2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广西省高考数学（文科）模拟试卷（年广西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x2|2，Bx|x23x+20则 ARB（ ） A （0，12，4） B （1，2） C D （，0）（4，+） 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ） A1 9 B1 6 C 1 18 D

2、5 12 4 （5 分）已知一组样本数据点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ， （x6，y6） ，用最小二乘 法得到其线性回归方程为 = 2 + 4，若数据 x1，x2，x3，x6的平均数为 1，则 y1+y2+y3+y6等于（ ） A10 B12 C13 D14 5 （5 分）若函数 f（x）sinx+acosx 的图象关于直线 = 4对称，则 a 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 6 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2= 5 2，S4= 65 8 ，则其公比为（ ） A1 2 B3 4 C3 2 D2 7 （5 分） 设变量 x， y

3、满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 8 （5 分）曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是（ ） A2 B32 2 C 2 2 D1 9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 DC 的中点，则异面直线 BM 与 第 2 页（共 19 页） A1C 所成角的正弦值为（ ） A210 15 B 15 15 C 65 65 D 8 65 65 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A5 B6 C8 D13 11 （5 分）已知函数 f（x）=

4、 (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 12 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 3 页（共 19 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1

5、3 （5 分）已知向量 =（1，x） ， =（2x，4） 若 ，则|x|的值为 14（5 分） 已知等差数列an的前 n 项和是 Sn， 如果 a2a5+a80， S927， 则 S10 15 （5 分）过抛物线 C：y22x 的焦点 F，且斜率为3的直线交抛物线 C 于点 M（M 在 x 轴的上方） ， l为抛物线C的准线， 点N在l上且MNl， 则M到直线NF的距离为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDCACCB1，则当四面体 ABCD 的体积最大 时，其外接球的表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17

6、（12 分）某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计， 发现分数都位于 2055 之间， 现将所有分数情况分为20， 25） ， 25， 30） ， 30， 35） ， 35，40） ，40，45） ，45，50） ，50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值 作为代表） 18 （12 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2

7、）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D 是 B1C1的中点，A1A A1B12 （1）求证：AB1平面 A1CD； （2）若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60，求四棱锥 A1CDB1B 的体积 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数 fk（x）xlnxa（x+ (1) ） （1）当 a1 时，求 f1（x）在 x1 处的切线方程； （2）对于任意 x1，+） ，f1（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （3）试讨论函数 F（x）f0（x）x 的极值点的个数 21 （

8、12 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅 点为（1，3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ 的面积等于1 2，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并 证明你的结论 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 2

9、2 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 第 5 页（共 19 页） 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒

10、成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年广西省高考数学（文科）模拟试卷（年广西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x2|2，Bx|x23x+20则 ARB（ ） A （0，12，4） B （1，2） C D （，0）（4，+） 【解答】解：Ax|0x4，Bx|1x2， RBx|x1 或 x2，ARB（0，12，4） 故选：A 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A

11、第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2 (1)3 = 2 (1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i； = 1 2 + 1 2i； 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B 3 （5 分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（ ） A1 9 B1 6 C 1 18 D 5 12 【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数 n6636， 向上的点数之和小于 5 包含的基本事件有： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ，共

12、6 个， 向上的点数之和小于 5 的概率为 p= 6 36 = 1 6 故选：B 4 （5 分）已知一组样本数据点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ， （x6，y6） ，用最小二乘 法得到其线性回归方程为 = 2 + 4，若数据 x1，x2，x3，x6的平均数为 1，则 y1+y2+y3+y6等于（ ） 第 7 页（共 19 页） A10 B12 C13 D14 【解答】解：设样本数据点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ， （x6，y6）的样本中心点 为（，） ， 则 =1，代入线性回归方程 = 2 + 4中，得 = 21+42， 则 y1+y2+y

13、3+y66 =12 故选：B 5 （5 分）若函数 f（x）sinx+acosx 的图象关于直线 = 4对称，则 a 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 【解答】解：f（x）sinx+acosx= 2+ 1（sinx 1 2:1 +cosx 2:1） ， 设 cos= 1 2+1，sin= 2+1，则 tana， 即 f（x）= 2+ 1sin（x+） ， f（x）的图象关于直线 = 4对称， 4 +k+ 2，kZ， 则 k+ 4，kZ， atantan（k+ 4）tan 4 =1， 故选：A 6 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2= 5 2，S4= 65 8 ，

