高中数学压轴题解析:平面向量.docx
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1、平面向量一、单选题1设向量,满足,则的最大值等于( )A1BCD22已如平面向量、,满足,则的最大值为( )ABCD3已知直线上有两点,且.已知满足,若,则这样的点个数为( )A1B2C3D44已知P是函数()图象上的动点,点,O为坐标原点,若存在实数,使得成立,则的最小值是( )A1 B C D5在平面内,定点,满足,动点,满足,则的最大值是( )A12B6CD6如图梯形,且,在线段上,则的最小值为ABCD7若,且,则的取值范围是()ABCD8已知平面向量满足:,且,则的最大值是( )A9B10C12D149已知,是半径为的圆上的动点,线段是圆的直径,则的取值范围是( )ABCD10已知平面
2、向量,对任意实数x,y都有,成立若,则的最大值是( )ABCD11在中,若点为边所在直线上的一个动点,则的最小值为( )ABCD12梯形中平行于,,为腰所在直线上任意一点,则的最小值是( )ABCD13已知、是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上任意一点,以为直径作圆,直线与圆交于点(点不在椭圆内部),则AB4C3D114如图,在等腰梯形中,高为,为的中点,为折线段上的动点,设的最小值为,若关于的方程有两不等实根,则实数的取值范围是( )ABCD15已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若,则此双曲线的标准方程可能为( )Ax21BCD16已知单位向
3、量,满足,若存在向量,使得,则的取值范围是( )ABCD17记在中,为斜边上一动点设,则当取最小值时,( )ABCD18已知单位向量,且,若,则的最小值为( )ABCD119在中,分别为的对边,为的外心,且有,若,则ABCD20已知向量,满足,且对任意的,的最小值为1,向量满足,记,则下列说法正确的是( )A存在,使得B存在,使得C对任意的,恒有D对任意的,恒有21已知中,是的平分线上一点,且.若内(不包含边界)的一点满足,则实数的取值范围是ABCD22定义域为的函数的图象的两个端点为,是的图象上任意一点,其中,(),向量,若不等式恒成立,则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”,
4、则实数的取值范围为A B CD23已知、分别是的三边、上的点,且满足,则( )ABCD24已知,是非零向量,若对任意的实数,有,则( )ABCD25设圆,圆的半径分别为1,2,且两圆外切于点,点,分别是圆,圆上的两动点,则的取值范围是( )ABCD26已知,(m,).存在,对于任意实数m,n,不等式恒成立,则实数T的取值范围为ABCD27在三角形中,、分别是边、的中点,点在线段上(不含端点),且,则代数式的最大值为( )ABCD28在中,已知,为线段上的一点,且,则的最小值为ABCD29已知单位向量,向量,满足,且,其中,当取到最小时,A0B1CD30已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,
5、切点分别为,则的最小值为( )ABC0D二、多选题31下列说法正确的是( )A若非零向量,且,则为等边三角形B已知,且四边形为平行四边形,则C已知正三角形的边长为,圆O是该三角形的内切圆,P是圆O上的任意一点,则的最大值为1D已知向量,则与夹角的范围是32在中,、的交点为,过作动直线分别交线段、于、两点,若,则的不可能取到的值为( )ABCD33如图,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图)的两个顶点,动点在“六芒星”上(内部以及边界),若,则的取值可能是( ) AB1C5D934在RtABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列等式成立的是(
6、) ABCD三、填空题35半径为的圆上有三点、满足,点是圆内一点,则的取值范围为_36已知,若存在,使得与夹角为,且,则的最小值为_.37已知是边长为的正三角形,平面上两动点、满足(且、)若,则的最大值为_38在中,M是所在平面上的动点,则的最小值为_39已知,是平面内两个夹角为的单位向量,若,则的最小值为_.40已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且,当直线与的斜率之积为(其中为坐标原 点)时,则点与点的距离之和的值为_41已知平面向量满足:.若对满足条件的任意,的最小值恰为.设,则的最大值为_.42已知平面向量,满足,若平面向量(且),则的最小值是_.43已知非零向量、不共线,设,定义
