2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足 zi+2 =1i，则 z（ ） A1+2i B12i C1+i D1i 2 （5 分）已知全集 UR，集合 A3，1，1，3，集合 BxR|x0，则图中阴影 部分表示的集合为（ ） A3，1 B1，3 C1，1，3 D3 3 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （

2、） A2 B45 5 C4 D16 5 4 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表 面积为（ ） A23 B23 4 C64 D64 3 5 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ） Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 6 （5 分）若直线 yax 与曲线 ylnx1 相切，则 a（ ） 第 2 页（共 17 页） Ae B1 C1 D 1 2 7 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 8 （5 分）设 xR，则“x 1 2”是“ （12x）

3、（x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）已知数列an为等差数列，若 a4+a810，则 a6（ ） A5 B10 C5 D10 10 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成 绩均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且 不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 11 （5 分）已知向量 + =（1，2） ， =（3，0） ，则 =（ ） A1 B1 C3 D3 12 （5 分

4、）设函数 f（x）sin（x+）+cos（x+） （0，| 2）的最小正周期为 ， 且过点(0，2)，则下列正确的为（ ） f（x）在(0， 2)单调递减 f（x）的一条对称轴为 = 2 f（|x|）的周期为 2 把函数 f（x）的图象向左平移 6 个长度单位得到函数 g（x）的解析式为() = 2(2 + 6) A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 17 页） 13 （5 分）双曲线 x2+ky21 的一条渐近线的斜率是 2，则 k 14 （5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面

5、 CB1D1，平面 ABCD l，平面 ABB1A1m，则 l，m 所成角正切值为 15 （5 分）已知正项等比数列an的公比为 2，若 aman4a1a9， 4 + 1 的最小值为 16 （5 分）对任意正整数 n，函数 f（n）2n37n2cosnn1，若 f（2）0，则 的 取值范围是 ；若不等式 f（n）0 恒成立，则 的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 中，AC3，三个内角 A，B，C 成等差数列 （1）若 = 6 3 ，求 AB； （2）求 的最大值 18 （12 分）如图：AB面 B

6、CD，BCCD，BCD90ADB30，E，F 分别是 AC，AD 的中点 （1）求证：平面 BEF平面 ABC （2）作 BGCD，求证：BG 是平面 BEF 与平面 BCD 的交线 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 20 （12 分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近 10 年投入的 年研

7、发费用 x 千万元与年销售量 y 千万件的数据，得到散点图 1，对数据作出如下处理： 令 uilnxi，vilnyi，得到相关统计量的值如图 2： 第 4 页（共 17 页） 10 1 uivi 10 1 ui 10 1 vi 10 1 ui2 30.5 15 15 46.5 （1）利用散点图判断 ybx+a 和 ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用 x 和年销售量 y 的回归类型（不必说明理由） ，并根据数据，求出 y 与 x 的回归方程； （2）已知企业年利润 z 千万元与 x，y 的关系式为 = 27 （其中 e 为自然对数的底 数） ，根据（1）的结果，要使得该企业下一年的

8、年利润最大，预计下一年应投入多少研 发费用？ 21 （12 分）已知 a1，函数 f（x）xlnxax+1+a（x1）2 （1）若 a1，求 f（x）的单调区间； （2）讨论 f（x）的零点个数 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）

9、设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （1）若 a1，b2，c3，求不等式 8f（x）10 的解集； （2）当 a0，b0，c0时，若 f（x）的最小值为 2，求1 + 1 + 1 的最小值 第 5 页（共 17 页） 2020 高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分

10、）已知复数 z 满足 zi+2 =1i，则 z（ ） A1+2i B12i C1+i D1i 【解答】解：设 za+bi （aR，bR） ，则 = ， zi+2 =1i， （a+bi）i+2（abi）1i， （2ab）+（a2b）i1i， 2 = 1 2 = 1，解得 = 1 = 1， z1+i， 故选：C 2 （5 分）已知全集 UR，集合 A3，1，1，3，集合 BxR|x0，则图中阴影 部分表示的集合为（ ） A3，1 B1，3 C1，1，3 D3 【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（UB）A； 全集 UR，BxR|x0； UBx|x0； 集合 A3，1，1，3， （UB）A1

