量子力学教程第二版周世勋课件袁松柳第三章量子力学中的力学量.pptx

1、第三章第三章 量子力学中的量子力学中的 力学量力学量u 5 5 厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与本征函数 u6 6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 u7 7 共同本征函数共同本征函数 u8 8 测不准关系测不准关系代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：对波函数做相应的运算才有意义，例如：3.1.1.算符定义算符定义3.1 3.1 算符的运算规则算符的运算规则

2、表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v，就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。u=v d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商，故称为微商算符。故称为微商算符。du/dx=v x 也是算符。也是算符。它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。x u=v（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体

3、系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即=，则算符，则算符 和算符和算符 相等记为相等记为=。例如：例如：开方算符、取复共轭均不是线性算符。开方算符、取复共轭均不是线性算符。3.1.2.算符的一般特性算符的一般特性（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有：(+)=+=则则+=称为算符之和。称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。）。

4、很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若()=()=则则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等，所以:对易对易关系关系量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。若算符满足若算符满足=-，则称则称 和和 反对易。反对易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量

5、但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，对易，与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与否。对易与否。例如：例如：（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号：,-这样一来，这样一来，坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0

6、 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。返回返回（7 7）逆算符）逆算符1.1.定义定义:设设=,=,能够唯一的解出能够唯一的解出 ,则可定义则可定义 算符算符 之逆之逆 -1-1 为为:-1-1 =并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.2.2.性质性质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则则 -1-1=-1-1 =I =I,-1-1=0 =0 证证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I

7、 =I 亦成立亦成立.3.3.性质性质 II:II:若若 ,均存在逆算符均存在逆算符,则则 ()-1-1=-1-1 -1-1设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F(F()为为:算符算符的复共轭算符的复共轭算符 *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.例如例如:坐标表象中坐标表象中（8 8）算符函数）算符函数利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。由于由于、是是 任意波函数任意波函数,所以所以同理可证同理可证:（1010）转置

8、算符转置算符(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符由此可得：由此可得：:转置算符转置算符 的定义的定义厄密共轭厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以证明可以证明:()+=+(.)+=.+(12)(12)厄密算符厄密算符1.定义定义:满足下列关系满足下列关系 的算符称为的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性质性质性质性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则则 (+)+=+=(+)性质性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密两个厄密算符之积一般不是厄密 算符算符,除非二算符对易。除非二算

9、符对易。因为因为 ()+=+=仅当仅当 ,=0 成立时成立时,()+=才成立。才成立。返回返回（1 1）动量算符的厄密性）动量算符的厄密性 （2 2）动量本征方程）动量本征方程 （3 3）箱归一化）箱归一化（1 1）角动量算符的形式）角动量算符的形式 （2 2）角动量本征方程）角动量本征方程 （3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系 （4 4）角动量升降阶算符）角动量升降阶算符2 2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符（一）动量算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性）动量算符的厄密性使用波函数在无穷远使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。处趋于零的边界条件。（2）动量本征

10、方程）动量本征方程其分量形式：其分量形式：证：证：由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。I.求解求解这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。间部分波函数。如果取如果取|c|2(2)3=1则则 p(r)就可就可 归一化为归一化为-函数。函数。解之得到如下一组解解之得到如下一组解：于是：于是：II.归一化系数的确定归一化系数的确定采用分离变量法，令：采用分离变量法，令：代入动量本征方程代入动量本征方程且等式两边除以该式，得：且等式两边除以该式，得：xyzAAoL（3）箱归一化）箱归

11、一化在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A,AA,A上加上其波函数相等的条件，上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件周期性边界条件这表明，这表明，p px x 只能取分立值。只能取分立值

12、。换言之，换言之，加上周期性边界条件后，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。连续谱变成了分立谱。所以所以 c=L-3/2，归一化的本征函数为：归一化的本征函数为：波函数变为波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c 可可由归一化条件来确定：由归一化条件来确定：讨论：讨论：（1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况：(a)A(b)A(c)yx（2 2）由）由 p px x=2n=2nx x /L,p/L,py y=2n=2ny y /L,p/L,pz z=2n=2nz z /L,/L,可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔 p=2p

