北京市石景山区2023届高三下学期一模数学试卷+答案.pdf

1、1 2023 年北京市石景山区高三一模数学试卷 本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。1.已知集合22Axx=，220Bx xx=+，则AB=A.2,2 B.2,1 C.0,1 D.0,2 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,1)，则iz=A.1 2i B.2i C.12i+D.2i 3.已知双曲线22214xyb=(0)b 的离心率是2，则b=A

2、.12 B.2 3 C.3 D.32 4.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是 A.()sinf xx=B.|()2xf x=C.3()f xxx=+D.1()(ee)2xxf x=5.设0 x，0y，则“2xy+=”是“1xy”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知数列 na满足：对任意的*,m nN，都有mnm na aa+=，且23a=，则10a=A.43 B.53 C.63 D.103 2 7.若函数()sin()f xAx=+(0,0,0)2A的部分图像如图所示，则的值是 A.3 B.6 C.4 D.12 8.在不

3、考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是2000ln(1)Mvm=+.当燃料质量与火箭质量的比值为0t时，火箭的最大速度可达到0vkm/s.若要使火箭的最大速度达到02vkm/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为 A.202t B.200tt+C.02t D.2002tt+9.已知直线:220l kxyk+=被圆22:(1)25C xy+=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 10.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面

4、内一动点，给出下列三个命题：若点P总满足11PDDC，则动点P的轨迹是一条直线；若点P到直线1BB与到平面11CDDC的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；若点P到直线1DD的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 3 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.向量(2sin,cos)=a，(1,1)=b，若/ab，则tan=_.12.抛物线2:4C xy=的焦点坐标为_，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为_.13.若1()nxx+的展开式中含有常数项，则

5、正整数n的一个取值为_.14.设函数33,(),xx xaf xxxa=若0a=，则()f x的最大值为_；若()f x无最大值，则实数a的取值范围是_.15.项数为k*(,2)kkN的有限数列 na的各项均不小于1的整数，满足123123122220kkkkkaaaaa+=，其中10a.给出下列四个结论：若2k=，则22a=；若3k=，则满足条件的数列 na有4个；存在11a=的数列 na；所有满足条件的数列 na中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_.4 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）如图，在ABC中，4 2AC=

6、，6C=，点D在BC边上，1cos3ADB=.（）求AD的长；（）若ABD的面积为2 2，求AB的长.5 17.（本小题 13 分）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）(4,7(7,10(10,13(13,16 第 1 组鸡冠花株数 9 20 9 2 第 2 组鸡冠花株数 4 16 16 4 第 3 组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估

7、计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.（）从第 1 组所有鸡冠花中各随机选取 1 株，估计株高增量为(7,10厘米的概率；（）分别从第 1 组，第 2 组，第 3 组的所有鸡冠花中各随机选取 1 株，记这 3 株鸡冠花中恰有X株的株高增量为(7,10厘米，求X的分布列和数学期望EX；（）用“1k=”表示第k组鸡冠花的株高增量为(4,10，“0k=”表示第k组鸡冠花的株高增量为(10,16厘米，1,2,3k=，直接写出方差123,DDD的大小关系.（结论不要求证明）6 18.（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且2PAD=，

8、点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E.（）求证：/EFAD；（）从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与 平面ADFE所成锐二面角的大小.条件：2AE=；条件：平面PAD平面ABCD；条件：PBFD.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.7 19.（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(0,3)，且离心率为12.（）求椭圆C的方程；（）过点(1,1)P 且互相垂直的直线12,l l分别交椭圆C于,M N两点及,S T两点.求|PMPNPSPT的取值范围.8 20.（本小题

9、 15 分）已知函数()e1sinxf xmx=()mR.（）当1m=时，（）求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程；（）求证：(0,)2x，()0f x.（）若()f x在(0,)2上恰有一个极值点，求m的取值范围.9 21.（本小题 15 分）若无穷数列 na满足以下两个条件，则称该数列为数列.11a=，当2n 时，1|2|2|nnaa=+；若存在某一项5ma ，则存在1,2,1km，使得4kmaa=+*(2)mmN且.（）若20a，写出所有数列的前四项；（）若20a，判断数列是否为等差数列，请说明理由；（）在所有的数列中，求满足2021ma=的m的最小值.高三数学答案第 1页

