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类型2020年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10).docx

  • 上传人(卖家):小豆芽
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    2020 湖南省 高考 数学 理科 模拟 试卷 10 下载 _模拟试题_高考专区_数学_高中
    资源描述:

    1、 第 1 页(共 19 页) 2020 年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1(5 分) 已知 a 为实数, 若复数 z (a29) + (a+3) i 为纯虚数, 则复数 z 的虚部为 ( ) A3 B6i C3 D6 2 (5 分)已知全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4,则 A(RB)等于( ) Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 3 (5 分)已知函数 g(x)= 1 +1 3, 1 0 2 3 + 2,0 1 ,若方程 g(x)

    2、mxm0 有且仅 有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是( ) A ( 9 4,20,2 B ( 11 4 ,20,2 C ( 9 4,20,2) D ( 11 4 ,20,2) 4 (5 分)已知向量 =(t,2) , =(4,t2) ,则“t4”是“ ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 (5 分)双曲线 C1: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一个焦点为 F(c,0) (c0) ,且双曲 线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切,则双曲线 C1的渐近线方程为 ( ) A 3 = 0 B3 = 0 C5 = 0

    3、 D 5 = 0 6 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,3a5a2+a7+12,a36,则数列* 1 +的前 2020 项和为( ) A2018 2019 B2019 2020 C2020 2021 D2021 2022 7 (5 分)为了改善市民的生活环境,某沿江城市决定对本市的 1000 家中小型化工企业进 行污染情况摸排,并把污染情况综合折算成标准分 100 分,如图为该市被调查的化工企 业的污染情况标准分的频率分布直方图, 根据该图可估计本市标准分不低于 50 分的企业 数为( ) 第 2 页(共 19 页) A400 B500 C600 D800 8 (5 分)已知函

    4、数 f(x)ax+(k1)a x(a0 且 a1)是偶函数,则关于 x 的不等式 f(logkx) 2+1 的解集是( ) A (2,+) B (0,1 2)(2,+) C (1 2,2) D以上答案都不对 9 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A2 3 B4 3 C2 D4 10 (5 分)已知椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0)的两个焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点, 且F1PF260,则F1PF2的面积等于( ) A63 B33 C6 D3 11(5 分) 若函数 y2sin (2x+) 的图象过点 ( 6, 1) , 则它的一条对称轴方程可能是

    5、( ) Ax= 6 Bx= 3 Cx= 12 Dx= 5 12 12 (5 分)已知函数 f(x)= 3,0 0,0 1 3 3,1 ,则函数 g(x)x3+4f(x)零点的个数 第 3 页(共 19 页) ( ) A1 B2 C3 D4 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)设 a= 1 1 dx,则二项式(x 2 ) 6 的展开式中常数项的值为 14 (5 分)已知函数() = 3 ,且 f2(x)af(x)0 有且只有 1 个整数解,则 a 的取 值范围为 15 (5 分)已知 P,A,B,C,D 是球 O 的球面上

    6、的五个点,四边形 ABCD 为梯形,AD BC,ABDCAD2,BC4,PAD 为等边三角形且平面 PAD平面 ABCD,则球 O 的表面积为 16 (5 分)ABC 中,A120,BC213,AC2,则 AB ;当| + |取 最小值时, 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+(5n3)an4n (1)求数列an的通项公式; (2)求数列*3 +的前 n 项和 Sn 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PD2AD,PDCD,PDAD,底面 ABCD 为正方形,

    7、M,N 分别为 AD,PD 的中点 ()证明:PA平面 MNC; ()求直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值; ()求二面角 MNCD 的余弦值 19(12 分) 已知过点 P (4, 0) 的动直线与抛物线 C: y22px (p0) 交于点 A, B, 且 = 0 第 4 页(共 19 页) (点 O 为坐标原点) (1)求抛物线 C 的方程; (2)当直线 AB 变动时,x 轴上是否存在点 Q 使得点 P 到直线 AQ,BQ 的距离相等,若 存在,求出点 Q 坐标,若不存在,说明理由 20 (12 分)有一种类型的题目,此类题目有六个选项 A、B、C、D、E、F,其中有三个正 确选

