2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z1+2i，则5+5 =（ ） A1+2i B2+i C12i D2i 2 （5 分）设全集 U0，1，2，3，4，5，6，集合 A1，2，3，5，B2，3，4， 则将韦恩图（Venn）图中的阴影部分表示集合是（ ） A.1，5 B2，3 C.4，5 D.0，6 3 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 +4的最大值为 1 2，则实数 a

2、 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 4 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 5 （5 分）不等式 3 0的解集为（ ） A 3 + ， 2 + )，kZ B 3 + 2， 2 + 2)，kZ C 3 + ，+ )，kZ D 3 + 2，+ )，kZ 第 2 页（共 18 页） 6 （5 分）若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（ ） A1 B 1 C1 1 D1 1 7 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C

3、53 D62 8 （5 分） “x2y2”是“xy”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 9 （5 分）若等差数列an满足 a23，a3+a510，则 an（ ） A2n1 B2n+7 Cn+5 Dn+1 10 （5 分）不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小 球 2 个，从袋中任取 2 个小球，则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小 球的概率为（ ） A 3 14 B3 7 C6 7 D13 28 11（5 分） 已知向量 = (1，2)， = (，3)， 若 (2 )， 则 在 方向上的投影为

4、（ ） A 2 2 B1 C32 2 D2 12 （5 分）现有如下命题： 命题 p： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（，0，lnx0x00” ； 命题 q： “sin2x0”的充要条件为： “ (2+1) 2 ( )” ， 则下列命题中的真命题是（ ） Ap Bpq C （p）q Dp（q） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）双曲线 2 4 2 12 = 1的焦点到渐近线的距离为 14 （5 分）如图，正四面体 ABCD 中，CD平面 ，点 E 在 AC 上，且 AE2EC，若四面 体绕CD旋转， 则直

5、线BE在平面内的投影与CD所成角的余弦值的取值范围是 第 3 页（共 18 页） 15（5 分） 已知等比数列an中， an0， a1a64， 则 log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 16 （5 分）设函数 f（x）|x2+ax+b|，对于任意的实数 a，b，总存在 x00，4，使得 f（x0） t 成立，则实数 t 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若三边长 a，b，c 依次成等 差数列，sinA：sinB3：5，求三个内角

6、中最大角的度数 18 （12 分）如图所示，菱形 ABCD 与正方形 CDEF 所在平面相交于 CD （1）求作平面 ACE 与平面 BCF 的交线 l并说明理由； （2）若 BDCF，求证：平面 BDE平面 ACE 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 20 （12 分）随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧 第 4 页（共 18 页） 增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有 5 万居民的光明社区

7、采用 分层抽样方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表： 人均GDPx （万 元/人） 3 6 9 12 15 人均垃圾清运 量 y（吨/人） 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 （1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全15， 18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量 参考公式回归方程 = x+ 中， = =1 ()() =1 ()

8、2 = =1 =1 22 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ （aR） （）若函数 f（x）在1，+）上为增函数，求 a 的取值范围； （） 若函数 g （x） xf （x） 1 2ax 2x 有两个不同的极值点 x1， x2， 证明 1 1 + 1 2 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 第 5 页（共 18 页） （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两

9、点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = | + 2 | + | |，a 是非零常数 （1）若 a1，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a0，求证：() 22 第 6 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z1+2i，则5+5 =（ ） A1+2i B2+i C12i D2i 【解答】解

10、：z1+2i， = 1 2， = (1 + 2)(1 2) =6， 5+5 = 55+5 1+2 = 5 1+2 =2+i， 故选：B 2 （5 分）设全集 U0，1，2，3，4，5，6，集合 A1，2，3，5，B2，3，4， 则将韦恩图（Venn）图中的阴影部分表示集合是（ ） A.1，5 B2，3 C.4，5 D.0，6 【解答】解：由 Venn 图中阴影部分可知对应集合为 A（UB） ， 全集 U0，1，2，3，4，5，6，集合 A1，2，3，5，B2，3，4， UB0，1，5，6； A（UB）1，5； 故选：A 3 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 +4的最大值为

11、 1 2，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知 a2， +4的几何意义是可行域内的点与 Q（4，0）连线的斜率， 直线 x+y20 与直线 yx+a 的交点为 A（1 2，1+ 2） ， 当 x1 2，y1+ 2时， +4的最大值为 1 2，解得 a2，所以实数 a 的值为 2 第 7 页（共 18 页） 故选：B 4 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体的底面为直角梯形，高

12、为 2 四棱锥体 故 V= 1 3 1 2 (1 + 2) 2 2 = 2 故选：A 第 8 页（共 18 页） 5 （5 分）不等式 3 0的解集为（ ） A 3 + ， 2 + )，kZ B 3 + 2， 2 + 2)，kZ C 3 + ，+ )，kZ D 3 + 2，+ )，kZ 【解答】解：不等式 3 0转换为： 3， 解得： 3 + 2 + （kZ） ， 故：不等式的解集为： 3 + ， 2 + )（kZ） 故选：A 6 （5 分）若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（ ） A1 B 1 C1 1 D1 1 【解答】解：设切点为（x，y） ， 由题意= 1 + + =