7、点集,若对于任意的,当、且不在直线上时,不等式恒成立,则实数的取值范围为_.44圆的方程为,圆的方程为,过圆上任意一点作圆的两条切线、,切点分别为、,则的最小值为_.45在平面凸四边形ABCD中,点M,N分别是边AD,BC的中点,且,若,则的值为_.46给出以下几个结论:若,则;如果且都不为,则,;若,是夹角为的两个单位向量,则,的夹角为;在中,三内角所对的边分别为,则;其中正确结论的序号为_47在中,是的中点,是的中点,过点作一直线分别与边,交于,若,其中,则的最小值是_48如图,在中,点在线段上移动(不含端点),若,则的取值范围是_49在平面内,定点满足,动点满足则的最大值为_.50在中,
8、点为内(包括边界)任意一点,若,则的取值范围为_第 9 页 共 70 页【挑战满分】压轴小题3:平面向量答案解析1D【分析】由题设知,的夹角为,又,若,则四点共圆或在以O为圆心的圆上,求两种情况下的最值,再确定其最大值即可.【解析】由,知:,的夹角为,又,若,即,1、如上图,当四点共圆,而,设圆的半径为R,则,即当且仅当OC为圆的直径时,有最大值.2、如上图,当在以O为圆心的圆上,此时,综上:的最大值为2.故选:D.【小结】将平面向量转化为点共圆,根据,的夹角为,又,讨论位置关系,进而应用圆的性质确定的最大值.2B【分析】作,取的中点,连接,分析出为等边三角形,可求得,计算得出,利用圆的几何性
9、质求出面积的最大值,即可得出结果.【解析】如下图所示,作,取的中点,连接,以点为圆心,为半径作圆,所以,为等边三角形,为的中点,所以,的底边上的高为,所以,所以,由圆的几何性质可知,当、三点共线且为线段上的点时,的面积取得最大值,此时,的底边上的高取最大值,即,则,因此,的最大值为.故选:B.【小结】结论小结:已知圆心到直线的距离为,且圆的半径为,则圆上一点到直线距离的最大值为.3D【分析】根据题设中的等式可得或,所以外接圆的半径,故的个数记为圆心的个数,根据到直线的距离可判断出圆上存在4个不同的点到直线的距离为1,故可得正确答案.【解析】因为,故,故,故,而,故或.因为,故外接圆的半径满足,
10、故.故外接圆的圆心在圆,设外接圆的圆心为,则为直线与圆的两个交点,故的个数即为圆心的个数.因为,故圆心到直线的距离,因为到直线的距离为,而,故圆上存在4个不同的点到直线的距离为1,故这样的点个数为4个.故选:D.【小结】关键小结:根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系,从而计算出三角形的外接圆的半径,再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题.4D【分析】设,由把用表示出来,则得出关于的函数,再利用导数的知识求得其最小值【解析】解析:设,由得,解得,记,则,所以单调递减,所以.故选:D【小结】本题考查向量共线的坐标表示,考查用导数求函数的最值解题关键是由向量线性运算把表示为
11、的函数5A【分析】可证明点是的垂心,又点是的外心,可知是正三角形,则,进而建立直角坐标系,可求得,进而可求出最大值.【解析】,即,所以,同理可得,所以点是的垂心.又,所以点是的外心,故是正三角形,且,建立如图所示的直角坐标系,所以,则,设,由,可设,因为,所以为的中点,所以,则,所以,所以当时,取得最大值12,即的最大值为12.故选:A.【小结】本题考查平面向量数量积的基本运算,考查平面向量在解决几何问题中的运用,考查学生的计算求解能力,属于难题.6B【分析】先建系解得坐标,再设坐标,根据向量数量积列函数关系式,最后根据二次函数性质求最值.【解析】以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系
12、,设,因此,因此,设所以当时,最小值为选B.【小结】以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.7D【解析】如图所示:,点C在劣弧AB上运动,表示C、D两点间的距离的最大值是,最小值为.故选D8C【分析】设,且,构造图形如图所示,根据数量积的运算化简可得结果.【解析】设,且,如图所示:则,且等号可以取到.故选:C. 【小结】本题考查几何法解决向量的运算,考查数量积的运算,考查数形结合的能力,属于难题.9C【分析】建立直角坐标系,设出坐标,求出,然后化简,利用三角函数知识即
13、可求解出它的范围.【解析】解:如图建立平面直角坐标系.设,则,.,其中,从而.的最大值为:,最小值为:.当时,取最大值.,当时,取最小值.故的取值范围是为.故选:.【小结】本题考查向量数量积的应用,考查转化思想和运算能力,建立直角坐标系,利用坐标运算时解答本题的关键,属于中档题.10A【分析】设, ,,由题意可得点在以为直径的圆周上,设圆心为,作出图形,过作,交于点,交圆于点,向量在上的投影的长等于向量在上的投影的长.所以向量在上的投影的长的最大值为(当重合时取最大值.),设,则,则,可得答案.【解析】设, ,则,对任意实数x,y都有,成立即对任意实数x,y都有,成立即,.所以点在以为直径的圆
14、周上.设圆心为.为向量在上的投影的长.过作,交于点,交圆于点,如图,由,则所以向量在上的投影的长等于向量在上的投影.所以向量在上的投影的长的最大值为(当重合时取最大值.).则设,则,则当时,有最大值所以的最大值以为故选:A【小结】本题考查向量的数量积的最值问题,考查向量的几何意义,考查向量的投影的计算,属于难题.11D【分析】以为原点,所在直线为轴,建立坐标系.由余弦定理可求出,结合同角三角函数的基本关系可求出,从而可求出,设,用表示向量的坐标,从而可求出的表达式,进而可求出最小值.【解析】解:由余弦定理可知,所以,如图,以为原点,所在直线为轴,建立坐标系,则,设,因为,则,所以,因为,所以,
