[首发]广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三第二次调研考试数学（理）试题附答案.docx

1、 绝密启用前 试卷类型：B 2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理理 科科 数数 学学 2020.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2.用 2B 铅笔将考生号及试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能 答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动，先划掉原来的答案，然后

2、再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1.已知集合 2 4Ax x，2Bx xx，则AB （ ） A.22xx B.2x x C.1x x D.2x x 2.设复数 z 的共轭复数是z，且1z ，又复数 z 对应的点为 Z， 1,0A 与0,1B为定点，则函数 1f zzzi取最大值时在复平面上以Z，

3、A，B 三点为顶点的图形是（ ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 3.已知函数 sinf x x（0，0） 的图像过两点 2 0, 2 A ，,0 4 B ， f x在0, 4 内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 f x （ ） A. sin 3 4 f xx B. 3 sin 5 4 f xx C. sin 7 4 f xx D. 3 sin 9 4 f xx 4.在同一平面内，已知 A 为动点，B，C 为定点，且 3 BAC ， 2 ACB ，1BC ，P 为BC中点. 过点 P 作PQBC交AC所在直线于 Q，则AQ在BC方向上投影的最大

4、值是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 3 5.若深圳人民医院有5 名医护人员，其中有男性2 名， 女性3 名.现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两 人刚好为一男一女的概率为（ ） A. 1 6 B. 2 5 C. 3 5 D. 2 3 6.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大 成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发 射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 2 L点的轨道运行， 2 L点是平衡点，位于地月连线 的延长线上.设地球质

5、量为 1 M，月球质量为 2 M，地月距离为 R， 2 L点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定 律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 MMM Rr rR Rr .设 r R ，由于的值很小，因此在近似 计算中 345 3 2 33 3 1 ，则 r 的近似值为（ ） A. 2 1 M R M B. 2 1 2 M R M C. 2 3 1 3M R M D. 2 3 1 3 M R M 7.已知函数2f x（xR）为奇函数，且函数 yf x的图象关于直线1x 对称，当0,1x时， 2020 x f x ，则 2020f（ ） A.2020 B. 1 2020 C. 1 1010 D

6、.0 8.在棱长为 1 的正方体ABCDABCD 中，已知点 P 是正方形AA D D 内部（不含边界）的一个动点， 若直线AP与平面AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP与 DC 所成角的余弦值相等， 则线段DP长度的 最小值是（ ） A. 6 2 B. 2 2 3 C. 6 3 D. 4 3 9.已知 F 是椭圆 E： 22 22 1 xy ab （0ab）的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E 交于 P，Q 两点， 若3PFQF，且120PFQ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A. 7 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 10.如图，斜ABC满足tantan42 3A

7、B，1AB ，max,ABBCAC，其中max,a b 表 示 a， b中较大的数（ab时定义max, a bab）.线段AC的中垂线上有一点D，过点D作DEBC 于点E，满足ABBECE，则点D到ABC外接圆上一点的距离最大值为（ ） A. 4 B. 3 C.2 D.1 11.若设 0 sinaxdx ，则 6 1 a x x 的展开式中的常数项是（ ） A.160 B.160 C.20 D.20 12.已知 m，n，s，t 为正实数，4mn，9 mn st ，其中 m，n 是常数，且st的最小值是 8 9 ，满足条 件的点,m n是双曲线 22 1 28 xy 一弦的中点，则此弦所在的直线

8、 l 的方程为（ ） A.4100xy B.220xy C.4100xy D.460xy 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知函数 2 f xxaxb（0a，0b）有两个不同的零点 1 x， 2 x， 2和 1 x， 2 x三个数适当排 序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 f x的解析式为_. 14.方程 1sin2 sin 33tan2 x x x 在区间0,2上的解为_. 15.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆 1 C： 1的左、右顶点分别为 1 A， 2 A.直线 l： 21 21mym xy（