    8、项,满分 6 分,赋分标准为“每选对一个得 2 分,每选错一个扣 3 分,最低得分为 0 分” 在某校的一次测试中出现了这种类型的题目,已知此题的正确答案是 A、C、D,假 定考生作答的答案中选项的个数不超过三个 (1)若甲同学只能判断选项 A、D 是正确的,现在他有两种选择:一种是将 A、D 作为 答案,另一种是在 B、C、E、F 这四个选项中任选一个与 A、D 组成一个含三个选项的 答案则甲同学的最佳选择是哪一种?请说明理由; (2)若乙同学无法判断所有选项,他决定在 6 个选项中任选 3 个作为答案: (i)设乙同学此题得分为 分,求 的分布列; (ii)已知有 20 名和乙同学情况相同

    9、的同学,且这 20 名考生答案互不相同,他们此题的 平均得分为 a 分,现从这 20 名考生中任选 3 名考生,计算得到这 3 人平均得分为 b 分, 试求 a 的值及 ba 的概率 21 (12 分)设函数 f(x)alnx+x,g(x)ex+x ()讨论函数 f(x)的单调性; ()令 h(x)f(x)g(x) ,当 a2 时,证明 h(x)2ln24 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = ( 为参数) ,以平面直角坐标系的原点 O 为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系 (

    10、1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)P,Q 是曲线 C 上两点,若 OPOQ,求 |2|2 |2:|2的值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x3|+|x1| (1)求不等式 f(x)6 的解集; (2)设 f(x)的最小值为 M,正数 a,b 满足 a2+4b2M,证明:a+2b4ab 第 5 页(共 19 页) 2020 年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1(5 分) 已知 a 为

    11、实数, 若复数 z (a29) + (a+3) i 为纯虚数, 则复数 z 的虚部为 ( ) A3 B6i C3 D6 【解答】解:z(a29)+(a+3)i 为纯虚数, 2 9 = 0 + 3 0 ,解得 a3 z6i, 则复数 z 的虚部为 6 故选:D 2 (5 分)已知全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4,则 A(RB)等于( ) Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 【解答】解:因为:全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4, Ax|3x3;RBx|x4 或 x2 则 A(RB)x|3x2| 故选:D 3 (5 分)已知函数 g(x)= 1 +1 3, 1 0 2

    12、3 + 2,0 1 ,若方程 g(x)mxm0 有且仅 有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是( ) A ( 9 4,20,2 B ( 11 4 ,20,2 C ( 9 4,20,2) D ( 11 4 ,20,2) 【解答】解:由 g(x)mxm0 得 g(x)m(x+1) , 原方程有两个相异的实根等价于两函数 yg(x)与 ym(x+1)的图象有两个不同的交 点 当 m0 时,易知临界位置为 ym(x+1)过点(0,2)和(1,0) , 分别求出这两个位置的斜率 k12 和 k20, 由图可知此时 m0,2) ; 当 m0 时,设过点(1,0)向函数 g(x)= 1 +1 3,x(1

    13、,0的图象作切线的切 第 6 页(共 19 页) 点为(x0,y0) , 则由函数的导数为 g(x)= 1 (+1)2得, 1 (0+1)2 = 0 0+1 0= 1 0+1 3 , 解得 0= 1 3 0= 3 2 , 得切线的斜率为 k1= 9 4,而过点(1,0) , (0,2)的斜率为 k12, 故可知 m( 9 4,2, 则 m( 9 4,20,2) 故选:C 4 (5 分)已知向量 =(t,2) , =(4,t2) ,则“t4”是“ ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解 , t(t2)80,即 t22t80,则 t2 或 t

    14、4 当 t4 时, 命题成立, 反之,当 时,t4 不一定成立 所以“t4”是“ ”的充分不必要条件 故选:A 5 (5 分)双曲线 C1: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一个焦点为 F(c,0) (c0) ,且双曲 线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切,则双曲线 C1的渐近线方程为 ( ) A 3 = 0 B3 = 0 C5 = 0 D 5 = 0 【解答】解:双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切, 点(c,0)到渐近线 y= 的距离为 2 第 7 页(共 19 页) 2:2 = 2,c2b, = 3 双曲线 C1的渐近线方程为

