上海市2023届高三下学期卓越测试数学试题.docx

1、上海市2023届高三下学期卓越测试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1设集合，则_2已知为虚数单位，复数满足，则_.3在平面直角坐标系内，直线：，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为_4已知，则_.5设定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是_.6在平面直角坐标系中，有一定点，若的垂直平分线过抛物线：的焦点，则抛物线的方程为_7设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是，若这三个供应商的供货比例为，那么这个部件的总体良品率是_（用分数作答）8记的展开式中第m项的系数为，若，则_.9从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变

2、量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望_10已知函数有两个零点，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为_.11设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为_.12已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_.二、单选题13“”是“”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要不充分条件D既非充分又非必要条件14设为两条不同的直线，为一个平面，则下列命题正确的是（）A若直线平面，直线平面，则B若直线上有两个点到平面的距离相等，则C直线与平面所成角的取值范围是D若直线平面，直线平面，则15已知、是

3、平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A1B2CD16已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是（）ABCD三、解答题17如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）18已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.19如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人

4、吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示）20如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.（1）若，求的值；（2）求证：；（3）求面积的最大值21已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、成等差数列，、成等比数列，且（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围试卷第3页，共4页参考答案：1【分析】先分别解对应不等式，化简两集合，再根据交集的概念，即可得出结果【详解】，则，故答案为：【点睛

5、】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念，以及不等式的解法即可，属于基础题型21【分析】利用复数的四则运算求出，再求其模【详解】因为，所以，则.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题3【分析】由题意可得绕轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积【详解】由题意可知绕轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为:【点睛】本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型4.【分析】由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值.【详解】

6、，解得，故答案为：.【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.5【分析】先由解析式求出在时的解集，再由奇函数的定义得，以及时的不等式的解集综合后可得所求解集【详解】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式属于中档题6【分析】先求出线段的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得的值，即可得到抛物线方程【详解】点，依题意我们容易求得直线的方程为，把焦点坐标代入可求得焦参数，从而得到抛物线

7、的方程为：故答案为：【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型7【分析】部件的总体良品率是，计算得到答案.【详解】部件的总体良品率是：.故答案为：85【分析】利用二项展开式的通项公式可得求解即可【详解】由得即解得故答案为：59【分析】记所有棱长均为2的正四棱锥为，其中是边长为2的正方形，推导出的可能取值为，2，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望【详解】如图所有棱长均为2的正四棱锥中，是边长为2的正方形，底面，的可能取值为，2，.故答案为：【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记离散型随机变

8、量的期望的概念即可，属于常考题型10【分析】计算，代入计算得到，确定为首项为，公比为的等比数列，求和得到答案.【详解】函数有两个零点，故，故为首项为，公比为的等比数列，数列的前2023项的和为，故答案为：11【详解】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，则，令，则,若t0，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本

9、不等式或线性规划知识求之.12.【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，当或时，显然成立；当时，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.13C【分析】根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详

10、解】因为，根据三角函数的基本关系式，可得，反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.14D【分析】平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，：当直线与平面相交时，也成立，B错误，直线与平面垂直时夹角为，C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面的距离相等，错误；对选项C：直线与平面垂直时夹角为，错误；对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确.故选：D15C【分析】由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再由运用向量数量

11、积的定义化简得，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值【详解】由题意得， 有，得，即，当，即与同向时，的最大值是.故选：C.16B【分析】先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围【详解】函数的图象如下图所示：若满足，其中，则，则，即，则，同时，关于对称，则，则，则，即，故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型17（1）证明见解析（2）【分析】（1）推导出，由此能证明平面（2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小【详解】（1）底面是等腰

12、直角三角形，且，平面，平面（2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，则，由（1）得是平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图形知二面角的大小是锐角，二面角的大小为【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型18（1）单调递增区间是（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性即可得函数的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数的解析式，令，根据正弦函数的图象与性质即可求出的值【详解】（1）化简可得，由得：的单调递增区间是；（2）由已知，由

13、，得，,即方程的解为【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，属于中档题.19（1）1.4米；（2）.【分析】（1）由题意可知：，中，根据余弦定理求；（2）由（1）可求得，根据正弦定理求，再求的大小.【详解】解：（1）设分别是A、B、C所对的边， 均为正数。由题意可知：，由余弦定理可得： 由得，即B、C两处垃圾的距离是1.4米。（2）由题意得：正弦定理可得：即，由题意，为锐角，得即，智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查两个公式的灵活掌握，以及计算能力，属

14、于中档题型，本题的关键是分析题意得到，.20（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出（2）证明，等价于证明等价于，由此能证明（3）令，利用基本不等式性质能求出面积的最大值【详解】（1）联立，得，直线与椭圆相交于、两点，即或，设，则，代入上式，解得（2）由图形得要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，即等价于，（3）或，令，则，当且仅当，即，取等号，面积的最大值为【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型21（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】（1）由

15、题意可得，联立化简变形可得即证；（2）由（1）可得，即为所求；结合求出；（3）法一：由（2）得，表示出，将原不等式等价转化为，结合二次函数的性质讨论即可；法二：由（2）得，表示出，将原不等式等价转化为不等式化为对任意恒成立，研究函数的单调性，求出，则.【详解】解：（1）由已知， 由可得将代入，得对任意，有，即，所以，是等差数列（2）设数列的公差为由，得，所以由已知，当时，而也满足此式所以数列、的通项公式为：（3）由（2），得，则不等式化为解法一：不等式化为，设，则对任意恒成立当，即时，不满足条件，当，即时，满足条件当，即时，函数图像的对称轴为直线，关于递减，只需，解得，故综上可得，的取值范围是解法二：不等式化为对任意恒成立，即，设，任取、，且，则，故关于递减又且，所以对任意恒成立，所以因此，实数的取值范围是答案第13页，共13页