13、=2 /L /L 与与 L L 成反比。当成反比。当 L L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，选的足够大时，本征值间隔可任意小，当当 L L 时，本征值变成为连续谱。时，本征值变成为连续谱。（3 3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为归一化为 函数函数（4 4）p p(r)(r)exp expiEt/iEt/就是自由粒子波函数，在它所描就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。符在这个态中的本征值。（5 5）周期性边界

14、条件是动量算符厄米性的要求。）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。（二）角动量算符（二）角动量算符（1）角动量算符的形式）角动量算符的形式根据量子力学基本假定根据量子力学基本假定III，量子力学角动量算符为量子力学角动量算符为:(I)直角坐标系直角坐标系角动量平方算符角动量平方算符经典力学中，若动量为经典力学中，若动量为 p，相对点，相对点O 的的 位置矢量为位置矢量为 r 的粒子绕的粒子绕 O 点点的角动量是：的角动量是：由于角动量平方算符中含有关由于角动量平方算符中含有关于于 x x，y y，z z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项,所以直角坐所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离标

15、下角动量平方算符的本征方程不能分离变量变量,难于求解难于求解,为此我们采用球坐标较为为此我们采用球坐标较为方便方便.直角坐标与球坐标之间的变换关系直角坐标与球坐标之间的变换关系 xz球球 坐坐 标标r y这表明：这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,)(II)(II)球坐标球坐标将（将（1 1）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：将（将（2 2）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：对于任意函数对于任意函数f(r,)f(r,)（其中，（其中，r,r,都是都是 x,y,z x,y,z 的函数）则有：的函数）则有：将（将（

16、3 3）式两边分式两边分别对别对 x y x y z z 求偏导求偏导数得：数得：将上面结果将上面结果 代回原式得：代回原式得：则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的在球坐标中的 表达式为：表达式为：（2 2）本征方程）本征方程(I)Lz的本征方程的本征方程求求 归归 一一 化化 系系 数数正交性：正交性：I I。波函数有限条件，要求。波函数有限条件，要求 z z 为实数；为实数；IIII。波函数单值条件，要求。波函数单值条件，要求当当 转过转过 22角角回到原位时波函数回到原位时波函数值相等，即：值相等，即：合记之得合记之得 正交归一化正交归一化 条件：条件：最后得最后得 Lz 的本征函数的

17、本征函数 和本征值：和本征值：讨论：讨论：厄密性要求第一项为零厄密性要求第一项为零所所 以以则则这正是周期这正是周期性边界条件性边界条件(II)L(II)L2 2的本征值问题的本征值问题L2 的本征值方程可写为：的本征值方程可写为：为使为使 Y(Y(,)在在 变化的整个区域变化的整个区域(0,)(0,)内都是有限的，内都是有限的，则必须满足：则必须满足：=（+1),+1),其中其中 =0,1,2,.=0,1,2,.其中其中 Y(Y(,)是是 L L2 2 属于本征值属于本征值 2 2 的本征函数。此方程就是大的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解家熟悉的球谐函数方程，其求解 方

18、法在数学物理方法中已有详细方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：的讲述，得到的结论是：该方程的解就是球函数该方程的解就是球函数 Y Yl ml m(,)，其表达式：，其表达式：归一化系数，由归一化系数，由归一化条件确定归一化条件确定其正交归一其正交归一 条件为：条件为：具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。(III)本征值的简并度本征值的简并度由于量子数由于量子数 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小，所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。可知，对应一个可知，