14、则其公比为（ ） A1 2 B3 4 C3 2 D2 【解答】解：依题意，显然公比 q1， S2= 1(12) 1 = 5 2， S4= 1(14) 1 = 65 8 ， 两式相除得 1+q2= 13 4 ，解得 q= 3 2或 q= 3 2， 因为数列an是正项等比数列，所以 q0， 所以 q= 3 2 故选：C 第 8 页（共 19 页） 7 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域，

15、 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 故选：D 8 （5 分）曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是（ ） A2 B32 2 C 2 2 D1 【解答】解：设（m，lnm）处的切线与 yx+2 平行 因为= 1 ，故 1 = 1，所以 m1 所以切点为（1，0） 所以最小距离为 d= |10+2| 2 = 32 2 故选：B 9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 DC 的中点，则异面直线 BM 与 第 9 页（共 19 页） A1C 所成角的正弦值为（ ） A21

16、0 15 B 15 15 C 65 65 D 8 65 65 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 DC 的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中设棱长为 2， 则 B（2，2，0） ，M（0，1，0） ，A1（2，0，2） ，C（0，2，0） ， =（2，1，0） ，1 =（2，2，2） ， cos ，1 = 1 | |1 | = 2 512 = 15 15 ， 则异面直线 BM 与 A1C 所成角的正弦值为1 ( 15 15 )2= 210 15 故选：A 10 （5 分

17、）执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） 第 10 页（共 19 页） A5 B6 C8 D13 【解答】解：模拟程序的运行，可得： i0，S1，P0 满足条件 i4，执行循环体，i1，t1，S1，P1 满足条件 i4，执行循环体，i2，t1，S2，P1 满足条件 i4，执行循环体，i3，t2，S3，P2 满足条件 i4，执行循环体，i4，t3，S5，P3 此时，不满足条件 i4，退出循环，输出 S 的值为 5 故选：A 11 （5 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B

18、1，3） C （1，3） D1，3 【解答】解：f（x）在（，+）上是减函数， 1 30 30 2 2 ，解得 1a3， a 的取值范围为1，3） 故选：B 12 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 11 页（共 19 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ） = 1 2 (1 2) =

19、 ，a4，b= 3，c= 19， 所以双曲线的离心率为： = 19 4 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，x） ， =（2x，4） 若 ，则|x|的值为 2 【解答】解： ， 42x20，解得| = 2 故答案为：2 14 （5 分） 已知等差数列an的前 n 项和是 Sn， 如果 a2a5+a80， S927， 则 S10 40 【解答】解：等差数列an的前 n 项和是 Sn，a2a5+a80，S927， (1+ )(1+ 4) + 1+ 7 = 0 91+ 98 2 = 27 ， 解得

20、a15，d2， S1010（5）+ 109 2 2 =40 故答案为：40 15 （5 分）过抛物线 C：y22x 的焦点 F，且斜率为3的直线交抛物线 C 于点 M（M 在 x 轴的上方） ， l为抛物线C的准线， 点N在l上且MNl， 则M到直线NF的距离为 3 【解答】 解： 抛物线 C： y22x 的焦点 F （1 2， 0） ， 且斜率为3的直线方程为 = 3( 1 2)， 所以 2= 2 = 3( 1 2) ，整理得 12x220x+30，解得 = 3 2 或 1 6， 第 12 页（共 19 页） 当 x= 1 6时，解得 y= 3 3 ， 设点 M（3 2 ，3） ，l 为抛物

21、线 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl， 所以 N（ 1 2 ，3） ，所以 NF 的直线方程 = 3( 1 2)， 所以当 M（3 2 ，3）到直线 = 3( 1 2)的距离 d= |33 2+3 3 2| 43 = 3 故答案为：3 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDCACCB1，则当四面体 ABCD 的体积最大 时，其外接球的表面积为 7 3 【解答】解：因为 ADDCAC1，所以底面 ACD 面积为定值， 因此当 CB平面 ACD 时，四面体 ABCD 的体积最大 设ACD外接圆圆心为O1， 则四面体ABCD的外接球的球心O满足OO1BC， 且1= 1 2， 因此

22、外接球的半径 R 满足2= (1 2) 2 + ( 3 3 )2= 7 12 从而外接球的表面积为42= 7 3 故答案为：7 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统 计， 发现分数都位于 2055 之间， 现将所有分数情况分为20， 25） ， 25， 30） ， 30， 35） ， 35，40） ，40，45） ，45，50） ，50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该

