轴上正确的位置画出长条,表示数据。 九 可 能 性一、确定事件与不确定事件1.确定事件确定事件分两种,一种是确定必然会发生的,描述时一般确定事件或不确定事件,要根据实际情用到“一定”“必须”等词语。比如:太阳每天一定从东方升起。况来判断。一种是确定必然不会发生的,描述时一般用到“绝不”“不可能”等词语,比如:

24、地球不可能围绕月球转动。2.不确定事件不确定事件是指事件的结果有不同的可能性,描述不确定事件常用到“可能” “不一定”“也许”等词语。比如:雨后可能出现彩虹,雨后出现彩虹这个事件有可能发生,也有可能不发生。二、事件发生的可能性大小通过事件的实际条件,可以判断出某种情况出现的可能性大小。比如:投骰子,骰子有六个面,每个面上的点数是从 1 到 6。事件发生的可能性大小和游戏的公平性有关,要想让获胜的机会均等,必须有相等的机会。这六个面出现的可能性相同,机会均等。 十 数学百花园一、重叠问题1.当两个计数部分中有重复包含的内容时,我们称之为“重叠问题”。2.数量关系实际人(或物)数=第一类人(或物)

25、数+第在解答重叠问题时,要找准关键的数量,尤其是重叠部分的数量,要明确求哪一部分。如果是求重叠部分,需要用:第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-实际人(或物)数。二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数解答重叠问题时,必须从条件入手认真分析,有时可以根据条件画图来帮助我们思考,找出哪些是重复的,重复了几次,明确求的是哪一部分,从而找出解题的方法。比如:四(1)班同学每人至少参加一种课外活动小组,参加美术组的有 18 人,参加音乐组的有 17 人,两组都参加的有 10 人,求四(1)班一共有多少人?计算时确定关键的三个量:第一类人数,就是参加美术组的人有 18 人;第二类人数,就是参加音乐组的

26、人有 17 人;重叠人数,就是两组都参加的有 10 人。根据关系式“实际人(或物)数=第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数”,列出算式为18+17-10=25(人)。二、方阵问题1.学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖如果每个角上都有物体,那么这个物体着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好 在计算时可能会被重复计算,所以我们要先排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵。我们在这一部分主要研究最外层人(或物)数与每边人(或物)数的关系以及方阵总人数的问题。用每边人(或物)数减 1,再去计算。2.数量关系:每边人(或物)数=四周总人(或物)数4+1四周人(或物)数=每

27、边人(或物)数-1 4 方阵总人(或物)数=每行人(或物)数行数三、编码生活中,常用一些数字或字母等有规律编码时,要用固定的某几位数字去表达固定的信息,才能形成有规律的编码。的编排在一起,来表达一定的信息,如我们的身份证号、电话号码、商品编码等。以身份证为例,排列顺序从左至右依次为:六位数字地址码,八位数字出生日期码,三位数字顺序码和一位数字校验码。地址码(身份证前六位)表示编码对象第一次申领居民身份证时的常住户口所在县(市、区)的行政区划代码。出生日期码(身份证第 7 位到第 14 位)表示编码对象出生的年、月、日,其中年份用四位数字表示,年、月、日之间不用分隔符。比如:1981 年 05 月 11 日就用 19810511 表示。顺序码(身份证第 15 位到 17 位)是县、区级政府所管辖派出所的分配码,每个派出所分配码为 10 个连续号码,比如“000-009”或“060-069”,其中单数为男性分配码,双数为女性分配码。身份证最后一位是校验码。