19、对应一个 值，值，m m 取值为取值为 0,0,1,1,2,2,3,.,3,.,共共 (2(2 +1)+1)个值。因此当个值。因此当 确定后，尚有确定后，尚有(2(2 +1)+1)个磁量子状态不确定。个磁量子状态不确定。换言之，对应一个换言之，对应一个 值有值有(2(2 +1)+1)个量子状态，这种现象称为简并，个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是的简并度是 (2(2 +1)+1)度。度。根据球函根据球函数定义式数定义式（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系证：证：（4 4）角动量升降阶算符）角动量升降阶算符(I)定义定义显显 然然 有有 如如 下下 性性 质质 所以，这两个

20、算符所以，这两个算符 不是厄密算符。不是厄密算符。(II)对易关系对易关系不不 难难 证证 明明可见，可见，(L+Yl m)也是也是 Lz 与与 L2 的共同本征函的共同本征函 数，对应本征数，对应本征 值分别为值分别为 (m+1)和和 l(l+1)2。(III)(III)证明：证明：证：证：将将 Eq.(1)作用于作用于 Yl m 得：得：将将 Eq.(2)作用于作用于 Yl m 得：得：由于相应于这些本征值的本征函数是由于相应于这些本征值的本征函数是 Y Yl,m+1 l,m+1 所以，所以，L L+Y Yl ml m 与与 Y Yl,m+1l,m+1 二者仅差一个常数，即二者仅差一个常数

21、，即求求:常系数常系数 al m,bl m首先对首先对 式左边式左边 积分积分 并注意并注意 L-=L+再计算再计算 式右积分式右积分比较比较二式二式由（由（4）式）式例：证明在例：证明在 L LZ Z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，L=0=0证：证：方法方法 I代入平均值公式：代入平均值公式：同理：同理：由角动量对易关系：由角动量对易关系：代入平均值公式：代入平均值公式：同理：同理：方法方法 II返回返回3 3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动（一）有心力场下的（一）有心力场下的 SchrSchrdinger dinger 方程方程 （二）求解（二）求解 Schroding

22、er Schrodinger 方程方程 （三）使用标准条件定解（三）使用标准条件定解 （四）归一化系数（四）归一化系数 （五）总结（五）总结体系体系 Hamilton 量量H的本征方程的本征方程 对于势能只与对于势能只与 r r 有关而与有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：解较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑一电子在一带正电的核考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子所产生的电场中运动，电子 质量为质量为，电荷为，电荷为 -e-e，核电，核电 荷为荷为 +Ze+Ze。取核在坐标原点，。取核在坐标原点，电子受核

23、电的吸引势能为：电子受核电的吸引势能为：xz球球 坐坐 标标r y此式使用了角动量平方此式使用了角动量平方 算符算符 L2 的表达式：的表达式：（一）有心力场下的（一）有心力场下的 Schrodinger Schrodinger 方程方程（二）求解（二）求解 Schrodinger Schrodinger 方程方程（1 1）分离变量）分离变量 化简方程化简方程(r,)=R(r)Ylm(,)令令注意到注意到 L2 Ylm=(+1)2 Ylm则方程化为：则方程化为：令令 R(r)=u(r)/r 代入上式得：代入上式得：若令若令讨论讨论 E 0 E 0 情况，情况，方程可改写如下：方程可改写如下：于

24、是化成了一维问题，势于是化成了一维问题，势V(r)V(r)称为等效势，它由离心势和库称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。仑势两部分组成。令令（2）求解）求解(I)解的渐近行为解的渐近行为 时，方时，方 程变为程变为所以可所以可 取取 解解 为为有限性条件要求有限性条件要求 A=0 2(II)(II)求级数解求级数解令令为了保证有限性条件要求：为了保证有限性条件要求：当当 r 0 r 0 时时 R=u/r 有限成立有限成立即即代入方程代入方程令令=-1 第一个求和改为第一个求和改为:把第一个求和号中把第一个求和号中=0=0 项单独写出，则上式改为：项单独写出，则上式改为：再将标号再将标号改