23、班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 （每组数据用该组区间中点值 作为代表） 第 13 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： = 2 (0.01 + 0.03 + 0.06 + + 0.03+ + 0.01) 5 = 1， 解得 m0.04，n0.02 （2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为： （22.50.01+27.50.03+32.50.06+37.50.04+42.50.03+47.50.02+52.50.01）5 36.25 （0.01+0.03+0.06）50.5， 该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35 18 （12 分）ABC 中，角 A，B

24、，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 【解答】解： （1）（b2+c22R2）tanA4S， (2+ 2 22) = 4 1 2 ， 即 b2+c22R22bccosA，b2+c22bccosA2R2， 由余弦定理得 a22R2， 由正弦定理得（2RsinA）22R2，得 = 2 2 ， A 为锐角， = 4； （2） = 4，由余弦定理得 2 + 2 2 2 2 = 1，2+ 2= 2 + 1， b2+c22bc，取等号的条件是 bc， 2+2 2 ，

25、= 1 2 = 2 4 1 4 (2 + 1)， S 的最大值为1 4 (2 + 1) 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D 是 B1C1的中点，A1A A1B12 （1）求证：AB1平面 A1CD； （2）若异面直线 AB1和 BC 所成角为 60，求四棱锥 A1CDB1B 的体积 第 14 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：如图，连 AC1交 A1C 于点 E，连 DE 因为直三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C 是矩形，故点 E 是 AC1中点， 又 D 是 B1C1的中点，故 DEAB1， 又 AB1平面 A1CD，DE平

26、面 A1CD，故 AB1平面 A1CD （2）解：由（1）知 DEAB1，又 C1DBC，故C1DE 或其补角为异面直线 AB1和 BC 所成角 设 AC2m，则1 = 2+ 1，1 = 2+ 1， = 2， 故C1DE为等腰三角形， 故C1DE60， 故C1DE为等边三角形， 则有2+ 1 = 2， 得到 m1 故A1B1C1为等腰直角三角形， 故A1DC1B1， 又B1B平面A1B1C1， A1D平面A1B1C1， 故 A1DB1B，又 B1BC1B1B1，故 A1D平面 CDB1B， 又梯形 CDB1B 的面积1= 1 2 (2 + 22) 2 = 32，1 = 2， 则四棱锥 A1CD

27、B1B 的体积 = 1 31 1 = 1 3 32 2 = 2 20 （12 分）已知函数 fk（x）xlnxa（x+ (1) ） （1）当 a1 时，求 f1（x）在 x1 处的切线方程； （2）对于任意 x1，+） ，f1（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （3）试讨论函数 F（x）f0（x）x 的极值点的个数 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （1）当 a1 时，f1（x）xlnx（x 1 ） ， f1（x）lnx+11 1 2 =lnx 1 2， f1（1）1，又 f1（1）0 f1（x）在 x1 处的切线方程为：y（x1） ，即 x+y10 （2）对于任意 x1，+）

28、，f1（x）xlnxa（x 1 ）0 恒成立， lnxa+ 2 0 在 x1，+）上恒成立， 令 g（x）lnxa+ 2，x1，+） g（x）= 1 2 3 = 22 3 当 2a1 时，g（x）0 在 x1，+）上恒成立， g（x）在 x1，+）上单调递增g（x）g（1）0 当 2a1 时，g（x）= (+2)(2) 3 ， 可得 g（x）在 x（1，2）上单调递减，g（x）g（1）0，不符合题意，舍去 综上可得：a(， 1 2 （3）F（x）f0（x）xxlnxa（x+ 1 ）xxlnxa（x+1） F（x）1+lnx（a+1）+ 2 =lnxa+ 2 =G（x） G（x）= 22 3 当

29、 2a0 时，G（x）0 在 x（0，+）上恒成立， G（x）在 x（0，+）上单调递增 G（ea）= 2 0，G（2）ln2a+ 4 0 存在唯一零点 x0（ea，2） ，使得 G（x0）0 函数 F（x）f0（x）x 有唯一极值点 当 2a0 时，G（x）= (+2)(2) 3 ， 可得 G（x）在 x（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 G（x）的最小值为 G（2）ln2 a+ 1 2 （i） 当 G（2）0即 ln2 a+ 1 2 0 时，F（x）0 恒成立， 第 16 页（共 19 页） 令 （a）ln2 a+ 1 2 由() = 1 2 1 = 0，得 a= 1 2， （x

