2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（11）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1） C （0，1） D 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （5 分）某车间生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为 5：k：3，为检验产 品的质量，现用分层

2、抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本进行检验，已知 B 种型号的 产品共抽取了 24 件，则 C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A12 B24 C36 D60 4 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 5 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） A1 B1 2 C1 D2 6（5分） 如图， 长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V1， E为棱CC1上的点， 且 = 1 31， 三棱 锥 EBCD 的体积为 V2，则 2 1 =（ ） A1 3 B1 6

3、C1 9 D 1 18 第 2 页（共 18 页） 7 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a12，a2+3a34a4，则 S5（ ） A10 B12 C16 D32 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三 棱锥的外接球的体积为（ ） A1122 3 B4411 3 C4411 D1122 9 （5 分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C D 10 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （ 1 32，0） 11 （5 分）在等比数列an中，若 2a2

4、，3a3，4a4成等差数列，则公比 q 为（ ） A1 B2 C1 或1 2 D1 2 12 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ） Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 14 （5 分）已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n，则 an 15 （5 分）若 x（0， 2） ，sin（x+ 6）= 3 5，则 sin（2x+ 12） 第 3 页（共 18 页） 1

5、6 （5 分）已知函数() = 1 2 2( )，若函数有两个极值点 x1，x2，且2 1 2， 则实数 a 的取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在ABC 中，AC2，A= 3，点 D 在线段 AB 上 （1）若 cosCDB= 1 3，求 CD 的长； （2）若 AD2DB，sinACD= 7sinBCD，求ABC 的面积 18 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平

6、面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 19 （12 分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365 天）内 100 天 的 PM2.5 空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表： AQI 指数 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，300 （300，+） 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 4 13 18 30 20 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单位： 元） ， AQI 指数为 x 当 x 在区间0， 100内时，对企业没有造成

7、经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对企业造成的经济 损失与 x 成直线模型（当 AQI 指数为 150 时，造成的经济损失为 1100 元，当 AQI 指数为 200 时，造成的经济损失为 1400 元） ；当 AQI 指数大于 300 时，造成的经济损失为 2000 第 4 页（共 18 页） 元 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取 1 天， 该天经济损失 S 大于 1100 且不超过 1700 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，这 30 天中有 8 天为严重污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该市本

8、年度空气严重污染与供暖有关？ P （K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 20 （12 分）已知两定点( 1 3 ，0)，(1 3，0)，点 P 是平面内的动点，且| + | + | + | = 4，记动点 P 的轨迹 W （）求动点 P 的轨迹 W 的方程； （）过点 C（1，0）作两条相垂直的直线分别交轨迹于

9、 G，H，M，N 四点设四边 形 GMHN 面积为 S，求| 2:|2 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+e x+（2b）x，g（x）ax2+b（a，bR） ，若 yg（x） 在 x1 处的切线为 y2x+1+f（0） （）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设1，2， (0， 2)，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn）+f （sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（cos1）6n 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分

10、10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 第 5 页（共 18 页） l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值

11、范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 第 6 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|（x1） （x+1）0，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0 B （1，1） C （0，1） D 【解答】解：集合 Ax|（x1） （x+1）0（1，1， By|y2x，xRy|y0（0，+） ， A

12、B（0，1） 故选：C 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 3 （5 分）某车间生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为 5：k：3，为检验产 品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本进行检验，已知 B 种型号的 产品共抽取了 24 件，则 C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A12 B24 C36 D60 【解答】解：由题意可得 24 120 = 5:3，求得 k2 则 C 种型号的产

13、品抽取的件数为 120 3 5+2+3 =36， 故选：C 4 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 【解答】解：点（1，2）在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 可得 =2，所以 a24b24c24a2，4c25a2，所以双曲线的离心率为：e= 5 2 故选：C 5 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ） 第 7 页（共 18 页） A1 B1 2 C1 D2 【解答】解：由程序框图可得第一次：S2，k1， 第二次，S1，k3，不满足退出循环的条件；

14、第三次，S= 1 2，k5，不满足退出循环的条件； 第四次，S2，k7，不满足退出循环的条件； 第五次，S1，k9，不满足退出循环的条件； 第六次，S= 1 2，k11，不满足退出循环的条件； 观察可知 S 的值成周期为 3 的间隔存在， 第2016 2 =1008 次，S= 1 2，k2015，满足退出循环的条件； 第 1009 次，S2，k2017，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 2， 故选：D 6（5分） 如图， 长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V1， E为棱CC1上的点， 且 = 1 31， 三棱 锥 EBCD 的体积为 V2，则 2 1 =（ ） A1 3 B1 6 C