11、，3； 故选：B 3 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域， 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 故选：D 4 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表 面积为（ ） A23 B23 4 C64 D64 3 【解答】解：根据几何体的

12、三视图转换为几何体为： 如图所示：所以设外接球的球心为 O， 第 7 页（共 17 页） 故：A（2，4，0（ ）B（1，4，3） ，O（1，2，z） ， 由于| | = | |， 所以1 + 4 + 2= 4 + ( 3)2，解得 z= 1 3， 故2= 1 + 4 + 1 3 = 16 3 所以 = 4 16 3 = 64 3 故选：D 5 （5 分）若 为第二象限角，下列结论错误的是（ ） Asincos Bsintan Ccos+tan0 Dsin+cos0 【解答】解：因为 为第二象限角， 所以 sin0，cos0，tan0，A，B，C 都对，D 错误 故选：D 6 （5 分）若直线

13、 yax 与曲线 ylnx1 相切，则 a（ ） Ae B1 C1 D 1 2 【解答】解：= 1 ，设切点为（x，lnx1） ， 则 = 1 = 1 ，解得 = 1 2 故选：D 7 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， 第 8 页（共 17 页） ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 8 （5 分）设 xR，则“x 1 2”是“ （12x） （x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件

14、C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： （12x） （x+1）0 化为： （2x1） （x+1）0，解得：x 1 2，或 x1 “x 1 2”是“ （12x） （x+1）0”的充分不必要条件 故选：A 9 （5 分）已知数列an为等差数列，若 a4+a810，则 a6（ ） A5 B10 C5 D10 【解答】解：根据题意，等差数列an中，有 a4+a82a6， 若 a4+a810， 则 a65； 故选：A 10 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成 绩均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分

15、且 不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 【解答】解：由题意可得甲= 1 6（88+87+85+92+93+95）90， 设被污损的数字为 x， 则乙= 1 6（85+86+88+90+99+x）89+ 6， 满足题意时，甲乙 即：9089+ 6，解得 x6， 第 9 页（共 17 页） 即 x 可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p= 6 10 = 3 5 故选：C 11 （5 分）已知向量 + =（1，2） ， =（3，0） ，则 =（ ） A1 B1 C3 D3 【解答】解：因

16、为 + =（1，2）， =（3，0）， +2 =（2，2） =（1，1） ； 2 =（4，2） =（2，1） ； =（1）2+111； 故选：B 12 （5 分）设函数 f（x）sin（x+）+cos（x+） （0，| 2）的最小正周期为 ， 且过点(0，2)，则下列正确的为（ ） f（x）在(0， 2)单调递减 f（x）的一条对称轴为 = 2 f（|x|）的周期为 2 把函数 f（x）的图象向左平移 6 个长度单位得到函数 g（x）的解析式为() = 2(2 + 6) A B C D 【解答】解：函数 f（x）sin（x+）+cos（x+）= 2(x+） （0，| 2） ， 由于函数的最小正

17、周期为 ， 所以 = 2 = 2， 由于函数的图象经过点(0，2)， 所以2 = 2， 所以 = 2 第 10 页（共 17 页） 所以函数 f（x）= 2(2 + 2) = 22， 对于f（x）在 x(0， 2)时，2x（0，） ，所以函数单调递减故正确 对于f（x）的一条对称轴为 = 2当 = 2时，函数取得最小值，故正确 f（|x|）= 22|，所以函数的周期为 故错误 把函数 f （x） 的图象向左平移 6个长度单位得到函数 g （x） = 2(2 + 3)， 故错误 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分

18、）双曲线 x2+ky21 的一条渐近线的斜率是 2，则 k 1 4 【解答】解：x2+ky21 表示双曲线，则 k0， 方程化为2 2 1 = 1， 得 a1，b= 1 ，则渐近线方程为 y= 1 ， 由题意可得： 1 = 2，则 k= 1 4 故答案为： 1 4 14 （5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD l，平面 ABB1A1m，则 l，m 所成角正切值为 3 【解答】解：如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1的左面补一个与之全等的正方体 ADEFA1D1E1F1 AEB1D1，EF1CB1，平面 CB1D1，则 为平面 A

