2023年九年级数学中考复习-二次函数与角度问题.docx

1、2023九年级数学中考复习二次函数与角度问题1（2023柳州一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点（1）求抛物线解析式；（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标，；第二，确定自变量的取值范围；第三，判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，最大；当时，时，最大若，时，二次函数的最大值是，求的值（3）如图，若点是第一象限抛物线上一点，且，求点的坐标2（2023南岗区校级模拟）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知（1）如图1，求抛物线解析式；（2）如图2，点是第一象限抛物

2、线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标3（2023常州模拟）如图，抛物线经过、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标4（2023三元区模拟）如图，二次函数是常数，且的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与

3、线段交于点，与轴交于点，连接，（1）若求直线的表达式；求证：；（2）若二次函数是常数，且在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围5（2023南海区模拟）如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点（1）求直线的表达式；（2）当为直角三角形时，求点的坐标；（3）当时，求的面积6（2023新泰市一模）抛物线与坐标轴分别交于，三点，点是第一象限内抛物线上的一点（1）求抛物线的解析式；（2）连接，若，求点的坐标；（3）连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由7（2023锡山区模拟）抛物线过点，点，顶点为（1

4、）直接写出抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值8（2023天宁区校级模拟）如图1，抛物线的图象与轴交于、两点，过点动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为秒（1）求抛物线的表达式；（2）过作交于点，连接当时，求的面积；（3）如图2，点在抛物线上当时，连接，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出此时直线与轴的交点的坐标，若不存在，请简要说明理由9（2023沈河区模拟）如图，抛

5、物线交轴于、两点，交轴于点，（1）求抛物线的解析式；（2）直线与抛物线交于点，连接交轴于点，连接，当的面积为4时，求点的坐标；（3）点在第一象限的抛物线上，点是线段上一动点，当，平分时，直接写出的面积为10（2023泽州县一模）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与直线交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为（1）求二次函数的表达式和点的坐标（2）若为直线上一点，为抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，求点的坐标（3）如图2，若抛物线与轴交于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由11（2023香洲区校级一模）如图，抛物

6、线与坐标轴分别交于，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为（1）求点的坐标及直线的解析式为，（2）连接，交线段于点，求的最大值；（3）连接，是否存在点，使得，若存在，求的值若不存在，请说明理由12（2023新都区模拟）如图，抛物线经过，为线段下方抛物线上一动点，过点做于（1）求抛物线的函数表达式；（2）求面积的最大值；（3）连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由13（2023东莞市校级一模）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若是直线上方抛物线上一动点

7、，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；（3）已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标14（2023长沙二模）如图1，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点是线段上的一个动点，连接并延长与过，三点的相交于点，过点作的切线交轴于点（1）求点的坐标；求证：；（2）如图2，连接，当，时，求证：；求的值答案版：1【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，解得，抛物线解析式为（2），抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向下，当时，解得，（不符合题意，舍去），的值为（3）如图，作轴于点，作，交的延长线于点，作轴，轴，与交于点，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，得，（不

8、符合题意，舍去），点的坐标是，2【解答】解：（1）如图1中，设，由题意得：，解得，把代入，得：解得：，抛物线的解析式为；（2）过作轴交于，交轴于点，如图，抛物线的解析式为，令，则，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，点横坐标为，即；（3）过点作轴于点，过点作于点，在轴上取一点，使得，如图，等腰直角三角形，四边形为正方形，在和中，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为令，则，点，四点共圆，在和中，四边形为正方形，或（舍，是等腰直角三角形，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，直线的解析式为，解得：3【解答】解：（1）把，三点代入抛物线解析式得：，解得：，该抛物线的解析式为；（2）存在

9、，理由：由，则顶点，对称轴为直线，直线解析式为，点，如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则直线的表达式为：，联立并整理得：，解得：，则点的坐标为，或，；对于直线，设交轴于点，令，解得：，即点，则，取点使，过点作的平行线，如上图，则点，则直线的表达式为：，联立和得：，则，无解，故在点的右侧不存在点，综上，点的坐标为，或，；（3），若点在直线的上方时，即，点，直线解析式为：，联立得：，解得：，点的坐标为，；若点在直线的下方时，由对称性可得：点，直线解析式为：，联立得：，解得：，点的坐标为，综上所述：点的坐标为：，或，4【解答】（1）解：当时，抛物线的表达式