15、1 9 D 1 18 【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 V1= 11AB， 第 8 页（共 18 页） E 为棱 CC1上的点，且 = 1 3 1， 三棱锥 EBCD 的体积为 V2= 1 3 SBCEAB= 1 3 1 2 1 3 11AB， 则 2 1 = 1 18 故选：D 7 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a12，a2+3a34a4，则 S5（ ） A10 B12 C16 D32 【解答】解：设正项等比数列an的公比为 q0， 由 a2+3a34a4，1+3q4q2，解得 q1 S52510 故选：A 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边

16、长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三 棱锥的外接球的体积为（ ） A1122 3 B4411 3 C4411 D1122 【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，F 为 BD 的中点， 外接球球心 O 在过 CD 的中点 E 且垂直于平面 BCD 的直线 l 上， 又点 O 到 A，B，D 的距离相等， O 又在过左边正方体一对棱的中点 M，N 所在直线上， 在OEN 中，由 = ，即 2 3 = 2 ，得 OE3， 三棱锥 ABCD 外接球的球半径 R= 2+ 2=32+ (2)2= 11， 第 9 页（共 18 页） V= 4411 3 故选：B 9 （5

17、分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C D 【解答】解：任意 xR，yx2ex0，排除 C y2xex+x2ex（x2+2x）ex， 在区间（，2） ， （0，+）上，y0，y 单调递增， 在区间（2，0）上，y0，y 单调递减， 故选：A 10 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0， 1 32） D （ 1 32，0） 【解答】 解： 抛物线 y8x2的标准方程为： x2= 1 8y， 所以抛物线的焦点坐标 （0， 1 32） 故选：C 11 （5 分）在等比数列an中，若 2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比 q 为（ ）

18、A1 B2 C1 或1 2 D1 2 【解答】解：等比数列an中，若 2a2，3a3，4a4成等差数列， 第 10 页（共 18 页） 可得 6a32a2+4a4， 即有 3a1q2a1q+2a1q3， 即为 2q23q+10， 解得 q1 或1 2， 故选：C 12 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ） Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 【解答】解：因为 为第二象限角， 所以 sin0，cos0，tan0，A，B，C 都对，D 错误 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13

19、 （5 分）已知向量 = (2，1)， = (4，)，若 ，则|2 + | = 10 【解答】解：根据题意，向量 = (2，1)， = (4，)， 若 ，则 = 8+y0，解可得 y8； 则 2 + =（0，10） ， 故|2 + |10； 故答案为：10 14 （5 分）已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan2n，则 an 2， = 1 21 ， 2 【解答】解：当 n1 时，由已知，可得 a1212， a1+2a2+3a3+nan2n， 故 a1+2a2+3a3+（n1）an12n 1（n2） ， 由得 nan2n2n 12n1， an= 21 显然当 n1 时不满足上式， 第 1

20、1 页（共 18 页） an= 2， = 1 21 ， 2 ， 故答案为：an= 2， = 1 21 ， 2 15 （5 分）若 x（0， 2） ，sin（x+ 6）= 3 5，则 sin（2x+ 12） 172 50 【解答】解：x（0， 2） ，x+ 6（ 6， 2 3 ） ， 又 sin（x+ 6）= 3 5 3 2 ，cos（x+ 6）= 4 5， sin2（x+ 6）2sin（x+ 6）cos（x+ 6）= 24 25， cos2（x+ 6）2 2( + 6) 1 =2 ( 4 5) 2 1 = 7 25 sin（2x+ 12）sin2（x+ 6） 4 sin2（x+ 6）cos 4

21、 cos2（x+ 6）sin 4 = 24 25 2 2 7 25 2 2 = 172 50 故答案为：172 50 16 （5 分）已知函数() = 1 2 2( )，若函数有两个极值点 x1，x2，且2 1 2， 则实数 a 的取值范围为 (0， 2 2 【解答】解：函数 f（x）由两个极值点 x1，x2，f（x）aexx 有两个零点 x1，x2， 即1= 1，2= 2，作比得 2 1 = 2 1 = 21， 令 x2x1t，则有2 1 = ， 2= 1，代入，得1= 1， 由题意知，2 1 = 2，tln2， 令() = 1， （tln2） ，() = 1 (1)2 ， 令 h（t）et