19、EF1 平面 ABCDlAE，平面 ABB1A1mAF1， 可得：AEF1为正三角形 则 l，m 所成角EAF1= 3， tanEAF1tan 3 =3， 故答案为：3 第 11 页（共 17 页） 15 （5 分）已知正项等比数列an的公比为 2，若 aman4a1a9， 4 + 1 的最小值为 3 4 【解答】解：正项等比数列an的公比为 2， 又aman4a1a9， 12 2:;2= 412 28， a10， 2m+n 2210， m+n12，则 4 + 1 = 1 12（ 4 + 1 ） （m+n）= 5+4 + 12 5+24 12 = 3 4， 当且仅当4 = 且 n+m12 即

20、n4，m8 时取等号， 故答案为：3 4 16 （5 分）对任意正整数 n，函数 f（n）2n37n2cosnn1，若 f（2）0，则 的 取值范围是 13 2 ；若不等式 f（n）0 恒成立，则 的最大值为 13 2 【解答】解：由函数 f（n）2n37n2cosnn1，若 f（2）0， 则 1628cos2210，即 152820，解得 13 2 ； 不等式 f（n）0 恒成立，即 2n37n2cosnn10 恒成立， 当 n 为奇数时，2n3+7n2n10 即 2n2+7n 1 恒成立，等价为 （2n 2+7n1 ） min， 设 g（n）2n2+7n 1 ，g（n）4n+7+ 1 2

21、0，可得 g（n）在正奇数集上递增，可得 g（n）的最小值为 g（1）8， 可得 8； 当 n 为偶数时， 2n37n2n10 即 2n27n 1 恒成立， 等价为 （2n 27n1 ） min， 第 12 页（共 17 页） 设 h（n）2n27n 1 ，g（n）4n7+ 1 2 0，可得 g（n）在正偶数集上递增，可 得 g（n）的最小值为 g（2）= 13 2 可得 13 2 由可得不等式 f（n）0 恒成立，可得 13 2 即 的最大值为 13 2 故答案为： 13 2 ， 13 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17

22、（12 分）ABC 中，AC3，三个内角 A，B，C 成等差数列 （1）若 = 6 3 ，求 AB； （2）求 的最大值 【解答】解： （1）A，B，C 成等差数列，2BA+C， 又 A+B+C， = 3， （2 分） 又 = 6 3 ， = 3 3 ， 由正弦定理得： = ， 所以 = = 3 3 2 3 3 = 2； （2）设角 A，B，C 的对边为 a，b，c，由余弦定理得：b2a2+c22accosB， 即 32a2+c2ac， 又 a2+c22ac，当且仅当 ac 时取到等号， 所以 9a2+c2acac 所以 = 1 2 9 2， 所以 的最大值是9 2 18 （12 分）如图：A

23、B面 BCD，BCCD，BCD90ADB30，E，F 分别是 AC，AD 的中点 （1）求证：平面 BEF平面 ABC （2）作 BGCD，求证：BG 是平面 BEF 与平面 BCD 的交线 第 13 页（共 17 页） 【解答】证明： （1）E，F 分别是 AC，AD 的中点，AEEC，AFFD； EFCD 又AB面 BCD，ABCD， ， = CD平面 ABC， 平面 EF平面 ABC 平面 平面平面 BEF平面 ABC 得证 解： （2）连接 GD，作 AB 的平行线，连接 AM，MD（如图所示） ，延长 EF 交 MD 于 N E，F 分别是 AC，AD 的中点，AEEC，AFFD；B

24、G CDAM EFCD，FNAMN 必为 MD 的中点， ENBG，ENBGBGNE 是平行四边形 同理：BGCD 是平行四边形 平面 BGDC平面 BGENBG 作 BGCD，BG 是平面 BEF 与平面 BCD 的交线证毕 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； 第 14 页（共 17 页） （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 【解答】解： （）由题

25、意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 yk（x1） ， 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1） ， 同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) =

26、1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 = 721 821， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 20 （12 分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近 10 年投入的 年研发费用 x 千万元与年销售量 y 千万件的数据，得到散点图 1，对数据作出如下处理： 令 uilnxi，vilnyi，得到相关统计量

27、的值如图 2： 10 1 uivi 10 1 ui 10 1 vi 10 1 ui2 30.5 15 15 46.5 （1）利用散点图判断 ybx+a 和 ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用 x 第 15 页（共 17 页） 和年销售量 y 的回归类型（不必说明理由） ，并根据数据，求出 y 与 x 的回归方程； （2）已知企业年利润 z 千万元与 x，y 的关系式为 = 27 （其中 e 为自然对数的底 数） ，根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研 发费用？ 【解答】解： （1）由散点图知，选择回归类型 ycxd更合适， 对 yccd两边取对

28、数，得 lnylnc+dlnx，即 vlnc+du， 由表中数据得， = =1 =1 22 = 30.5101.51.5 46.5101.51.5 = 1 3， 所以 lnc= =1.5 1 3 1.5 =1，所以 ce， 所以年研发费用和年销售量 y 的回归方程为 yex 1 3 （2）由（1）知 z27x 1 3x，求导得 z9x ;2 31， 令 z（x）9x ;2 310，得 x27， 函数 z27x 1 3x 在（0，27）上单调递增，在（27，+）上单调递减， 所以当 x27 时，年利润取最大值 5.4 亿元， 故要使得年利润最大，预计下一年应投入 2.7 亿元研发费用 21 （1

29、2 分）已知 a1，函数 f（x）xlnxax+1+a（x1）2 （1）若 a1，求 f（x）的单调区间； （2）讨论 f（x）的零点个数 【解答】解： （1）若 a1，f（x）xlnxx+1+（x1）2，定义域（0，+） ， f（x）lnx+2x2， f（x）lnx+2x2 在（0，+）上单调递增，且 f（1）0， 故当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0， f（x）单调递增， （2）当 a1 时，结合（1）可知当 x（0，1）时，f（x）单调递减，当 x（1，+） 时，f（x）单调递增，且 f（1）0， 第 16 页（共 17 页） 故函数只有一个

30、零点， 当 a1 时，f（x）lnx+2ax+13a， 令 g（x）lnx+2ax+13a，则 g（x）在（0，+）上单调递增， 又 g（1）1a0，g（3 2）1+ln 3 2 0， 故存在实数 m (1， 3 2)使得 g（m）lnm+2am+13a0，即 lnm2am1+3a， 当 x（0，m）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（m，+）时，f（x）0， f（x）单调递增， 故 f（x）minf（m）mlnmam+1+a（m1）2， m（2am1+3a）am+1+a（m1）2， （1m） （am+a+1） ， m (1， 3 2)， f（m）0， f（1 3）0，f（3）0， 结合

31、零点判定定理可知，此时 f（x）有两个零点， 综上可得，当 a1 时，一个零点，当 a1 时，两个零点 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解

32、答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 即曲线 C1的的普通方程为（x1）2+y21； 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 第 17 页（共 17 页） 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设 N （， ） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1

33、2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+a|+|xb|+c （1）若 a1，b2，c3，求不等式 8f（x）10 的解集； （2）当 a0，b0，c0时，若 f（x）的最小值为 2，求1 + 1 + 1 的最小值 【解答】 解：（1） 根据题意， a1， b2， c3， 函数 f （x） |x+1|+|x2|+3= 2 + 2， 2 6， 12 4 2， 1 ， 解 2 102 + 28，或 1 104 28，得 3x4 或3x2， 所以解集为： （3，2）（3，4） （2）因为 f（x）|x+a|+|xb|+c|x+ax+b|+c|a+b|+c， 当且仅当axb 时，等号成立， 又 a0，b0，所以|a+b|a+b， 所以 f（x）的最小值为：a+b+c，所以 a+b+c2所以 1 + 1 + 1 = 1 2（a+b+c） （ 1 + 1 + 1 ）= 1 2（3+ + + + + + ） 1 2（3+2+2+2） = 9 2