25、用改用 后与第二项合并，后与第二项合并，代回上式得：代回上式得：s(s-1)-s(s-1)-(+1)b+1)b0 0=0=0 s(s-1)-s(s-1)-(+1)=0+1)=0S =-不满足不满足 s 1 条件，舍去。条件，舍去。s=+1高阶项系数：高阶项系数：(+s+1)(+s)-(+1)b+1+(-s)b=0系数系数b b的递推公式的递推公式注意到注意到 s=+1上式之和恒等于零，所以上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即得各次幂得系数分别等于零，即（三）使用标准条件定解（三）使用标准条件定解（3）有限性条件）有限性条件（1）单值；）单值；（2）连续。）连续。二条件满足二条件满

26、足1.0 时，时，R(r)有限已由有限已由 s=+1 条件所保证。条件所保证。2.时，时，f()的收敛性的收敛性 如何？如何？需要进一步讨论。需要进一步讨论。所以讨论波函数所以讨论波函数 的收敛的收敛 性可以用性可以用 e 代替代替 f()后项与前项系数之比后项与前项系数之比级级 数数 e 与与f()收收 敛敛 性性 相同相同 可见若可见若 f()f()是是无穷级数，则波函数无穷级数，则波函数 R R不满足有限性条件，所不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起以必须把级数从某项起截断截断。与谐振子问题类似，为讨论与谐振子问题类似，为讨论 f()f()的收敛性现考察级的收敛性现考察级数后项系数与

27、前项系数之比：数后项系数与前项系数之比：最高幂次项的最高幂次项的 maxmax=n=nr r令令注意注意 此时多项式最高项此时多项式最高项 的幂次为的幂次为 n nr r+1+1则则于是递推公式改写为于是递推公式改写为量量 子子 数数 取取 值值由由 定定 义义 式式由此可见，在粒子能量由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态）小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取仅当粒子能量取 E En n 给出给出 的分立值时，波函数才满的分立值时，波函数才满 足有限性条件的要求。足有限性条件的要求。En 0将将=n 代入递推公式：代入递推公式：利用递推公式可把利用递推公式可把 b1,b2,.,bn-1

28、用用b0 表示表示 出来。将这些系数代入出来。将这些系数代入 f()表达式得：表达式得：其封闭形式如下：其封闭形式如下：缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式总总 波波 函函 数数 为：为：至此只剩至此只剩 b b0 0 需要需要归一化条件确定归一化条件确定则径向波函数公式：则径向波函数公式：径向波函数径向波函数第一第一Borh Borh 轨道半径轨道半径使用球函数的使用球函数的 归一化条件：归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：从而系

29、数从而系数 b b0 0 也就确定了也就确定了（四）归一化系数（四）归一化系数下面列出了前几个径向波函数下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：表达式：（1 1）本征值和本征函数）本征值和本征函数（2 2）能级简并性）能级简并性能量只与主量子数能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与有关，而本征函数与 n,m 有关，故能级存在简并。有关，故能级存在简并。当当 n n 确定后，确定后，=n-n=n-nr r-1-1，所以，所以 最大值为最大值为 n-1n-1。当当 确定后，确定后，m=0,m=0,1,1,2,.,2,.,。共共 2 2 +1 +1 个值。所以对于个值。所以对于 E E n

30、 n 能级其简并度为：能级其简并度为：即对能量本征值即对能量本征值E En n由由 n n2 2 个本征函数与之对应，也就是说有个本征函数与之对应，也就是说有 n n2 2 个量子态的能量是个量子态的能量是 E En n。n=1 n=1 对应于能量最小态，称为基态能量，对应于能量最小态，称为基态能量，E E1 1=Z=Z2 2 e e4 4/2/2 2 2，相应基态波函数是，相应基态波函数是 100 100=R=R1010 Y Y0000，所以基态是非简并态。，所以基态是非简并态。当当 E 0 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，

31、粒子不出现，有限运动穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。波函数可归一化为一。n=nn=nr r+l +l =0,1,2,.n=0,1,2,.nr r=0,1,2,.=0,1,2,.（五）总结（五）总结（3 3）简并度与力场对称性）简并度与力场对称性 由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与 m m 无无关，关，而与而与 有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量 E E 不仅与径量子数不仅与径量子数 n nr r有关，而且与有关，而且与 有关，即有关，即 E=EE