15、则,因为,当时等号成立,所以,故选:D.【小结】本题考查了余弦定理,考查了同角三角函数的基本关系,考查了向量的线性坐标运算,考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系,用一个未知数表示所求模长.12B【分析】利用建系的方法,假设,分别计算以及,然后令,最后根据二次函数的性质可得结果.【解析】依据题意,建立如图所示平面直角坐标系设,由,所以则所以令,则所以当时,有故选:B【小结】本题考查利用建系的方法解决向量的问题,本题关键在于采用建系,用坐标表示向量,几何问题代数化,便于计算,属难题.13C【分析】利用向量的数量积运算可得,利用,进一步利用椭圆的定义可转化为,进而得解.【解析】连接,设
16、椭圆的基本量为,,故答案为:3.【小结】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算,属中档题,关键是利用向量的数量积运算进行转化,并结合椭圆的定义计算.14A【分析】先以为坐标原点,为轴,建立直角坐标系,设的横坐标为,将用表示分段表示出来,再求最小值,再对有两不等实根变形,可转化为两函数有两个交点,数形结合,求出的取值范围.【解析】解:以为坐标原点,为轴,建立直角坐标系如图所示:则,设的横坐标为,则 当时,在上动,则当时,的最小值;当,时,在上动,则,则,当时,的最小值又,故,又有两不等实根,则在有两不等实根,则在有两不等实根,则与,有两个交点.当时,有最小值为,当时,当时,则,的图象如图所示
17、,即方程有两不等实根有:.故选:A【小结】本题考查了平面向量及应用,方程根的存在性及个数判断,是方程、向量、不等式的综合应用,还考查了分析推理能力,运算能力,分类讨论思想,数形结合思想,难度较大.15D【分析】由向量的加减运算和数量积的性质,可得,由双曲线的定义可得,再由三角形的余弦定理,可得,即可判断出所求双曲线的可能方程【解析】解:由题可知,若,即为,可得,即有,由双曲线的定义可知,可得,由于过F2的直线斜率为,所以在等腰三角形中,则,由余弦定理得:,化简得:,即,可得,所以此双曲线的标准方程可能为:.故选:D【小结】本题考查双曲线的定义和方程、性质,考查向量数量积的性质,以及三角形的余弦
18、定理,考查运算能力,属于中档题16C【分析】由题意,设向量,的夹角为,由化简求得,设,则,由化简可知即在以为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得即可得答案.【解析】根据题意,设向量,的夹角为,若,则,即,解得:. 则在直角坐标系中,设,则,则有,若,则有,即,变形可得: ,点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,则,则有,则有,所以的取值范围是故选:C.【小结】本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题.17C【分析】当时,讨论点位置,计算得到,得到时,取最小值,再利用射影定理计算得到答案.【解析】当,即,亦即,此时计点位置为,当在上时,;当在上时,;故
19、时,取最小值,根据直角三角形的射影定理,可得,故选:C【小结】本题考查了向量数量积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定时,取最小值是解题的关键.18B【分析】根据题意可设,则可化简整理为,其可理解为动点到两定点的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值.【解析】由题知是单位向量,且,故不妨取,设设,则表示动点到两定点的距离之和,所以,故选:B.【小结】本题考查平面向量的运算平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.19A【分析】由,利用正弦定
20、理得到,再由,运用三角函数的和角公式和正弦定理得到,进而得到,然后利用余弦定理,求得角B,A,C,再由的两边点乘,运用平面向量数量积的定义和性质,得到x,y的方程组求解.【解析】因为, 所以,又因为,所以,所以,所以,即,所以,所以,所以,如图所示:由正弦定理得:,因为,则,所以,即,则,所以,即,.故选:A.【小结】本题主要考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数,平面向量的数量积的定义和性质,还考查了运算求解的能力,属于难题.20C【分析】首先根据题中条件得到,的夹角的大小,然后建立坐标系,利用向量的坐标运算求解【解析】记,的夹角为,由,得,所以因为对任意的,的最小值为1,则,所以,
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