2020年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10).docx
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1、 第 1 页(共 19 页) 2020 年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1(5 分) 已知 a 为实数, 若复数 z (a29) + (a+3) i 为纯虚数, 则复数 z 的虚部为 ( ) A3 B6i C3 D6 2 (5 分)已知全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4,则 A(RB)等于( ) Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 3 (5 分)已知函数 g(x)= 1 +1 3, 1 0 2 3 + 2,0 1 ,若方程 g(x)
2、mxm0 有且仅 有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是( ) A ( 9 4,20,2 B ( 11 4 ,20,2 C ( 9 4,20,2) D ( 11 4 ,20,2) 4 (5 分)已知向量 =(t,2) , =(4,t2) ,则“t4”是“ ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 (5 分)双曲线 C1: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一个焦点为 F(c,0) (c0) ,且双曲 线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切,则双曲线 C1的渐近线方程为 ( ) A 3 = 0 B3 = 0 C5 = 0
3、 D 5 = 0 6 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,3a5a2+a7+12,a36,则数列* 1 +的前 2020 项和为( ) A2018 2019 B2019 2020 C2020 2021 D2021 2022 7 (5 分)为了改善市民的生活环境,某沿江城市决定对本市的 1000 家中小型化工企业进 行污染情况摸排,并把污染情况综合折算成标准分 100 分,如图为该市被调查的化工企 业的污染情况标准分的频率分布直方图, 根据该图可估计本市标准分不低于 50 分的企业 数为( ) 第 2 页(共 19 页) A400 B500 C600 D800 8 (5 分)已知函
4、数 f(x)ax+(k1)a x(a0 且 a1)是偶函数,则关于 x 的不等式 f(logkx) 2+1 的解集是( ) A (2,+) B (0,1 2)(2,+) C (1 2,2) D以上答案都不对 9 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A2 3 B4 3 C2 D4 10 (5 分)已知椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0)的两个焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点, 且F1PF260,则F1PF2的面积等于( ) A63 B33 C6 D3 11(5 分) 若函数 y2sin (2x+) 的图象过点 ( 6, 1) , 则它的一条对称轴方程可能是
5、( ) Ax= 6 Bx= 3 Cx= 12 Dx= 5 12 12 (5 分)已知函数 f(x)= 3,0 0,0 1 3 3,1 ,则函数 g(x)x3+4f(x)零点的个数 第 3 页(共 19 页) ( ) A1 B2 C3 D4 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)设 a= 1 1 dx,则二项式(x 2 ) 6 的展开式中常数项的值为 14 (5 分)已知函数() = 3 ,且 f2(x)af(x)0 有且只有 1 个整数解,则 a 的取 值范围为 15 (5 分)已知 P,A,B,C,D 是球 O 的球面上
6、的五个点,四边形 ABCD 为梯形,AD BC,ABDCAD2,BC4,PAD 为等边三角形且平面 PAD平面 ABCD,则球 O 的表面积为 16 (5 分)ABC 中,A120,BC213,AC2,则 AB ;当| + |取 最小值时, 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+(5n3)an4n (1)求数列an的通项公式; (2)求数列*3 +的前 n 项和 Sn 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PD2AD,PDCD,PDAD,底面 ABCD 为正方形,
7、M,N 分别为 AD,PD 的中点 ()证明:PA平面 MNC; ()求直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值; ()求二面角 MNCD 的余弦值 19(12 分) 已知过点 P (4, 0) 的动直线与抛物线 C: y22px (p0) 交于点 A, B, 且 = 0 第 4 页(共 19 页) (点 O 为坐标原点) (1)求抛物线 C 的方程; (2)当直线 AB 变动时,x 轴上是否存在点 Q 使得点 P 到直线 AQ,BQ 的距离相等,若 存在,求出点 Q 坐标,若不存在,说明理由 20 (12 分)有一种类型的题目,此类题目有六个选项 A、B、C、D、E、F,其中有三个正 确选
8、项,满分 6 分,赋分标准为“每选对一个得 2 分,每选错一个扣 3 分,最低得分为 0 分” 在某校的一次测试中出现了这种类型的题目,已知此题的正确答案是 A、C、D,假 定考生作答的答案中选项的个数不超过三个 (1)若甲同学只能判断选项 A、D 是正确的,现在他有两种选择:一种是将 A、D 作为 答案,另一种是在 B、C、E、F 这四个选项中任选一个与 A、D 组成一个含三个选项的 答案则甲同学的最佳选择是哪一种?请说明理由; (2)若乙同学无法判断所有选项,他决定在 6 个选项中任选 3 个作为答案: (i)设乙同学此题得分为 分,求 的分布列; (ii)已知有 20 名和乙同学情况相同
9、的同学,且这 20 名考生答案互不相同,他们此题的 平均得分为 a 分,现从这 20 名考生中任选 3 名考生,计算得到这 3 人平均得分为 b 分, 试求 a 的值及 ba 的概率 21 (12 分)设函数 f(x)alnx+x,g(x)ex+x ()讨论函数 f(x)的单调性; ()令 h(x)f(x)g(x) ,当 a2 时,证明 h(x)2ln24 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = ( 为参数) ,以平面直角坐标系的原点 O 为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系 (
10、1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)P,Q 是曲线 C 上两点,若 OPOQ,求 |2|2 |2:|2的值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x3|+|x1| (1)求不等式 f(x)6 的解集; (2)设 f(x)的最小值为 M,正数 a,b 满足 a2+4b2M,证明:a+2b4ab 第 5 页(共 19 页) 2020 年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(10) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1(5 分) 已知 a 为