10、为：，对于，当时，即点，令，解得：或3，即点、的坐标分别为：、；设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；证明：过点作于点，当时，即点，由抛物线的表达式知，点，则，在中，在中，设，则，由勾股定理得：，解得：（负值已舍去），则，由、的坐标得，则，在，在中，；（2）解：如图，设交轴于点对于，当时，即点，令，解得：或，即点、的坐标分别为、，则，则，当点在第四象限时，点总是在点的左侧，此时，即，在锐角三角形中，由函数的正切值得定义知，角度越大，正切值越大，而，又，同法可得，5【解答】解：（1）在中，令，得：，解得：或，令，得，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，直线的表

11、达式为；（2）设，当时，如图：，（舍去）或，；当时，过点作轴，垂足为点，如图：，即，（舍去）或，；综上所述：点的坐标为或；（3）作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，如图：，在中，设，则，解得或（舍去），6【解答】解：（1）抛物线经过点，解得，抛物线的解析式为（2）如图1，连接，设点的坐标为，整理得，解得，（不符合题意，舍去），点的坐标为（3）存在，如图2，作平分交轴于点，作于点，则，是的平分线，当时，设交轴于点，则，设直线的解析式为，则，解昨，直线的解析式为，解方程组，得，（不符合题意，舍去），点的坐标为，7【解答】解：（1）将点，点代入得：，解得：抛物线的表达式为，顶点（2）设交轴于点

12、，连接，过点作轴于点，如图，为的中点是以为底的等腰三角形，设直线的解析式为，解得：直线的解析式为，解得：，（3）过点作于点，如下图，则，由（2）知：设，则，又，当时，即有最大值，的最大值为点在线段上，点的横坐标的最大值为8【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，则，将点的坐标代入上式得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）当时，点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，当时，即点，则的面积；（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，设交轴于点，则点，由、的坐标知，为等腰直角三角形，过点作轴于点，则点是的中点，取点使，连接，则，根据图象的对称性，则即为和轴的交点，则点，而点，则，即点；作点关于的对称

13、点，为等腰直角三角形，点、关于对称，则连接，则，则，即轴，则为等腰直角三角形，则，故点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，令，解得：，即另外一个点的坐标为，综上，点的坐标为：或9【解答】解：（1）当时，；（2）设，设直线的解析式为：，当时，（舍去），当时，；（3）如图，设直线交于，连接，直线的解析式为：，由知：，平分，四边形是平行四边形，（舍去），当时，故答案为：1210【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：，令，解得：或3，即点；（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，四边形为平行四边形，则，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故点的坐标为，或，；（3）存

14、在，理由：由抛物线的表达式知，点，由点、的坐标得，过点作于点，则，即，解得：，则，即，则直线的表达式为：或，联立得：解得：（不合题意的值已舍去），则点的坐标为：或11【解答】解：（1）抛物线与坐标轴交于，三点，且点和在轴上，在轴上，设，当时，或，当时，设直线的解析式为：，将点和点代入中，直线的解析式为：，故答案为：；（2）过点作轴交于于点，过点作交与点，点的纵坐标与点的纵坐标相同，为抛物线上的一点，设，又点在直线上，直线的解析式为：，又，的最大值为，故答案为：（3）过点作轴，延长交轴于点，为等腰三角形，在中，设直线的解析式为：，将点和点代入中，直线的解析式为：，是直线和抛物线的交点，令，（舍去

15、）或故答案为：12【解答】解：（1），故点、点，设抛物线的表达式为：，则，即，解得：，；（2）过点作轴于点，交于点，设直线的表达式为：，则，解得：，则直线的表达式为：，设，则，则，则，当时，面积的最大值为9；（3）过点作垂线交延长线于点，过点作轴于点当，即时，又，又，又，直线的表达式：，联立得：，解得：或，；当，即时，由可知，又，又，直线的表达式：，联立得：，解得：或，综上，存在，点其横坐标为：或13【解答】解：（1）将、代入得：，解得，抛物线的解析式为，顶点的坐标为，；（2）过点作轴，交于点，如图所示：设，直线的解析式为，由（1）可知：，解得：，直线的解析式为：，轴，当时，的值最大，（3）当点在上方时，连接，又，解得：（舍去）或；当点在下方时，交轴于，设，在中，解得：，设直线解析式为，把点代入得：，解得：，所以直线解析式为点的坐标满足：，解得：（舍去）或，综上所述，若，点的坐标为或，14【解答】（1）解：令，解得或，；证明：如图，连接，连接，延长交轴于点，过、三点，为顶点，又，为切线，又，；（2）证明：如图，令，可得，或，是等边三角形，；解：设，点的坐标为，由角平分线成比例定理可得：，或（舍去），51