    15、 y= = 1 3 即 x3 =0 故选:A 6 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,3a5a2+a7+12,a36,则数列* 1 +的前 2020 项和为( ) A2018 2019 B2019 2020 C2020 2021 D2021 2022 【解答】解:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 由35 = 2+ 7+ 12 3= 6 ,1 + 5 = 12 1+ 2 = 6 , a1d2,an2n,Snn(n+1) 1 = 1 (:1) = 1 1 :1, 数列* 1 +的前 2020 项和2020 = (1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 202

    16、0 1 2021) = 1 1 2021 = 2020 2021 故选:C 7 (5 分)为了改善市民的生活环境,某沿江城市决定对本市的 1000 家中小型化工企业进 行污染情况摸排,并把污染情况综合折算成标准分 100 分,如图为该市被调查的化工企 业的污染情况标准分的频率分布直方图, 根据该图可估计本市标准分不低于 50 分的企业 数为( ) A400 B500 C600 D800 【解答】解:根据频率分布直方图经计算得 50 分以上的频率为 0.50, 所以本市标准分不低于 50 分的企业数为 500 家, 故选:B 第 8 页(共 19 页) 8 (5 分)已知函数 f(x)ax+(k

    17、1)a x(a0 且 a1)是偶函数,则关于 x 的不等式 f(logkx) 2+1 的解集是( ) A (2,+) B (0,1 2)(2,+) C (1 2,2) D以上答案都不对 【解答】解:根据题意,函数 f(x)ax+(k1)a x(a0 且 a1)是偶函数,即 f (x)f(x) , 则有 ax+(k1)a xax+(k1)ax,即 axax(k2)axax, 则有 k2, 则 f(x)ax+a x,设 tax,则 yt+1 , 当 a1 时,在区间0,+)上,tax1,为增函数, yt+ 1 在1,+)上为增函数, 故当 a1 时,在区间0,+)上为增函数, 当 0a1 时,在区

    18、间0,+)上,tax1,为减函数, yt+ 1 在(0,1)上为减函数, 故当 0a1 时,在区间0,+)上为增函数, 综合可得:f(x)在0,+)上是增函数, 故() 2+1 f(log2x)f(1) ,即|log2x|1,变形可得 log2x1 或 log2x1, 解得 x2 或0 1 2即不等式的解集为(0, 1 2) (2, + ), 故选:B 9 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) 第 9 页(共 19 页) A2 3 B4 3 C2 D4 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 如图所示: 所以 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 故选:A

    19、 10 (5 分)已知椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0)的两个焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点, 且F1PF260,则F1PF2的面积等于( ) A63 B33 C6 D3 【解答】 解: 如图所示, 椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0), 可得 a5, b3, c= 2 2=4 设|PF1|m,|PF2|n, 则 m+n2a10, 在F1PF2中,由余弦定理可得: (2c)2m2+n22mncos60,可得(m+n)23mn 64,即 1023mn64,解得 mn12 第 10 页(共 19 页) F1PF2的面积 S= 1 2mnsin60= 1 2 12 3 2 =33

    20、 故选:B 11(5 分) 若函数 y2sin (2x+) 的图象过点 ( 6, 1) , 则它的一条对称轴方程可能是 ( ) Ax= 6 Bx= 3 Cx= 12 Dx= 5 12 【解答】解:函数 y2sin(2x+)的图象过点( 6,1) ,12sin(2 6 +) , 2k+ 6或 2k+ 5 6 (kz) 又对称轴方程为:2x+k+ 2,x= 2 + 2 (kz) 将代入得 x= 2 k+ 3(,kz,kz) 当 k0,k0 时,x= 3 故选:B 12 (5 分)已知函数 f(x)= 3,0 0,0 1 3 3,1 ,则函数 g(x)x3+4f(x)零点的个数 ( ) A1 B2

    21、C3 D4 【解答】解:函数 f(x)= 3,0 0,0 1 3 3,1 , 则函数 g(x)x3+4f(x)= 3+ 12,0 3,0 1 3+ 12 12,1 , 当 x0 时,g(x)x3+12x 是增函数,函数的 g(x)0,没有零点, 第 11 页(共 19 页) 当 0x1 时,g(x)x3,x0 是函数的零点; 当 x1 时,g(x)x312x+12,可得 g(x)3x212,令 3x2120 可得 x2, x2(舍去) , x(1,2)时,g(x)0,函数是减函数,x2 时,g(x)0,函数是增函数, g(2)824+1240,g(1)10,g(3)2736+1210,此时函数

    22、由两 个零点, 综上,函数有 3 个零点 故选:C 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)设 a= 1 1 dx,则二项式(x 2 ) 6 的展开式中常数项的值为 240 【解答】解: = 1 = 2, 则(2 2 ) 6的通项为::1 = (2)6 12;3, 令 123k0 得,k4 故常数项为5= 6 4(2)4 = 240 故答案为:240 14 (5 分)已知函数() = 3 ,且 f2(x)af(x)0 有且只有 1 个整数解,则 a 的取 值范围为 (1 26,3 【解答】解:() = 13 2 ,易得 f(

    23、x)在(0, 3) ,( 3, + ) ,且(1 3) = 0,当 x+时,f(x)0,x0 时,f(x), 若 a0,则不等式即:f2(x)0,有无穷多个整数解,不合题意; 若 a0,则不等式等价于:f(x)a 或 f(x)0,不等式 f(x)a 无整根,f(x) 0 也有无穷多个整数解,不合题意; 若 a0,则不等式等价于:f(x)0 或 f(x)a,不等式 f(x)0 无整数解,由 f (x) a 有一个整数解知当 f (2) af (1) 时, 有一个整数解 x1, (1 26,3 故答案为: (1 26,3 15 (5 分)已知 P,A,B,C,D 是球 O 的球面上的五个点,四边形

    24、 ABCD 为梯形,AD BC,ABDCAD2,BC4,PAD 为等边三角形且平面 PAD平面 ABCD,则球 O 第 12 页(共 19 页) 的表面积为 52 3 【解答】解:由题意可知,几何体的图形,如图: 底面 ABCD 是等腰梯形,侧面 PAD 是正三角形与底面 ABCD 垂直,所以四棱锥的外接球 的球心,是 O,在底面 ABCD 的外心的垂直直线与侧面 PAD 的外心的垂直直线的交点, 因为ADBC, ABDCAD2, BC4, PAD为等边三角形且平面PAD平面ABCD, 所以 E 是底面 ABCD 的外心,半径为 2,OEGF,G 是正三角形的外心,OE= 3 3 ,EA 2,

    25、 所以外接球的半径为 R=( 3 3 )2+ 22=13 3 , 则球 O 的表面积为:4 (13 3 )2= 52 3 故答案为:52 3 16 (5 分)ABC 中,A120,BC213,AC2,则 AB 6 ;当| + |取最 小值时, 5 2 【解答】解:ABC 中,A120,BC213,AC2,设 ABx; 根据余弦定理,x2+4+2x52; 解得 x6,或 x8(舍去) ; AB6; 根据余弦定理, = 52+436 813 = 5 213; | + |2= 2 + 2 2 + 2 = 52 + 42+ 20 = 4( + 5 2) 2 + 27; = 5 2时,| + |取最小值

    26、 故答案为:6, 5 2 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 第 13 页(共 19 页) 17 (12 分)已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+(5n3)an4n (1)求数列an的通项公式; (2)求数列*3 +的前 n 项和 Sn 【解答】解: (1)2a1+7a2+12a3+(5n3)an4n n1 时,2a14,解得 a12, n2 时,2a1+7a2+12a3+(5n8)an14(n1) (5n3)an4 an= 4 53 (2)3 = (5;3)3 4 , 数列*3 +的前 n 项和 Sn= 1 423+73 2

    27、+1233+(5n3) 3n, 3Sn= 1 423 2+733+1234+(5n8) 3n+(5n3) 3n+1, 2Sn= 1 46+5 (3 2+33+3n) (5n3) 3n+1=1 46+5 9(311) 31 (5n3) 3n+1 Sn= (1011)3+1+33 16 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PD2AD,PDCD,PDAD,底面 ABCD 为正方形,M,N 分别为 AD,PD 的中点 ()证明:PA平面 MNC; ()求直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值; ()求二面角 MNCD 的余弦值 【解答】 ()证明:因为 PNND,DMMA,所以 MN