9、 mR）交椭圆于P， Q 两点，直线 1 AP和直线 2 A Q相交于椭圆外一点R，则点 R 的轨迹方程为_. 16.如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC， 1 1 2 ABBCAD，点 E 是线段CD上异 于点 C，D 的动点，EFAD于点 F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱 锥PABCEF的体积的取值范围为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要

10、求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分）已知 n a是等差数列， n b是各项均为正数的等比数列，且 11 1ba， 34 ba， 12334 bbbaa. （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nn n ca b，求数列 n c的前 n 项和 n T. 18.已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形，PDPB ， H 为PC上的点， 过AH的平面分别交PB， PD于点 M，N，且BD平面AMHN. （1）证明：MNPC； （2）当 H 为PC的中点，3PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60，求AD与平面AM

11、HN 所成角的正弦值. 19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业 2019 年 1 月到 8 月 的相 关数据如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 月养殖量/千只 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 生猪死亡数最/只 29 37 49 53 77 98 126 145 （1）求出月利润；y（十万元）关于月养殖量 x（千只）的线性回归方程（精确到 0.01） ； （2）若 2019 年 9 月份该企业月养殖量为 1.4 万只，请你预估该月月利润是多

12、少万元； （3）从该企业 2019 年 1 月到 8 月这 8 个月中任意选取 3 个月，用 X 表示 3 个月中该企业考核获得优秀的 个数，求 X 的分布列和数学期望. 参考数据： 8 1 1 7 8 i i xx ， 8 1 1 6 8 i i yy ， 8 2 1 460 i i x ， 8 1 379.5 ii i x y 附：线性回归方程ybxa中， 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii xxyxx ynxy b xxxnx ，aybx 20.已知直线1xy过椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段AB的中点 是

13、2 1 , 3 3 M （）求椭圆的方程 （）过原点的直线 l 与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形ACBD面积的最大 值 21.己知函数 2 lnf xaxbxx. （1）当2a 时，函数 f x在0,上是减函数，求 b 的取值范围； （2）若方程 0f x 的两个根分别为 1 x， 2 x（ 12 xx） ，求证： 12 0 2 xx f . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题

14、计分 22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为cos4，曲线 C 的极坐标方程为2cos2sin，以极点 为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 l ：ykx（0x，01k）与曲线 C 交 于 O，M 两点. （1）写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程. （2）若射线 l 与直线 l 交于点 N，求 OM ON 的取值范围. 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 已知3a，函数 2 min 21,242F xxxaxa，其中 , min, , p pq p q q pq . （1）求使得等式 2 242F x

15、xaxa成立的 x 的取值范围； （2） （i）求 F x的最小值 m a. （ii）求在区间上的最大值. 2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理科数学参考答案、解析与评分说明理科数学参考答案、解析与评分说明 2020.4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C C D D C A D A D 二、填空题二、填空题 13. 2 54f xxx 14. 6 或 5 6 15.4x 16. 1 0, 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应

16、写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分）已知 n a是等差数列， n b是各项均为正数的等比数列，且 11 1ba， 34 ba， 12334 bbbaa. （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nn n ca b，求数列 n c的前 n 项和 n T. （）设数列 n a的公差为 d， n b的公比为 q，依题意得 2 2 1 3 125 aq qqd 解得

17、1d ，2q ， 所以11 n ann ， 11 1 22 nn n b （）由（）知 1 2n nnn ca bn ，则 0121 1 22 23 22n n Tn 121 21 22 21 22 nn n Tnn 得： 0121 1 21 21 21 22 nn n Tn 1 1 2 2121 1 2 n nn nn 所以1 21 n n Tn. 18.已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形，PDPB ， H 为PC上的点， 过AH的平面分别交PB， PD于点 M，N，且BD平面AMHN. （1）证明：MNPC； （2）当 H 为PC的中点，3PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为