10、（共 8页）石景山区石景山区 2023 年高三统一练习年高三统一练习数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评分参考一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）A（6）B（7）A（8）D（9）B（10）C二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）12（12）(0,1)3（13）3（只要是3正整数倍即可）（14）2(,2)（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）(本小题满分 13 分)解：（）因为ADBADC ，所以1coscos3ADCADB 在ADC中，因为(0,)ADC，所以22 2sin1cos3ADC

11、ADC在ABD中，由正弦定理得，sinsinADACCADC所以14 2sin232sin23ACCADADC（）ABD的面积为2 2，得1sin2 22DB DAADB，因为ADBADC ，所以2 2sinsin3ADCADB又因为3AD，所以2BD 在ABD中，由余弦定理得2222cosABDADBDA DBADB2213223292 所以3AB 高三数学答案第 2页（共 8页）（17）(本小题满分 13 分)解：（）设事件A为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10厘米所以()P A估计为20140

12、2（）设事件B为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10厘米”，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10厘米”，根据题中数据，()P B估计为162405，()P C估计为1234010根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且(0)()()()()P XP ABCP A P B P C，(1)()P XP ABCABCABC()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P C(3)()P XP ABC()()()P A P B P C(2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X

13、所以，(0)P X 估计为21100；(1)P X 估计为1125；(3)P X 估计为350；(2)P X 估计为29100所以X的分布列为X0123P21100112529100350所以EX估计为21112936012310025100505 （）132DDD高三数学答案第 3页（共 8页）（18）(本小题满分 14 分)解：（）证明：因为底面ABCD是正方形，所以/ADBC，BC 平面PBC，AD 平面PBC,所以/AD平面PBC又因为平面ADF与PB交于点E.AD 平面ADFE，平面PBC 平面,ADFEEF所以/EFAD.（）选条件侧面PAD为等腰直角三角形，且,2PAD即2PAA

14、D，PAAD平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA 平面PAD,则PA 平面ABCD，又ABCD为正方形，所以,PAAB PAAD ABAD.以点A为坐标原点，,AB AD AP方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)APCBD因为2AE，所以点E为PB的中点，则(1,0,1)E从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PCADAE ，设平面ADFE的法向量为：(,)x y zn，则020AExzADy nn，令1x，可得(1,0,1)n（方法 2：因为P

15、AB为等腰三角形，则,PBAE PBAD AEADAPB 平面ADFE，则(2,0,2)PB 平面ADFE的法向量）设平面PCD的法向量为：(,)a b cn，则高三数学答案第 4页（共 8页）2202220PDyzPCxyz nn，令1y，可得(0,1,1)n所以|1|cos,|2|PBPBPB nnn则两平面所成的锐二面角为3选条件侧面PAD为等腰直角三角形，且,2PAD即2,PAADPAAD,ADAB PAABA，可得AD 平面PAB，PB 平面PAB，则ADPB.又因为,PBFD ADFDD则PB 平面ADFE,AE 平面,ADFE则PBAE因为PAAB，所以PAB为等腰三角形，所以点

16、E为PB的中点又因为2AE，所以PAB为等腰直角三角形，下面同选条件侧面PAD为等腰直角三角形，且2PAD，即2,PAADPAAD平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA 平面PAD,则PA 平面,ABCD ABCD为正方形，所以,PAAB PAAD ABAD.又因为,PBFD ADFDD则PB 平面ADFE，AE 平面,ADFE则PBAE因为PAAB，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.下面同高三数学答案第 5页（共 8页）（19）(本小题满分 15 分)解：（）因为椭圆过点(03)，故3b，12cea，222abc，则2a，故椭圆的标准方程为：22143xy.（

