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1、第一讲第一讲 空间解析几何简介空间解析几何简介 内容提要内容提要 1.空间直角坐标系空间直角坐标系;2.空间两点之间的距离空间两点之间的距离;3.空间曲面、空间曲线常见的二次曲面空间曲面、空间曲线常见的二次曲面;4.空间曲线在坐标面上的投影。空间曲线在坐标面上的投影。教学要求教学要求 1.初步建立空间的概念，理解空间直角坐标系；初步建立空间的概念，理解空间直角坐标系；2.理解曲面及其方程的概念；理解曲面及其方程的概念；3.掌握几种特殊曲面的方程及其图形；掌握几种特殊曲面的方程及其图形；4.理解空间直线及其方程概念；理解空间直线及其方程概念；5.掌握几种空间直线方程的形式特点；掌握几种空间直线方

2、程的形式特点；6.理解空间曲线及其方程概念；理解空间曲线及其方程概念；7.掌握几种空间曲线及其方程形式特点。掌握几种空间曲线及其方程形式特点。x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点

3、有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPM

4、d .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 1 1 求证以求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.例例 2 2 设设P在在x轴上，它到轴上，它到)3,

5、2,0(1P的距离为的距离为到点到点)1,1,0(2 P的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标的坐标.解解设设P点坐标为点坐标为),0,0,(x因为因为P在在x轴上，轴上，1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(曲面方程的定义：曲面方程的定义：（1 1）曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而

6、曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：三、空间曲面三、空间曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：曲面方程的概念曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020

7、Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4,3,2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为例例 3 3 已知已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段，求线段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点

8、点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解zxyo1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在),2,1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.c图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本

9、问题：（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程四、空间曲线四、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：例例1 1

10、方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.五、常见曲面五、常见曲面ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1

11、xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz|1（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（三）双曲面（三）双曲面双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo六、空间曲线在坐标平面上的投影六、空间曲线在坐标平面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的

12、投影柱面的特征特征：0),(yxH如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z例例5 5 求抛物面求抛物面xzy 22与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx