2020年新高考（北京卷）名师押题猜想数学试题01+全解全析.docx

1、 1 / 20 2020 年高考（北京卷）名师押题猜想试题 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合13,

2、5A,， |(1)(4)0BxxxZ，则AB （ ） A 3 B1,3 C1,2,3,5 D1,2,3,4,5 2在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2, 1) ，则(1 i)z等于( ) A3 i B2i C1i D1 i 3下列函数中，与函数 1 5 x f x 的定义域和值域都相同的是（ ） A 2 2yxx，0x B1yx C10 x y D 1 yx x 4设函数 1 20f xxx x ，则 f x（ ） A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 5已知 1 3 2a ， 1 2 3b ， 3 1 log 2 c ，则（ ） Aab c Bacb Cbac Dbca 6圆 2

3、2 28130xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a（ ） A 4 3 B 3 4 C 3 D2 7函数( )sin( )(0) 4 f xAx 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 3 的等差数列，要得到函 2 / 20 数( )cosg xAx的图象，只需将 ( )f x的图象（ ） A向左平移 12 个单位 B向右平移 4 个单位 C向左平移 4 个单位 D向右平移 3 4 个单位 8“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明其 原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求当时刘微就是利用这种方法，把的 近似值计算到3

4、.1415和3.1416之间， 这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据 这种方法的可贵之 处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的为此，刘微把它概括为“割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这种方法极其重要，对后世产生 了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周 率，则的近似值是（ ） （精确到0.01） （参考数据sin150.2588 o ） A3.05 B3.10 C3.11 D3.14 9设 n a是等差数列，其前n项和为 n S则“ 132 2SSS”是“ n a为递增数列

5、”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10 单位正方体ABCD- 1111 DCBA， 黑、 白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行， 每走完一条棱称为“走完一段” 白 蚂蚁爬地的路线是 AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线（iN*） 设白、黑蚂蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个 顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A1 B 2 C3 D0 3 / 20 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 3

6、0 分 11已知平面向量a，b满足 0a b ，2a ，3b r ，则ab_ 12某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是_ 13在ABC中，2 ,sin3sinabC B，则cosB_ 14已知双曲线 2 2 1 2 y x 的渐近线与抛物线 2 :2(0)M ypx p交于点2,Aa，直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则p ，AB A35 B4 C45 D5 15如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6动点 P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 A 点， 记 P 运动的路程为 x，点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为 f(x)

7、，给出下列三个结论： 函数 f(x)的最大值为 12； 函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=9； 关于 x 的方程 3f xkx最多有 5 个实数根 其中，所有正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或者选错得 0 分，其他得 3 分 4 / 20 四、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题 14 分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，E、F 分别是 BC，PC 的中点， 2,2ABAP ， （1）求证：BD 平面PAC； （2）求二面角EAFC

8、的大小 17 （本小题 14 分） 在 2 11 390 nnnn aa aa ， 22 1 3 nn aa ， 2 22 n Snn这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中已知：数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 求：对大于 1 的自然数n，是否存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由 5 / 20 18 （本小题 14 分） 2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学 生约有 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选

9、取 20 人进行英语水平测试，所得 成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如下： ()试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； ()从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求X的分布列和数学期 望； ()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%根据图 表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值(结论不要求证明) 19 （本小题 15 分） 已知函数 ln1fxa

10、xxx （1）若曲线 yf x在点 e,ef处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （2）当0a时，求证： 0f x ； （3）若函数 f x在区间( ) 1,+?上存在极值点，求实数 a 的取值范围 6 / 20 20 （本小题 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 xy ab 1（ab0）过 A（2，0） ，B（0，1）两点 （1）求椭圆 C 的方程和离心率的大小； （2）设 M，N 是 y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 AM 与椭圆 C 的另一个交点为 P，直 线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，判断直线 PQ 与 x 轴的位置关系，并证明你的结论 21 （本小题