18、60，求AD与平面AMHN 所成角的正弦值. （1） 连结AC、BD且ACBDO，连结PO. 因为，ABCD为菱形，所以，BDAC， 因为，PDPB，所以，POBD， 因为，ACPOO且AC、PO平面PAC， 所以，BD 平面PAC， 因为，AC 平面PAC，所以，BDPC， 因为，BD平面AMHN， 且平面AMHN平面PBDMN， 所以，BDMN， 所以，MNPC. （2） 由（1）知BDAC且POBD， 因为PAPC，且 O 为AC的中点， 所以，POAC，所以，PO平面ABCD， 所以PA与平面ABCD所成的角为PAO，所以60PAO， 所以 1 2 AOPA， 3 2 POPA ，因为

19、， 3PAAB ，所以， 3 6 BOPA . 以OA，OD，OP分别为 x，y，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 记2PA，所以，0,0,0O，1,0,0A， 3 0,0 3 B ，1,0,0C ， 3 0,0 3 D ， 0,0, 3P， 13 ,0, 22 H 所以， 2 3 0,0 3 BD ， 33 ,0, 22 AH ， 3 1,0 3 AD 记平面AMHN的法向量为, ,nx y z，所以 0 0 n BD n AH ，即 2 3 0 3 33 0 22 y xz ， 令2x ，解得0y ，2 3z ，所以，2,0,2 3n ， 记AD与平面AMHN所成角为，所以， 3 sin

20、cos, 4 n AD n AD n AD . 所以，AD与平面AMHN所成角的正弦值为 3 4 . 19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业 2019 年 1 月到 8 月 的相 关数据如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 月养殖量/千只 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 生猪死亡数最/只 29 37 49 53 77 98 126 145 （1）求出月利润；y（十万元）关于月养殖量 x（千只）的线性回归方程（精确到 0.01） ； （2）若

21、 2019 年 9 月份该企业月养殖量为 1.4 万只，请你预估该月月利润是多少万元； （3）从该企业 2019 年 1 月到 8 月这 8 个月中任意选取 3 个月，用 X 表示 3 个月中该企业考核获得优秀的 个数，求 X 的分布列和数学期望. 参考数据： 8 1 1 7 8 i i xx ， 8 1 1 6 8 i i yy ， 8 2 1 460 i i x ， 8 1 379.5 ii i x y 附：线性回归方程ybxa中， 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii xxyxx ynxy b xxxnx ，aybx （1）根据参考数据可得 8 1 82 2 2

22、 1 8 379.58 7 643.5 0.64 4608 768 8 ii i i i x yxy b xx 所以 43.5 671.52 68 aybx 故月利润 y 关于月养殖量 x 的线性问归方程为0.641.52yx （2）若 2019 年 9 月份，该企业月养殖量为 1.4 万只， 则此时14x 把14x 代入0.641.52yx，0.64 14 1.5210.48y 所以预估该月月利润是 104.8 万元. （3）由题中数据可知，1 月，2 月，3 月，4 月这 4 个月该企业考核都为优秀， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 03 44 3 8 1 0 14 C C P

23、 X C ， 12 44 3 8 3 1 7 C C P X C ， 21 44 3 8 3 2 7 C C P X C 3 4 3 8 1 3 14 C P X C 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 13313 0123 1477142 E X 20.已知直线1xy过椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段AB的中点 是 2 1 , 3 3 M （）求椭圆的方程 （）过原点的直线 l 与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形ACBD面积的最大 值 20.答案： （1）直线1xy与

24、x 轴交于点1,0，所以椭圆右焦点的坐标为1,0，故1c . 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 4 3 xx， 12 2 3 yy， 21 21 1 yy xx ， 又 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ，所以 2222 2121 22 0 xxyy ab ， 即 21212121 22 0 xxxxyyyy ab ，得 22 2ab 又 222 abc，1c ， 所以 2 2a ， 2 1b ， 因此椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）联立方程，得 2 2 1 2 1 x y xy ，解得 0 1 x y 或 4 3 1 3