32、=Enlnl，简并度就为，简并度就为 (2(2 +1)+1)度。度。但是对于库仑场但是对于库仑场 -Ze-Ze2 2/r/r 这种特殊情况，得到的能量只与这种特殊情况，得到的能量只与 n=nn=nr r+1+1有关。有关。所以又出现了对所以又出现了对 的简并度，这种简并称为的简并度，这种简并称为附加简并附加简并。这是由于库仑场具有比。这是由于库仑场具有比 一般中心力场一般中心力场 有更高的对称性有更高的对称性的表现。的表现。当考虑当考虑 Li,Na,KLi,Na,K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产 生的有心力场中运动。这个场

33、不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级 E Enlnl仅仅 对对 m m 简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在 r r1 1 和和 r r2 2 两点，有两点，有效电荷是不一样的，效电荷是不一样的，-Z e-Z e2 2/r/r 随着随着 r r 不同有效电荷不同有效电荷 Z Z 在改变，此时不再是严在改变，此时不再是严格的点库仑场。格的点库仑场。（4 4）宇称）宇称当空间反射时当空间反射时球坐标系球坐标系 的变换是：的变换是：于是波函数作如下变化于是波函数作如下变化或或

34、1.expim1.expim expim(expim(+)=(-1)=(-1)m m expimexpim ，即，即 expimexpim 具有具有 m m 宇称。宇称。2.2.因为因为 cos cos cos(cos(-)=-)=cos cos 或或 ，所以所以 P P m m()P()P m m()，波函数的宇称将由，波函数的宇称将由 P P m m()()的宇称决定。的宇称决定。+-xyz根据球谐函数形式：根据球谐函数形式：Y Y m m 变换由变换由 expimexpim 和和 P P m m(cos(cos)两部分组成。两部分组成。P P m m()()的宇称的宇称由由 P P m

35、m()()封闭形式知封闭形式知,其其宇称决定于宇称决定于 又因为又因为(2-1)是是 的偶次幂的偶次幂多项式，所以多项式，所以当微商次数当微商次数 (+m)+m)是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在造成在 -变换时，多项式改变符号，变换时，多项式改变符号，宇宇 称称 为为 奇奇；当微商次数当微商次数 (+m)+m)是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，造成在造成在 -变换时，多项式符号不变，变换时，多项式符号不变，宇宇 称称 为为 偶偶 。所以所以 P P m m(cos(cos)具有具有 (+m)+m)宇称，

36、即：宇称，即：P P m m(cos(cos)P)P m m(cos(cos（-）)=P)=P m m(-cos(-cos)=(-1)=(-1)+m+m P P m m(cos(cos)综合以上两点讨论综合以上两点讨论于是总波函数在空间反射下作如下变换：于是总波函数在空间反射下作如下变换：应该指出的是，应该指出的是，coscos是是的偶函数，但是的偶函数，但是cos(-)=-cos()cos(-)=-cos()却具有奇宇称，这再次说却具有奇宇称，这再次说明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆

37、起来。例：例：原子外层电子（价电子）所受原子实（原子核及内层电子）原子外层电子（价电子）所受原子实（原子核及内层电子）的平均作用势可以近似表示为：的平均作用势可以近似表示为：求求 价电子能级。价电子能级。设价电子波函数为：设价电子波函数为：解：解：径向方程为：径向方程为：在求解方程之前，我们先分析在求解方程之前，我们先分析 一下该问题与氢原子的异同点，一下该问题与氢原子的异同点，从而找出求解的简捷方法。从而找出求解的简捷方法。令：令：本本 征征 能能 量量(+1)-2=+1)-2=(+1)+1)=(=(-)()(-+1)+1)=(+1)-(2+1)-(2 +1)+1)+2 2由于由于 1 1，