11、 14 分） 设n为给定的大于 2 的正整数，集合1,2,Sn，已知数列 n A： 1 x， 2 x， n x满足条件： 当1in 时， i xS； 当1 ijn 时， ij xx 如果对于1 ijn ，有 ij xx ，则称, ij x x 为数列 n A的一个逆序对记数列 n A的所有逆序对的个数为 n T A （1）若 4 1T A，写出所有可能的数列 4 A； （2）若2 n T A，求数列 n A的个数； （3）对于满足条件的一切数列 n A，求所有 n T A的算术平均值 7 / 20 2020 年高考（北京卷）名师押题猜想试题 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150

12、分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合13,5A,， |(1)(4)0BxxxZ，则AB （ ） A 3 B1,3 C1,2,3,5 D1,2,3,4,5

13、【答案】C 【解析】|(1)(4)0BxxxZ2,3，AB 1,2,3,5，故选 C 2在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2, 1) ，则(1 i)z等于( ) A3 i B2i C1i D1 i 【答案】A 【解析】由已知得，z2i，（1+i）z（1+i） （2i）3+i，故选 A 3下列函数中，与函数 1 5 x f x 的定义域和值域都相同的是（ ） A 2 2yxx，0x B1yx C10 x y D 1 yx x 【答案】C 【解析】由指数函数性质知： 1 5 x f x 的定义域为R，值域为0,对于A，定义域为0,， 与 f x不同，A错误；对于B，值域为0,，与 f x不同，B

14、错误；对于C，定义域为R，值域为 8 / 20 0,，与 f x相同，C正确；对于D，定义域为 0x x ，与 f x不同，D错误故选C 4设函数 1 20f xxx x ，则 f x（ ） A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 【答案】A 【解析】0xQ， 11 2224f xxx xx ，当且仅当 1 x x ，即1x时 取等号， f x有最大值，又由对勾函数的图象可知 f x在,0上不具单调性，故选 A 5已知 1 3 2a ， 1 2 3b ， 3 1 log 2 c ，则（ ） Aab c Bacb Cbac Dbca 【答案】C 【解析】 66 1 2 1 3 42372

15、 ，0ab ， 33 1 loglog0 2 1c ，bac ，故选 C 6圆 22 28130xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a（ ） A 4 3 B 3 4 C 3 D2 【答案】A 【 解 析 】 由 22 28130xyxy配 方 得 22 (1)(4)4xy， 圆 心 为(1,4)， 圆 22 28130xyxy的圆心到直线 10axy 的距离为 1， 22 4 1 1 1 a a ，解得 4 3 a ，故选 A 7函数( )sin( )(0) 4 f xAx 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 3 的等差数列，要得到函 数( )cosg xAx的图象，只需将 (

16、 )f x的图象（ ） A向左平移 12 个单位 B向右平移 4 个单位 C向左平移 4 个单位 D向右平移 3 4 个单位 【答案】A 【解析】依题意有 f x的周期为 22 ,3,sin 3 34 Tf xAx 9 / 20 而 sin 3sin 3sin 3 244124 g xAxAxAx ，故应左移 12 8“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明其 原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求当时刘微就是利用这种方法，把的 近似值计算到3.1415和3.1416之间， 这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据 这种方法的可贵

17、之 处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的为此，刘微把它概括为“割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这种方法极其重要，对后世产生 了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周 率，则的近似值是（ ） （精确到0.01） （参考数据sin150.2588 o ） A3.05 B3.10 C3.11 D3.14 【答案】C 【解析】设圆的半径为r，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形，且顶角为 360 15 24 ，正二十四边形的面积为 2 1 24sin1512s

18、in15 2 r rr， 22 12sin15,12sin153.11rr ，故选 C 9设 n a是等差数列，其前n项和为 n S则“ 132 2SSS”是“ n a为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设 n a的公差为d 充分性证明：由 132 2SSS得： 11231232 2()aaaaaaaa，即：0d ， n a为递增数 列 10 / 20 必要性证明：由 n a为递增数列得： 321 aaa， 1123112212213 2()2aaaaaaaaaSSaS，“ 132 2SSS”是“ n a为递