22、1tet，则 h（t）tet0，h（t）单调递减， h（t）h（ln2）12ln20，g（t）单调递减， g（t）g（ln2）ln2，即 x1ln2， 第 12 页（共 18 页） 而 = 1 1，令() = ，则() = 1 0， u（x）在（，ln2上单调递增， () 2 2 ，即 2 2 ， 又 f（x）aexx 有两个零点 x1，x2，u（x）在 R 上与 ya 有两个交点， 而() = 1 ，在（，1）上 u（x）单调递增，在（1，+）上 u（x）单调递减， u（x）的最大值为(1) = 1 ，0 1 ， 综上，0 2 2 故答案为：(0， 2 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题

23、，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在ABC 中，AC2，A= 3，点 D 在线段 AB 上 （1）若 cosCDB= 1 3，求 CD 的长； （2）若 AD2DB，sinACD= 7sinBCD，求ABC 的面积 【解答】解： （1）由 cosCDB= 1 3，得 = = 1 3， = 22 3 ， 由正弦定理得 = ，即 3 2 = 2 22 3 ，解得 = 36 4 ； （2）在ADC 中，由正弦定理， = ， 在BDC 中，由正弦定理， = ， 又 = ， = 2， = 7， 由 得， = 7， 由余弦定理可得，CB2AC2+AB22

24、ACABcosA，即 74+AB22AB，解得 AB3， = 1 2 = 33 2 第 13 页（共 18 页） 18 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且 CF2FC1，求 A1到平面 ABF 的距离 【解答】 （）证明：取 AA1的中点 G，连接 EG，DG， D 是棱 CC1的中点，G 是棱 AA1的中点， DGA1C1，EGBA1， DG平面 C1BA1，C1A1平面 C1BA1，EG平面 C1BA1，BA

25、1平面 C1BA1， DG平面 AB1C1，BA1平面 AB1C1， 又EGDGG， 平面 DEG平面 BA1C1， DE平面 DEF DE平面 BA1C1； （）解：连接 AF，BF，A1F， 由已知 BB1平面 ABC， ABBC，可得 BC平面 AA1B，则 F 到底面 AA1B 的距离为 BC 1 又 AB2，AA1BB13，1= 1 2 2 3 = 3 由 CF2FC1，得 CF2，则 BF= 5，= 1 2 2 5 = 5 设 A1到平面 ABF 的距离为 h，则由;1= 1;， 得1 3 3 1 = 1 3 5 ，则 h= 35 5 故 A1到平面 ABF 的距离35 5 第 1

26、4 页（共 18 页） 19 （12 分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365 天）内 100 天 的 PM2.5 空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表： AQI 指数 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，300 （300，+） 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 4 13 18 30 20 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单位： 元） ， AQI 指数为 x 当 x 在区间0， 100内时，对企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时，对企业造成的经济 损失与 x

27、 成直线模型（当 AQI 指数为 150 时，造成的经济损失为 1100 元，当 AQI 指数为 200 时，造成的经济损失为 1400 元） ；当 AQI 指数大于 300 时，造成的经济损失为 2000 元 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取 1 天， 该天经济损失 S 大于 1100 且不超过 1700 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，这 30 天中有 8 天为严重污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？ P （K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0

28、.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （1）依题意，可得函数解析式为() = 0， 0，100 6 + 200， (100，300 2000， (300，+ ). ； （2）设“在本年内随机抽取 1 天，该天经济损失 S 大于 1100 元且不超过 1700 元”为事 件 A， 由 1100S1700，得 150x250，由统计结果，

29、知 P（A）0.4， 即在本年内随机抽取 1 天，该天经济损失 S 大于 1100 元且不超过 1700 元的概率为 0.4 （3）根据题中数据可得如下 22 列联表： 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 计算 K2的观测值 = 100(638227)2 85153070 = 4.5753.841， 所以有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关 20 （12 分）已知两定点( 1 3 ，0)，(1 3，0)，点 P 是平面内的动点，且| + | + | + | = 4，记动点 P 的轨迹 W （）求动点 P 的轨迹

30、 W 的方程； （）过点 C（1，0）作两条相垂直的直线分别交轨迹于 G，H，M，N 四点设四边 形 GMHN 面积为 S，求| 2:|2 的取值范围 【解答】解： （）设 P（x，y） ，则 + =（1 3 xy）+（ 2 3，0）（1x， y） ） ， + =（1x，y） ， 所以(1 ) + ()2+ (1 )2+ ()2=4， 设 F1（1，0） ，F2（1，0） ，则|PF1|+|PF2|4|F1F2|，则 P 点的轨迹是以 F1，F2为焦 点且长轴长为 4 的椭圆， 所以，动点 P 的轨迹 W 的方程为： 2 4 + 2 3 = 1； （）当 LGH、LMN其中一条直线斜率不存在时