    28、PA, 且 PA平面 MNC,MN平面 MNC,则 PA平面 MNC ()解:因为 PDCD,PDAD,且 ADCDD, 第 14 页(共 19 页) 所以 PD平面 ABCD, 则以点 Dxyz 为原点建立空间直角坐标系(如图) ,设 AD2, 可得 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,N(0,0,2) ,M(1,0,0) ,P(0, 0,4) 向量 = (2,2, 4), = (0,2, 2), = (1,0,2) 设 = (,)为平面 MNC 的法向量, 则 = 0 = 0 即2 2 = 0 + 2 = 0, 不妨令 y1,可得 = (2,1,1)为 MNC 平面

    29、的一个法向量, 设直线 PB 与平面 MNC 所成角为 , 于是有 = = | | | = 1 6 ()解:因为 = (1,0,0)为平面 NCD 的法向量, 所以 = | | | = 6 3 19(12 分) 已知过点 P (4, 0) 的动直线与抛物线 C: y22px (p0) 交于点 A, B, 且 = 0 (点 O 为坐标原点) (1)求抛物线 C 的方程; (2)当直线 AB 变动时,x 轴上是否存在点 Q 使得点 P 到直线 AQ,BQ 的距离相等,若 第 15 页(共 19 页) 存在,求出点 Q 坐标,若不存在,说明理由 【解答】解: (1)设过点 P(4,0)的动直线为 x

    30、my+4, 代入抛物线 y22px,可得 y22pmy8p0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 y1y28p, 由 = 0可得 x1x2+y1y2= (12)2 42 +y1y2168p0, 解得 p2,则抛物线的方程为 y24x; (2)当直线 AB 变动时,x 轴上假设存在点 Q(t,0)使得点 P 到直线 AQ,BQ 的距离 相等, 由角平分线的判定定理可得 QP 为AQB 的角平分线,即有 kAQ+kBQ0, 由(1)可得 y1y28p,y1+y22pm, 则 kAQ+kBQ= 1 1 + 2 2 = 1 1+4 + 2 2+4 =0, 化为 2my1y2+(4t)

    31、 (y1+y2)0, 即为16mp+2pm(4t)0, 化简可得 t4, 则 x 轴上存在点 Q(4,0) ,使得点 P 到直线 AQ,BQ 的距离相等 20 (12 分)有一种类型的题目,此类题目有六个选项 A、B、C、D、E、F,其中有三个正 确选项,满分 6 分,赋分标准为“每选对一个得 2 分,每选错一个扣 3 分,最低得分为 0 分” 在某校的一次测试中出现了这种类型的题目,已知此题的正确答案是 A、C、D,假 定考生作答的答案中选项的个数不超过三个 (1)若甲同学只能判断选项 A、D 是正确的,现在他有两种选择:一种是将 A、D 作为 答案,另一种是在 B、C、E、F 这四个选项中

    32、任选一个与 A、D 组成一个含三个选项的 答案则甲同学的最佳选择是哪一种?请说明理由; (2)若乙同学无法判断所有选项,他决定在 6 个选项中任选 3 个作为答案: (i)设乙同学此题得分为 分,求 的分布列; (ii)已知有 20 名和乙同学情况相同的同学,且这 20 名考生答案互不相同,他们此题的 平均得分为 a 分,现从这 20 名考生中任选 3 名考生,计算得到这 3 人平均得分为 b 分, 试求 a 的值及 ba 的概率 【解答】解: (1)设甲同学此题得分为 X, 第 16 页(共 19 页) 若甲同学选择 AD,则 X4,X 的数学期望 EX4; 若甲同学选择 3 个选项,则其答

    33、案共4 1 = 4种其中得分为 1 分的情况有3 1 = 3种情 况,其概率为3 4, 得分为 6 分的情况有 1 种,其概率为1 4,所以 X 的数学期望 = 1 3 4 + 6 1 4 = 9 44, 故甲同学最佳选择是选 AD (2) ()乙同学可能的答案共6 3 = 20种其中得分为 6 分的情况有 1 种,概率为 1 20, 得分为 1 分的情况有3 231 = 9种,概率为 9 20, 得分为 0 分的概率为1 1 20 9 20 = 1 2, 故 可取 0,1,6,且( = 0) = 1 2,( = 1) = 9 20,( = 6) = 1 20,所以 的分布列 为: 0 1 6