11、实数, 若复数 z (a29) + (a+3) i 为纯虚数, 则复数 z 的虚部为 ( ) A3 B6i C3 D6 【解答】解:z(a29)+(a+3)i 为纯虚数, 2 9 = 0 + 3 0 ,解得 a3 z6i, 则复数 z 的虚部为 6 故选:D 2 (5 分)已知全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4,则 A(RB)等于( ) Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 【解答】解:因为:全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4, Ax|3x3;RBx|x4 或 x2 则 A(RB)x|3x2| 故选:D 3 (5 分)已知函数 g(x)= 1 +1 3, 1 0 2
12、3 + 2,0 1 ,若方程 g(x)mxm0 有且仅 有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是( ) A ( 9 4,20,2 B ( 11 4 ,20,2 C ( 9 4,20,2) D ( 11 4 ,20,2) 【解答】解:由 g(x)mxm0 得 g(x)m(x+1) , 原方程有两个相异的实根等价于两函数 yg(x)与 ym(x+1)的图象有两个不同的交 点 当 m0 时,易知临界位置为 ym(x+1)过点(0,2)和(1,0) , 分别求出这两个位置的斜率 k12 和 k20, 由图可知此时 m0,2) ; 当 m0 时,设过点(1,0)向函数 g(x)= 1 +1 3,x(1
13、,0的图象作切线的切 第 6 页(共 19 页) 点为(x0,y0) , 则由函数的导数为 g(x)= 1 (+1)2得, 1 (0+1)2 = 0 0+1 0= 1 0+1 3 , 解得 0= 1 3 0= 3 2 , 得切线的斜率为 k1= 9 4,而过点(1,0) , (0,2)的斜率为 k12, 故可知 m( 9 4,2, 则 m( 9 4,20,2) 故选:C 4 (5 分)已知向量 =(t,2) , =(4,t2) ,则“t4”是“ ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解 , t(t2)80,即 t22t80,则 t2 或 t
14、4 当 t4 时, 命题成立, 反之,当 时,t4 不一定成立 所以“t4”是“ ”的充分不必要条件 故选:A 5 (5 分)双曲线 C1: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一个焦点为 F(c,0) (c0) ,且双曲 线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切,则双曲线 C1的渐近线方程为 ( ) A 3 = 0 B3 = 0 C5 = 0 D 5 = 0 【解答】解:双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2:( )2+ 2= 2 4 均相切, 点(c,0)到渐近线 y= 的距离为 2 第 7 页(共 19 页) 2:2 = 2,c2b, = 3 双曲线 C1的渐近线方程为
15、 y= = 1 3 即 x3 =0 故选:A 6 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,3a5a2+a7+12,a36,则数列* 1 +的前 2020 项和为( ) A2018 2019 B2019 2020 C2020 2021 D2021 2022 【解答】解:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 由35 = 2+ 7+ 12 3= 6 ,1 + 5 = 12 1+ 2 = 6 , a1d2,an2n,Snn(n+1) 1 = 1 (:1) = 1 1 :1, 数列* 1 +的前 2020 项和2020 = (1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 202
16、0 1 2021) = 1 1 2021 = 2020 2021 故选:C 7 (5 分)为了改善市民的生活环境,某沿江城市决定对本市的 1000 家中小型化工企业进 行污染情况摸排,并把污染情况综合折算成标准分 100 分,如图为该市被调查的化工企 业的污染情况标准分的频率分布直方图, 根据该图可估计本市标准分不低于 50 分的企业 数为( ) A400 B500 C600 D800 【解答】解:根据频率分布直方图经计算得 50 分以上的频率为 0.50, 所以本市标准分不低于 50 分的企业数为 500 家, 故选:B 第 8 页(共 19 页) 8 (5 分)已知函数 f(x)ax+(k
17、1)a x(a0 且 a1)是偶函数,则关于 x 的不等式 f(logkx) 2+1 的解集是( ) A (2,+) B (0,1 2)(2,+) C (1 2,2) D以上答案都不对 【解答】解:根据题意,函数 f(x)ax+(k1)a x(a0 且 a1)是偶函数,即 f (x)f(x) , 则有 ax+(k1)a xax+(k1)ax,即 axax(k2)axax, 则有 k2, 则 f(x)ax+a x,设 tax,则 yt+1 , 当 a1 时,在区间0,+)上,tax1,为增函数, yt+ 1 在1,+)上为增函数, 故当 a1 时,在区间0,+)上为增函数, 当 0a1 时,在区
18、间0,+)上,tax1,为减函数, yt+ 1 在(0,1)上为减函数, 故当 0a1 时,在区间0,+)上为增函数, 综合可得:f(x)在0,+)上是增函数, 故() 2+1 f(log2x)f(1) ,即|log2x|1,变形可得 log2x1 或 log2x1, 解得 x2 或0 1 2即不等式的解集为(0, 1 2) (2, + ), 故选:B 9 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) 第 9 页(共 19 页) A2 3 B4 3 C2 D4 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 如图所示: 所以 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 故选:A
19、 10 (5 分)已知椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0)的两个焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点, 且F1PF260,则F1PF2的面积等于( ) A63 B33 C6 D3 【解答】 解: 如图所示, 椭圆 2 25 + 2 9 = 1(0), 可得 a5, b3, c= 2 2=4 设|PF1|m,|PF2|n, 则 m+n2a10, 在F1PF2中,由余弦定理可得: (2c)2m2+n22mncos60,可得(m+n)23mn 64,即 1023mn64,解得 mn12 第 10 页(共 19 页) F1PF2的面积 S= 1 2mnsin60= 1 2 12 3 2 =33
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