38、二级小量可略。二级小量可略。令：令：=-=-则则 n=+nr+1=-+nr+1=n -代入上式代入上式 并除以并除以 (r)(R)于是：于是：第二式是质心运动方程，描述第二式是质心运动方程，描述 能量为能量为(E(ET T-E)-E)的自由粒子的定态的自由粒子的定态 SchrodingerSchrodinger方程，说明质心以能方程，说明质心以能 量量(E(ET T-E)-E)作自由运动。作自由运动。由于没有交叉项，波函由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表数可以采用分离变量表示为：示为：只与只与 R R 有关有关只与只与 r r 有关有关我们感兴趣的是我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的描

39、述氢原子的内部状态的第一个方程第一个方程，它描述一个，它描述一个质量为质量为 的粒子在势能为的粒子在势能为 V(r)V(r)的力场中的运动。这的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动是一个电子相对于核运动的波函数的波函数 (r)(r)所满足的所满足的方程，相对运动能量方程，相对运动能量 E E 就就是电子的能级。是电子的能级。返回返回n=1 n=1 的态是基态，的态是基态，E E1 1 =-(=-(e e4 4/2 /2 2 2)，当当 n n 时，时，E E=0=0，则电离能为：，则电离能为：=E=E-E-E1 1=-E=-E1 1 =e =e4 4/2 /2 2 2 =13.579 eV.

40、=13.579 eV.氢原子相对运动定态氢原子相对运动定态SchrodingerSchrodinger方程方程 问题的求解上一问题的求解上一节已经解决，只要令：节已经解决，只要令：Z=1,Z=1,是折合质量即是折合质量即可。于是氢原子能级和相可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：应的本征函数是：（1 1）能级）能级1.1.基态及电离能基态及电离能2.2.氢原子谱线氢原子谱线 RH是里德堡常数。上式是里德堡常数。上式 就是由实验总结出来的巴尔就是由实验总结出来的巴尔 末公式。在旧量子论中末公式。在旧量子论中Bohr 是认为加进量子化条件后得是认为加进量子化条件后得 到的，而在量子力学中是通到的，

41、而在量子力学中是通 过解过解Schrodinger方程自然而方程自然而 然地导出的，这是量子力学然地导出的，这是量子力学 发展史上最为突出的成就之发展史上最为突出的成就之 一。一。（二）氢原子能级和波函数（二）氢原子能级和波函数（2 2）波函数和电子在氢原子中的几率分布）波函数和电子在氢原子中的几率分布1.1.氢原子的波函数氢原子的波函数将上节给出的波函数取将上节给出的波函数取 Z=1,Z=1,用电子折合质量，就得到用电子折合质量，就得到 氢原子的波函数：氢原子的波函数：2.2.径向几率分布径向几率分布例如：对于基态例如：对于基态当氢原子处于当氢原子处于nlmnlm(r,(r,)时，时，电子在

42、电子在(r,(r,)点附近体积元点附近体积元 d d =r=r2 2sinsin drd drd d d 内的几率内的几率对空间立体角积对空间立体角积 分后得到在半径分后得到在半径 r r r+dr r+dr 球壳内找到电子球壳内找到电子 的几率的几率考虑球谐函数考虑球谐函数 的归一化的归一化求最可几半径极值求最可几半径极值1，02，03，04，00 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36r/a0a0Wn l(r)0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1Wn l(r)r 的函数关系的函数关系n，lRn l(r)的节点数的节点数 n r=n 12，13，14，10

43、 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48r/a0a0Wn l(r)0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04Wn l(r)r 的函数关系的函数关系n，lRn l(r)的节点数的节点数 n r=n 13.几率密度随角度变化几率密度随角度变化对对 r r(0)积分积分R Rnlnl(r)(r)已归一已归一电子在电子在 (,(,)附近立体角附近立体角 d =sin d d 内的几率内的几率右图示出了各种右图示出了各种 ,m,m态下，态下，W W m m()关于关于 的函数关系，由于它与的函数关系，由于它与 角角无关，所以图形都是绕无关，所以图形都是绕z z