19、增数列的 充分必要条件故选 C 10 单位正方体ABCD- 1111 DCBA， 黑、 白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行， 每走完一条棱称为“走完一段” 白 蚂蚁爬地的路线是 AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线（iN*） 设白、黑蚂蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个 顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A1 B 2 C3 D0 【答案】B 【解析】由题意，白蚂蚁爬行路线为 AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即过 6 段后又回到起点，可以看 作以 6 为周期，由2020 63364 ，白蚂

20、蚁爬完 2020 段后到回到 C 点； 同理，黑蚂蚁爬行路线为 ABBB1B1C1C1D1D1DDA，黑蚂蚁爬完 2020 段后回到 D1点，它们此 时的距离为 2，故选 B 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 11已知平面向量a，b满足 0a b ，2a ，3b r ，则ab_ 【答案】13 【解析】平面向量a，b满足 0a b ，2a ，3b r ， 222 22 22313 ababaa bb ，故答案为13 11 / 20 12某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是_ 【答案】2 7 【解析】由三视图可

21、知：几何体是由如下图所示的长、宽、高分别为4,2 3,2的长方体截得的四面体 PACE，其中 ,P E分别为 11, C D CD中点，PE 平面ABCD， 4AB ，2 3BC ，2PE ，最 长棱为AC，长度为16 122 7，故答案为：2 7 13在ABC中，2 ,sin3sinabC B，则cosB_ 【答案】 6 3 【解析】由正弦定理可得3cb，由余弦定理可得 222222 236 cos 23223 acbbbb B acbb 14已知双曲线 2 2 1 2 y x 的渐近线与抛物线 2 :2(0)M ypx p交于点2,Aa，直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另

22、一点 B，则p ，AB A35 B4 C45 D5 【答案】2 4.5 12 / 20 【解析】双曲线 2 2 1 2 y x ，双曲线的渐近线方程为2yx ，不妨取2yx，双曲线渐近线与抛物 线交于点2,Aa， 则将点 A 代入可得2,2 2A， 将点 A 代入抛物线方程可得 2 (2 2)4p ， 则2p ， 抛物线 2 :4Myx，焦点坐标为1,0，直线 AB 过抛物线 M 的焦点，则由 A 和焦点坐标可得直线 AB 的方程为2 21yx，直线 AB 与抛物线交于,A B，联立抛物线方程 2 2 21 4 yx yx ，化简可得 2 2520xx ，则 5 2 AB xx，4.5 AB

23、xxpAB 15如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6动点 P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 A 点， 记 P 运动的路程为 x，点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为 f(x)，给出下列三个结论： 函数 f(x)的最大值为 12； 函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=9； 关于 x 的方程 3f xkx最多有 5 个实数根 其中，所有正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或者选错得 0 分，其他得 3 分 【答案】 【解析】P分别在AB上运动时的函数解析式 2 2 ( )3(3) ,(06)f xOPxx， P分别在B

24、C上运动时的函数解析式 2 2 ( )3(9) ,(612)f xOPxx， P分别在CA上运动时的函数解析式 2 2 ( )3(12) ,(1218)f xOPxx， 2 22 2 3(3) ,(06) ( ) |3(9) ,(612) 3(12) ,(1218) xx f xOPxx xx ， 由图象知：正确的是 13 / 20 四、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题 14 分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，E、F 分别是 BC，PC 的中点， 2,2ABAP ， （1）求证：BD

25、平面PAC； （2）求二面角EAFC的大小 【解析】 （1）,.,.PAABCDPABDABCD ACBD BDPAC平面正方形平面 （2）以 A 为原点，如图所示建立直角坐标系，则 (0,0,0),(2,1,0),(1,1,1),(2,1,0),(1,1,1)AEFAEAF， 14 / 20 设平面 FAE 法向量为( , , )nx y z，则 20 0 xy xyz ，解得(1, 2,1)n ，又( 2,2,0)BD ， 243 cos, 2662 26 n BD EAFC nBD 即二面角的大小为 17 （本小题 14 分） 在 2 11 390 nnnn aa aa ， 22 1 3