31、，另一条斜率为零，不妨设 LGH斜率不 存在，则 第 16 页（共 18 页） GH3，NM4，故| 2:|2 = 9:16 1 234 = 25 6 ， 当 LGH、LMN两直线斜率都存在时，则设 LGH、LMN的斜率分别为 k、k，则：kk1； 设 LGH的方程为：yk（x+1） ，由 = ( + 1) 2 4 + 2 3 = 1 得： （3+4k2）x2+8k2x+4k2120 易0 知恒成立，设 G（x1，y1） ，H（x2，y2） ，则 x1+x2= 82 3+42，x1x2= 4 212 3+42 故：GH= 1 + 2( 82 3+42) 2 44 212 3+42 = 12(1

32、+ 2) 3+42 ， 同理得：MN= 12(1+2) 3+42 = 12(1+2) 4+32 ， 由题：四边 形 GMHN 面积 S= 1 2 MNGH，故： |2:|2 = 2:2 1 2 =2（ + ） ， 令 =t，则 t= 12(1+2) 3+42 4+32 12(1+2) = 4+32 3+42 = 3 4 + 7 4(3+42)（ 3 4， 4 3） ； 故：| 2:|2 =2（t+ 1 ）4， 25 6 ） ， 则| 2:|2 的取值范围为4，25 6 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+e x+（2b）x，g（x）ax2+b（a，bR） ，若 yg（x） 在 x1 处的

33、切线为 y2x+1+f（0） （）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设1，2， (0， 2)，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn）+f （sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（cos1）6n 【解答】解： （）由 f（x）exe x+2b，得 f（0）2b，由 g（x）2ax， 得 g（1）2a， 根据题意可得2 = 2 (1) = + = 2 + 1 + 2 ，解得 = 1 = 2； （）由不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立知

34、，ex+e xkx220 恒成 立， 令 F（x）ex+e xkx22，显然 F（x）为偶函数，故当 x0 时，F（x）0 恒成立， 第 17 页（共 18 页） F（x）exe x2kx，令 h（x）exex2kx（x0） ，则 h（x）ex+ex2k， 令 H（x）ex+e x2k（x0） ，则 H（x）exex，显然 H（x）为（0，+）上 的增函数， 故 H（x）H（0）0，即 H（x）在（0，+）上为增函数，H（0）22k， 当 H（0）22k0，即 k1 时，H（x）0，则 h（x）在（0，+）上单调递增， 故 h（x）h（0）0，则 F（x）在（0，+）上为增函数，故 F（x）F

35、（0）0， 符合题意； 当 H （0） 22k0， 即 k1 时， 由于(2) = 1 20， 故存在 x1 （0， ln （2k） ） ， 使得 H（x1）0， 故 h（x）在（0，x1）单调递减，在（x1，+）单调递增， 当 x（0，x1）时，h（x）h（0）0，故 F（x）在在（0，x1）单调递减，故 F（x） F（0）0，不合题意 综上，k1； （） 证明： 由 （） 知， (1)(2) (12+ 2)(22+ 2) = 1222+ 212+ 222+ 4 212+ 222+ 4，当且仅当 x1x20 时等号同时成立， 故(1)()221+ 22+ 4， (2)(;1)222+ 22;

36、1+ 4， ()(1)22+ 221+ 4， 以上 n 个式子相加得， f （sin1） f （cosn） +f （sin2） f （cosn1） +f （sinn1） f （cos2） +f（sinn） f（cos1）6n 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线

37、 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 第 18 页（共 18 页） 即曲线 C1的的普通方程为（x1）2+y21； 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设

38、 N （， ） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 【解答】解： （1）f（2）+f（2）4，可得 2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2， 则 2 2 + + 22或 22 2 22或 2 2 22， 解得 a2 或2a1 或 a，则 a 的范围是（，1） ； （2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为 f（x）max（|y+3|+|ya|）min， 其中当 x，y（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|a+3|a+3，当且仅当3ya 取 得等号， 而 f（x）x（xa）（x 2） 2+2 4 2 4 ，当且仅当 x= 1 2a 时取得等号 所以 2 4 a+3，解得 0a6