    34、 P 1 2 9 20 1 20 ()由()可知 = = 0 1 2 + 1 9 20 + 6 1 20 = 3 4 由于这 20 名考生的答案互不相同且可能的答案总数为 20, 因此这 20 名考生有 10 人的得 分均为 0 分,9 人的得分均为 1 分,1 人的得分为 6 分 则当 = 3 4时任选的 3 名考生的得分有 3 种情况符合要求:分别为 0 分,0 分,0 分 或 0 分,0 分,1 分或 0 分,1 分,1 分, 即任选的 3 名考生中 3 人得 0 分,或 2 人得 0 分,1 人得 1 分,或 1 人得 0 分,2 人得 1 分 所以( ) = 10 3 20 3 +

    35、10 2 9 1 20 3 + 10 1 9 2 20 3 = 59 76 ba 的概率为:() = 1 59 76 = 17 76 21 (12 分)设函数 f(x)alnx+x,g(x)ex+x ()讨论函数 f(x)的单调性; ()令 h(x)f(x)g(x) ,当 a2 时,证明 h(x)2ln24 【解答】解: ()alnx+x,x0, 第 17 页(共 19 页) f(x)= + 1 = + , 当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增, 当 a0 时,令f(x)0 可得 xa, 当f(x)0 时,解得 xa, 令f(x)0 可得,0xa, 所以函数 f(x)

    36、在(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减, ()h(x)f(x)g(x)alnxex, 当 a2 时 h(x)2lnxex,h(x)= 2 , 令 yh(x)= 2 ,则 = 2 2 0, 所以 h(x)在(0,+)上单调递减 取 x1= 1 2,x21,则( 1 2) = 4 0,h(1)2e0, 所以函数 h(x)存在唯一的零点0 (1 2,1), 即(0) = 2 0 0=0, 所以当 x(0,x0) ,h(x)0,当 x(x0,+) ,h(x)0, 故函数 h(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,+)单调递减, 所以当 xx0时,函数 h(x)取得极大值,也是最大值 h(x0)

    37、2lnx00, 由 2 0 0= 0可得0= 2 0, 两边同时取对数可得,x0ln2lnx0, 所以 lnx0ln2x0, 故 h(x0)2lnx00=2(ln2x0) 2 0 =2ln22(0+ 1 0) , 由基本不等式可得0+ 1 0 20 1 0 =2,因为0 (1 2,1), 所以0+ 1 0 2, 所以 h(x0)2ln22(0+ 1 0)2ln24, 又因为 h(x)h(x0) 即 h(x)2ln24, y= 1 2 = +8 2 所以当 a2 时,h(x)2ln24 成立 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 第 18

    38、 页(共 19 页) 22 (10 分)已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = ( 为参数) ,以平面直角坐标系的原点 O 为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)P,Q 是曲线 C 上两点,若 OPOQ,求 |2|2 |2:|2的值 【解答】解: (1)曲线 C 的参数方程为 = 2 = ( 为参数) ,转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1, 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 (2)P,Q 是曲线 C 上两点,若 OPOQ, 设 P(1,) ,则 Q(2, 2) , 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2:

    39、 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3 4 2:1 4 = 4 5 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x3|+|x1| (1)求不等式 f(x)6 的解集; (2)设 f(x)的最小值为 M,正数 a,b 满足 a2+4b2M,证明:a+2b4ab 【解答】解: (1)f(x)|x3|+|x1|= 4 2, 1 2,13 2 4, 3 f(x)6, 1 4 2 6或 3 2 4 6或 13 2 6 , 即以1x1 或 3x5 或 1x3, 不等式的解集为1,5 (2)(x)|x+3|+|x1|x3x+1|2,M2, a0,b0,要证 a+2b4ab,只需证(a+2b)216a2b2, 即证 a2+4b2+4ab16a2b2, a2+4b22,只要证 2+4ab16a2b2, 即证 8(ab)22ab10,即证(4ab+1) (2ab1)0, 4ab+10,只需证 1 2, 第 19 页(共 19 页) 2a2+4b24ab, 1 2成立, a+2b4ab

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