导数大题的常用找点技巧和常见模型 6.doc
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1、导数大题的常用找点技巧和常见模型 引子: (2017 年全国新课标 1理21)已知 2 2 xx f xaeaex. (1)讨论 f x的单调性; (2)若 f x有两个零点,求a的取值范围. 解析: (1) 2 '221211 xxxx fxaeaeeae 若0a,则 '0fx 恒成立,所以 f x在 R 上递减; 若0a ,令 '0fx ,得 11 ,ln x ex aa . 当 1 lnx a 时, '0fx ,所以 f x在 1 ,ln a 上递减; 当 1 lnx a 时, '0fx ,所以 f x在 1 ln, a 上递增. 综上,当0a时,
2、 f x在 R 上递减;当0a 时, f x在 1 ,ln a 上递减,在 1 ln, a 上递增. (2) f x有两个零点,必须满足 min0f x,即0a ,且 min 111 ln1ln0f xf aaa . 构造函数 1lng xxx ,0x. 易得 1 '10gx x ,所以 1lng xxx 单调递减. 又因为 10g,所以 1111 1ln01101gga aaaa . 下面只要证明当01a时, f x有两个零点即可,为此我们先证明当0x时,lnxx. 事实上,构造函数 lnh xxx,易得 1 '1hx x , min 11h xh,所以 0h x ,即lnx
3、x. 当01a时, 2 22 2 2 110 aeae aa f eee , 2 333333 ln121ln11 ln10 a faa aaaaaa , 其中 1 1ln a , 31 lnln a aa ,所以 f x在 1 1,ln a 和 13 ln,ln a aa 上各有一个零点. 故a的取值范围是0,1. 注意:取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面: 22 33 202030ln1 xxxxxxx a aeaexaeaeeaeaex aa ; 另一方面:0x时, 2 20201 xxx aeaexaexx(目测的) 常用的放缩公式(考试时需给出证明过程) 第一组:对数放缩 (放缩成
4、一次函数)ln1xx,lnxx,ln 1xx (放缩成双撇函数) 11 ln1 2 xxx x , 11 ln01 2 xxx x , 1 ln1xxx x , 1 ln01xxx x , (放缩成二次函数) 2 ln xxx, 2 1 ln 110 2 xxxx , 2 1 ln 10 2 xxxx (放缩成类反比例函数) 1 ln1x x , 21 ln1 1 x xx x , 21 ln01 1 x xx x , ln 1 1 x x x , 2 ln 10 1 x xx x , 2 ln 10 1 x xx x 第二组:指数放缩 (放缩成一次函数)1 x ex, x ex, x eex
5、, (放缩成类反比例函数) 1 0 1 x ex x , 1 0 x ex x , (放缩成二次函数) 2 1 10 2 x exxx , 23 11 1 26 x exxx , 第三组:指对放缩 ln112 x exxx 第四组:三角函数放缩 sintan0xxx x , 2 1 sin 2 xxx, 22 11 1cos1sin 22 xxx . 第五组:以直线1yx为切线的函数 lnyx, 1 1 x ye , 2 yxx, 1 1y x ,lnyxx. 几个经典函数模型 经典模型一:经典模型一: ln x y x 或或 ln x y x . 【例 1】讨论函数 lnf xx
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