25、 x y . 不妨令0,1A， 41 , 33 B ，易知直线 l 的斜率存在， 设直线 l：ykx，代入 2 2 1 2 x y，得 22 212kx， 则 2 2 21 x k 或 2 2 21k ， 设 33 ,C x y， 44 ,D xy，则 2 3 22 4 222 2 212121kk x k x . 则 22 34 2 2 2 11 21 CxxDkk k ， 0,1A ， 41 , 33 B 到直线ykx的距离分别是 1 2 1 1 d k ， 2 2 41 33 1 k d k ， 由于直线 l 与线段AB（不含端点）相交， 所以 41 0 10 33 kk ，即 1 4

26、k ， 所以 12 22 444 1 333 11 kk dd kk ， 四边形ACBD的面积 1212 2 1114 21 2223 21 k SCD dCD dCD dd k ， 令1kt ，则 3 4 t ， 22 21243ktt ， 2 22 2 4 24 24 21 332433 41243 23 tt S tt tt tt ， 当 12 3t ，即 1 2 k 时， max 4 214 3 24 16 33 12 S ， 符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为 4 3 3 . 21.己知函数 2 lnf xaxbxx. （1）当2a 时，函数 f x在0,上是减函数，求 b

27、的取值范围； （2）若方程 0f x 的两个根分别为 1 x， 2 x（ 12 xx） ，求证： 12 0 2 xx f . 21.答案： （1） f x在0,上递减， 1 40fxb x 对0,x恒成立. 即 1 4bx x 对0,x恒成立，所以只需 min 1 4bx x . 0x ， 1 44x x ， 当且仅当 1 2 x 时取“”，4b . （2）由已知，得 2 1111 2 2222 ln0 ln0 f xaxbxx f xaxbxx ， 2 111 2 222 ln ln xaxbx xaxbx 两式相减， 得 1 1212121212 2 ln x a xxxxb xxxxa

28、xxb x . 由 1 2fxaxb x 知 12 12 12 2 2 xx fa xxb xx 1 122 111 1 1221212212122 2 21 21211 lnlnln 1 x xxxxxx x xxxxxxxxxxxxx x ， 设 1 2 0,1 x t x ，则 1 2 1 1 2 2 21 21 lnln 1 1 x txx g tt x xt x 2 22 114 0 11 t g t t tt t . g t在0,1上递增， 10g tg. 12 0xx， 1 2 1 1 12212 2 21 11 ln 1 x xx x xxxxx x 0g t . 即 12 0

29、 2 xx f . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为cos4，曲线 C 的极坐标方程为2cos2sin，以极点 为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 l ：ykx（0x，01k）与曲线 C 交 于 O，M 两点. （1）写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程. （2）若射线 l

30、 与直线 l 交于点 N，求 OM ON 的取值范围. （1）曲线 C： 2 2 cos2 sin，故 22 220xyxy， 故 22 112xy， 故曲线 C 的参数方程为 12cos 12sin x y （为参数）. （2）设 1, M ， 2, N ，则 1 2cos2sin， 2 4 cos . 所以 2 1 2 2cos2sincossincoscos11 sin2cos2 4244 OM ON 21 sin 2 444 . 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 已知3a ，函数 2 min 21,242F xxxaxa，其中 , min, , p pq p q q pq .

31、（1）求使得等式 2 242F xxaxa成立的 x 的取值范围； （2） （i）求 F x的最小值 m a. （ii）求在区间上的最大值. （i）由于3a ，故 当1x时， 22 2422121 20xaxaxxax， 当1x 时， 2 2422122xaxaxxxa， 所以，使得等式 2 242F xxaxa成立的 x 的取值范围为2,2a. （2） （i）设函数 21f xx， 2 242g xxaxa， 则 min 10f xf， 2 min 42g xg aaa， 所以，由 F x的定义知 min1 ,m afg a， 即 2 0,322 42,22 a m a aaa . （ii）当02x时， max0 ,222F xf xffF， 当26x时， max2 ,6max 2,34 8max2 ,6F xg xggaFF. 所以 348 ,34 2,4 aa M a a .