17、）当直线1l斜率不存在12:1,:1lxly 分别代入椭圆方程得：332 62 6(1,),(1,),(,1),(,1)2233MNST 所以：3135|1,|1,2222PMPN 2 62 6|1,|1,33PSPT可得：|3|4PMPNPSPT，当直线2l斜率不存在时，同理可得，|4|3PMPNPSPT当12,l l斜率均存在且不为0时，设直线1l斜率为k，则直线2l斜率为1k设直线1l的方程为：1(1)yk x，1122(,),(,)M x yN xy由221(1)143yk xxy，得2222(34)(88)4880kxkk xkk212221220883448834kkxxkkkxx

18、k ，222111|(1)(1)1|1|PMxykx，222222|(1)(1)1|1|PNxykx，高三数学答案第 6页（共 8页）同理可知：设直线2l的方程为：11(1)yxk ，3344(,),(,)S xyT xy342288883434kkxxkk，234248834kkxxk，2233321|(1)(1)1|1|PSxyxk，2244421|(1)(1)1|1|PTxyxk，则21221 2123 434342(1)11|1|1|1|(1)11kxxx xxxPMPNkPSPTx xxxxxk22222222537(43)343 43444(,)4 34343534kkkkkkkk

19、综上所述：|PMPNPSPT的取值范围是3 4,4 3（20）(本小题满分 15 分)解：（）当1m 时，()ecosxfxx,（）(0)0f，又(0)0f，所以切线l方程为0y（）()e1sinxf xx 解法一：()ecosxfxx，因为(0,)2x，所以e1x，cos1x,所以ecos0 xx，所以()ecos0 xfxx所以()f x在(0,)2单调递增，所以()(0)0f xf解法二：令()e1xg xx，(0,)2x，则()e10 xg x 高三数学答案第 7页（共 8页）所以，函数()e1xg xx 在(0,)2单调递增所以()(0)0g xg，即e10 xx 令()sinh x

20、xx，(0,)2x，则()1cos0h xx 所以，函数()sinh xxx在(0,)2单调递增所以()(0)0h xh，即sin0 xx所以()e1sin0 xf xx（）()e1sinxf xmx，()ecosxfxmx，当1m时，所以coscosmxx，()ecosecosxxfxmxx，由（）知，()0fx，所以()f x在0,2上单调递增所以当1m时，()e1sinxf xmx 没有极值点当1m 时，()ecosxfxmx，因为exy 与cosymx 在0,2单调递增所以()fx在0,2单调递增所以(0)10fm，2()e02f 所以0(0,)2x使得0()0fx所以当00 xx时，

21、()0fx，因此()f x在区间0(0,)x上单调递减当02xx时，()0fx，因此()f x在区间0(,)2x上单调递增故函数()f x在(0,)2上恰有一个极小值点，m的取值范围是(1,+).高三数学答案第 8页（共 8页）（21）(本小题满分 15 分)解：（）由条件知，当2n时，1nnaa 或14nnaa.因为20a，由条件知21a .所以数列的前四项为：1,1,1,1；1,1,1,5；1,1,3,3；1,1,3,7.（）若20a，数列是等差数列.由条件知，当2n时，1nnaa 或14nnaa.因为20a，所以25a.假设数列中存在最小的正整数i（3i），使得1iiaa.由条件知，12

22、1,ia aa单调递增，即均为正数，且125iaa.所以15iiaa.由条件知，则存在1,2,1ki，使得14kiaa.此时与121,ia aa均为正数矛盾，所以不存在整数i（3i），使得1iiaa，即14nnaa.所以数列为首项为1公差为4的等差数列.（）由2021ma 及条件，可得1，5，9，2017，2021必为数列na中的项，记该数列为 nb，有43(1506)nbnn.不妨令jnba，由条件，143jjaan 或1447jjaan，均不为141nbn；此时j 243an 或41n 或47n 或411n，均不为141.nbn 上述情况中，当143jan，241jan时，32141jjnaanb ，结合11a，则有31.nnab由5062021b，得3 50611517m 即为所求（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）