26、 nn aa ， 2 22 n Snn这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中已知：数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 求：对大于 1 的自然数n，是否存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由 【解析】若选： 由已知得 111 ,33031 nnnnnn aaaaaaa 是首项为1，公差为3的等差数列， 32 n an 假设对大于1的自然数n，存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列， 2 1nm aaa，即 2 2 2 3232,332 22 33 4nmmnnn ， 由 2 34

27、2f nnn在1n ，且 * nN递增，可得2n时， f n取得最小值 6，可得此时m取得最 小值 6， 故存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，且m的最小值为 6 若选： 由 1 1a ， 22 1 3 nn aa ，即 22 1 3 nn aa ，可得数列 2 n a 是首项为 1，公差为 3 的等差数列， 则 2 1 3132 n ann ， 假设对大于1的自然数n，存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，可得 2 1nm aaa，即 3232nm ， 两边平方，整理得 2 22 22 32(32)3 3423 3 33 mn

28、nnn ， 由 2 342f nnn在1n ，且 * nN递增，可得2n时， f n取得最小值 6，可得此时m取得最 15 / 20 小值 6， 故存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，且m的最小值为 6 若选： 由 2 22 n Snn，得 2 1 11222 n Snnn ，两式相减得232 n ann， 令1n 得 1 1a ， 1,1, 23,2 n n a nn 假设对大于1的自然数n，存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，可得 2 1nm aaa，即 2 2 2 2323,226 33 22 6nmmnnn ， 由 2

29、 266f nnn在1n ，且 * nN递增，可得2n时， f n取得最小值 2，又2,mm的最 小值为 3，故存在大于 2 的自然数m，使得 1 a， n a， m a成等比数列，且m的最小值为 3 18 （本小题 14 分） 2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学 生约有 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得 成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如下： ()试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； ()从选出的 8 名男

30、生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求X的分布列和数学期 望； ()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%根据图 表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值(结论不要求证明) 16 / 20 【解析】()样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为： 2 505 20 万人 () 8 名男生中，测试成绩在 70 分以上的有3人，X的可能取值为：0,1,2 2 5 2 8 5 0 14 C p X C ，

31、11 53 2 8 15 1 28 C C p X C ， 2 3 2 8 3 3 28 C p X C 故分布列为： X 0 1 2 p 5 14 15 28 3 28 51533 012 1428284 E X () 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 101 202 p ，故 1 1 90% 2 m ，故4m 故m的最小值为4 19 （本小题 15 分） 已知函数 ln1fxaxxx （1）若曲线 yf x在点 e,ef处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （2）当0a时，求证： 0f x ； （3）若函数 f x在区间( ) 1,+?上存在极值点，求实数 a 的取值范围 【解析】

32、（1）解： ln1fxaxxx， ln a fx x x 由题知 elne1 e a f ，解得0a （2）证明：当0a时， ln1f xxxx ， lnfxx 当0,1x时， ( ) 0fx ， f x在区间( ) 1,+?上单调递增； 10f是 f x在区间( ) 0,+?上的最小值， 0f x 17 / 20 （3）解：由（1）知， ln ln axxa fx xx x 若0a，则当1,x时， ( ) 0fx ， f x在区间( ) 1,+?上单调递增，此时无极值 若0a ，令 g xfx ，则 2 1a gx xx 当1,x时， ( ) 0gx ， g x在( ) 1,+?上单调递增

33、10ga，而eee10 aaa gaaa ，存在 0 1,e a x ，使得 0 0g x ( ) fx 和 f x的情况如下： x 0 1,x 0 x 0,e a x ( ) fx 0 f x 极小值 因此，当 0 xx时， f x有极小值 0 f x 综上，a 的取值范围是(,0) 20 （本小题 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 xy ab 1（ab0）过 A（2，0） ，B（0，1）两点 （1）求椭圆 C 的方程和离心率的大小； （2）设 M，N 是 y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 AM 与椭圆 C 的另一个交点为 P，直 线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为