44、轴旋转对称轴旋转对称的立体图形。的立体图形。该几率与该几率与 角无关角无关例例 1.1.=0,m=0=0,m=0，有，有 ：W W0000=(1/4=(1/4)，与，与 也无关，也无关，是一个球对称分布。是一个球对称分布。xyz例例2.2.=1,m=1,m=1 1时，时，W W1,1,1 1()=(3/8)sin()=(3/8)sin2 2 。在。在 =/2=/2时，时，有最大值。有最大值。在在 =0=0 沿极轴方向（沿极轴方向（z z向）向）W W1,1,1 1=0=0。例例3.3.=1,m=0 =1,m=0 时，时，W W1,01,0()=3/4 cos)=3/4 cos2 2。正好与例正

45、好与例2 2相反，在相反，在 =0=0时，最大；在时，最大；在 =/2=/2时，时，等于零。等于零。z zyx xyZm=-2m=+2m=+1m=-1m=0 =2（1 1）原子中的电流密度）原子中的电流密度原子处原子处 于定态于定态电子在原子内部运动形电子在原子内部运动形 成了电流，其电流密度成了电流，其电流密度 代入代入 球坐标球坐标 中梯度中梯度 表示式表示式则则1.1.由于由于 nlm nlm 的径向波函数的径向波函数 R Rnlnl(r)(r)和与和与 有关的函数部分有关的函数部分 P Pl lm m(cos(cos)都是实函数，所以代入上式后必然有：都是实函数，所以代入上式后必然有：

46、2.2.绕绕 z z 轴的环电流密度轴的环电流密度 j j 是上式电流密度的是上式电流密度的 o o 向分量：向分量：最后得：最后得：（四）原子中的电流和磁矩（四）原子中的电流和磁矩（2 2）轨道磁矩）轨道磁矩则总磁矩则总磁矩 （沿（沿 z z 轴方向）是：轴方向）是：j j 是绕是绕 z z 轴的环电流密度，所轴的环电流密度，所 以通过截面以通过截面 d d 的电流元为：的电流元为：对磁矩的贡献是：对磁矩的贡献是：圆面积圆面积 S=S=(rsin(rsin)2 2波函数波函数 已归一已归一 r sin d j xzyorz d rdrd 几点讨论：几点讨论：1.1.由上式可以看出，磁矩与由上

47、式可以看出，磁矩与 m m 有关，有关，这就是把这就是把 m m 称为磁量子数的理由。称为磁量子数的理由。2.对对 s 态，态，(=0)，磁矩，磁矩 MZ=0，这是由于电流为零的缘故。这是由于电流为零的缘故。3.由上面的由上面的 MZ 表达式表达式m m 是轨道角动量的是轨道角动量的 z z 分量。上式比值称为回转磁比值（轨道回转磁比），分量。上式比值称为回转磁比值（轨道回转磁比），或称为或称为 g g 因子。取因子。取(e/2C)(e/2C)为单位，则为单位，则 g=-1g=-1。由于原子极轴方向（即由于原子极轴方向（即z方向）方向）是任意选取的，所以上式也是任意选取的，所以上式也 可以表示

48、为：可以表示为：ML 的角标表示是的角标表示是 轨道角动量磁矩轨道角动量磁矩算符算符 表示表示返回返回 第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量（一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性（三）厄密算符本征函数的正交性 （四）实例（四）实例5 5 厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与本征函数定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。证：证：逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数

49、的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：证：取取=1 1+c+c2 2，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。（一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值因为对任因为对任 意波函数意波函数左式左式=右式右式令令c=1，得：，得：令令c=i，得：，得：二式相加得：二式相加得：二式相减得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实

50、数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有：（1 1）涨落）涨落因为是厄密算符因为是厄密算符必为实数必为实数因而因而也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：于是有：（2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即：则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态