30、）在（0，1 2）上单调递增，在（ 1 2，+）上单调递减，得 （a）( 1 2) =0 a= 1 2 F（x）单调递增，无极值点，即 a= 1 2时 F（x）无极值点 （ii）当 0a 1 2时，即 021 时，且 G（2）0 G（1）0，G（x）在（2，+）上有唯一的零点 x1 下面先证：lnx 1 +1 设 h（x）lnx+ 1 1h（x）= 1 1 2 = 1 2 x1 时，函数 h（x）取得极小值，h（1）0， h（x）h（1）0 lnx 1 +1 成立 G（ 1;）ln 1; a+ ( 1) 2 1 +1a+ (1)2 =0 又 1; 1= 21 1 0， 1; 1 由零点存在定理

31、可知：G（x）F（x）在 1，2)上存在唯一零点，不妨设 xx1 x （0，x1） x1 （x1，1） 1 （1，+） F（x） + 0 0 + F（x） 单增 极大值 单减 极小值 单增 F（x）有两个极值点 （iii）当 a 1 2时，即21 时，且 G（2）0G（1）0，e a1 21 又 G（ea）= 2 0由函数零点存在定理可得：G（x）F（x）在上存在唯一零点， 在（0，2） ， （2，ea）上各有一个唯一零点 同上（ii）可知：F（x）有两个极值点 综上可得：当 a0 时，函数 F（x）有唯一极值点 第 17 页（共 19 页） 当 a0 时，且 a 1 2函数 F（x）有两个极

32、值点 当 a= 1 2时，函数 F（x）无极值点 21 （12 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅 点为（1，3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ 的面积等于1 2，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并 证明你的结论 【解答】解： （1）椭圆 E： 2 2

33、+ 2 2 = 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅点为（1， 3） ， 辅圆的半径为 = 1 + 3 = 2，椭圆长半轴为 aR2， 将点（1， 3 2 ）代入椭圆方程 2 4 + 2 2 = 1中，解得 b1， 椭圆 E 的方程为 2 4 + 2= 1； （2） 设点 Q（x0，y0） ，则点 P （x0， y1） ， 将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得， 02+ 02= 4，0 2 4 + 12= 1， 故02= 412，即 y02y1， 又= 1 2 0(0 1) = 1 2，则 x0y11， 第 18 页（共 19 页） 将 x0y11 与0 2 4 + 12= 1联立可

34、解得0= 2，则0= 2， 点 Q 的坐标为(2，2)； （3）直线 PT 与椭圆 E 相切，证明如下： 设点 Q（x0，y0） ，由（2）可知，(0， 1 2 0)， 与辅圆相切于点 Q 的直线方程为 0= 0 0 ( 0)，则点( 4 0 ，0)， 直线 PT 的方程为： 0 = 1 20 0 4 0 ( 4 0)，整理得 = 0 20 + 2 0， 将 = 0 20 + 2 0与椭圆 2 4 + 2= 1联立并整理可得， 1 02 2 20 02 + 02 02 = 0， 由一元二次方程的判别式= 402 04 402 04 = 0，可知，上述方程只有一个解，故直线 PT 与椭圆 E 相

35、切 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 即曲线

36、C1的的普通方程为（x1）2+y21； 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设 N （， ） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 第 19 页（共 19 页） )| = |3( 3 2) + 33 2 |

37、 = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒成立，求实数 t 的取值范围 【解答】 解： （） 当 x0 时， 不等式可化为2x （x3） 4， 即3x1， 解得 x 1 3，故 1 3 x0； 当 0x3 时，不等式可化为 2x（x3）4，解得 x1，故 0x1； 当 x3 时，不等式可化为 2x+（x3）4，解得 x 7 3显然与 x3 矛盾， 故此时不等式无解综上，不等式 f（x）4 的解集为（ 1 3，1） （）由（1）知，f（x）= 3 + 3， 0 + 3，03 3 3， 3 作出函数 f（x）的图象，如图， 显然 f（x）f（0）3 故由不等式 f（x）t22t 恒成立可得 3t22t， 即 t22t30 解得1t3 所以 t 的取值范围为1，3