34、Q，判断直线 PQ 与 x 轴的位置关系，并证明你的结论 【解析】 （1）依题意得 a2，b1，椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y， 22 3cab ， 离心率的大小 3 2 c e a （2）解法一、M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设 M，N 坐标为（0，m） ， （0，n） ，则 1 n m ，m0，n0 18 / 20 由 A（2，0） ，M（0，m）得直线 AM 的方程为 2 m yxm ， 2 2 1 4 2 x y m yxm ， 整理得（m2+1）y22my0 或（m2+1）x24m2x+4m240， 得交点 P 的纵坐标为 2 2 1 P m y

35、 m ， 同理交点 Q 的纵坐标为222 1 2 22 11 1 1 Q nm m y nm m ，yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 解法二：设直线 AM 的方程为 xty+2（t0） ，直线 AN 的方程为 xsy+2（s0） ， 令 x0 得 tyM2，M 坐标为 2 0 t ，同理 N 坐标为 2 0 s ， M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，st4， 2 2 1 4 2 x y xty ， 整理得（t2+4）y2+4ty0 或（t2+4）x216x+164t20， 得交点 P 的纵坐标为 2 4 4 P t y t ，同理得222 4 4 44 44 4 4

36、Q st t y st t ， yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 解法三：设直线 AM 的方程为 yk1（x2） ，k10，直线 AN 的方程为 yk2（x2） ，k20 令 x0 得 M 坐标为（0，2k1） ，同理 N 坐标为（0，2k2） ， M，N 是 y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，4k1k21， 代入椭圆方程得 2 2 1 1 4 2 x y ykx ， 2222 111 41161640kxk xk ， 或 2 22 1 11 2 1 164 41402 41 P k kyk yx k 2 1 2 1 82 41 P k x k ， 19 / 20 得交点 P 的

37、纵坐标为 2 11 1 22 11 824 2 4141 P kk yk kk ， 同理得 211 22 2 21 1 1 4 444 1 4141 4()1 4 Q kkk y kk k ，yPyQ0，直线 PQ 与 x 轴平行 21 （本小题 14 分） 设n为给定的大于 2 的正整数，集合1,2,Sn，已知数列 n A： 1 x， 2 x， n x满足条件： 当1in 时， i xS； 当1 ijn 时， ij xx 如果对于1 ijn ，有 ij xx ，则称, ij x x 为数列 n A的一个逆序对记数列 n A的所有逆序对的个数为 n T A （1）若 4 1T A，写出所有可能

38、的数列 4 A； （2）若2 n T A，求数列 n A的个数； （3）对于满足条件的一切数列 n A，求所有 n T A的算术平均值 【解析】 （1） 4 1T A，故 1234 ,x x x x只有一个逆序对， 则不同的 4 A分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4 （2） 4 2T A，故数列 n A： 1 x， 2 x， n x有两种情况： 2 对逆序数由 3 个元素提供，即 121212 , iiiiiiin xxx xxxxxxx ， 这样的 n A共有 3 12 6 n n nn C 个 2 对逆序数由 4 个元素提供，即 121212iiijjjn xxxxxx

39、xxx 这样的 n A共有 4 123 2 12 n n nnn C 20 / 20 综上，满足2 n T A的数列 n A的个数为 2 12 12 n nn （3）对任意的 n A： 1 x， 2 x， n x，其逆序对的个数为 n T A， 我们引进一个定义：1 ijn ，有 ij xx ，则称, ij x x为数列 n A的一个顺序对， 则 n A中的顺序对个数为 1 2 n n n T A 考虑 n A： 1 x， 2 x， n x与 n B： n x， 1n x ，1 x， n A中的逆序对的个数为 n B中顺序对的个数， n A中顺序对的个数为 n B中逆序对个数， 把所有的 n A按如上形式两两分类，则可得所有的 n A中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为 1 ! 2 n n n ，故逆序对的个数为 1 ! 4 n n n ，所有 n T A的算术平均值为 1 4 n n