13、1 + = 1 ，解得 = 1 1 故选：D 7 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412， 当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 第 9 页（共 18 页） 故选：B 8 （5 分） “x2y2”是“xy”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 【解答】解： “x2y2”与“xy”相互推不出 因此“x2

14、y2”是“xy”的既不充分也不必要条件 故选：D 9 （5 分）若等差数列an满足 a23，a3+a510，则 an（ ） A2n1 B2n+7 Cn+5 Dn+1 【解答】解：根据题意，等差数列an满足 a3+a510，则 a4= 1 2（a3+a5）5， 又由 a23，则数列的公差 d= 1 2（a4a2）1， 则 ana2+（n2）dn+1； 故选：D 10 （5 分）不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小 球 2 个，从袋中任取 2 个小球，则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小 球的概率为（ ） A 3 14 B3 7 C6

15、 7 D13 28 【解答】解：不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色 的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球，基本事件总数 n= 8 2 =28， 取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球包含的基本事件个数： m= 6 121 =12， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为 p= = 12 28 = 3 7 故选：B 11（5 分） 已知向量 = (1，2)， = (，3)， 若 (2 )， 则 在 方向上的投影为 （ ） A 2 2 B1 C32 2 D2 【解答】解：因为向量 = (1，2)， =

16、(，3)， 第 10 页（共 18 页） 2 =（2m，1） ； (2 )2m+20m4； =（4，3） ； 向量 在 方向上的投影为 | | = 10 32+42 =2 故选：D 12 （5 分）现有如下命题： 命题 p： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（，0，lnx0x00” ； 命题 q： “sin2x0”的充要条件为： “ (2+1) 2 ( )” ， 则下列命题中的真命题是（ ） Ap Bpq C （p）q Dp（q） 【解答】解： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（0，+） ，lnx0x00” ， 故命题为假； 20 22(2 + 1) (2+1) 2 ，

17、其中 kZ， 故命题 q 为真；故（p）q 为真， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）双曲线 2 4 2 12 = 1的焦点到渐近线的距离为 23 【解答】解：由双曲线 2 4 2 12 = 1，得焦点坐标为 F（4，0） ， 渐近线方程为 y= 3， 不妨取焦点坐标为（4，0） ，一条渐近线方程为3 = 0 则焦点到渐近线的距离为 d= |43| 3+1 = 23 故答案为：23 14 （5 分）如图，正四面体 ABCD 中，CD平面 ，点 E 在 AC 上，且 AE2EC，若四面 体绕 CD 旋转，则直线

18、 BE 在平面 内的投影与 CD 所成角的余弦值的取值范围是 0， 42 7 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：考虑相对运动，让正四面体 ABCD 保持静止，平面 绕着 CD 旋转，故平 面 的垂线也绕着 CD 旋转， 在 AD 上取一点 F，使 AF2FD，连接 EF，则 EFCD，所以也可等价于平面 绕着 EF 旋转 设正四面体 ABCD 的边长为 3a，则 EF2a，CEa 在BCE 中， = 2+22 2 ， 即60= 92+22 23 = 1 2， 解得 BE= 7 在BEF 中，BFBE= 7，EF2a 所以 cosBEF= 7 = 7 7 将原问题转化为几何模型：平面 的

19、垂线可视为圆锥的底面半径 EP，绕着圆锥的轴 EF 旋转， 所以 2 2 + ， 所以 7 7 sinPEB1 设直线 BE 在平面 内的投影与 CD 所成角为 0cos 42 7 故答案为：0， 42 7 15 （5 分）已知等比数列an中，an0，a1a64，则 log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 4 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：a1a64，由等比数列的性质可得：a2a5a3a44， log2a2+log2a3+log2a4+log2a5log2（a2a3a4a5）log2164 故填：4 16 （5 分）设函数 f（x）|x2+ax+b|，对于任意的实数

20、 a，b，总存在 x00，4，使得 f（x0） t 成立，则实数 t 的取值范围是 t2 【解答】解：对于任意的实数 a，b，总存在 x00，4，使得 f（x0）t 成立， 设 f（x）的最大值为 M，可得 f（0）M，f（2）M，f（4）M， 即有|b|M，|4+2a+b|M，|16+4a+b|M， 2 可得|8+4a+2b|2M， +可得|b|+|16+4a+b|2M， 即有|16+4a+2b|b|+|16+4a+b|2M， +可得|8+4a+2b|+|16+4a+2b|4M， 由 8|8+4a+2b164a2b|8+4a+2b|+|16+4a+2b|， 可得 M2，可得 t2， 故答案为

21、：t2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若三边长 a，b，c 依次成等 差数列，sinA：sinB3：5，求三个内角中最大角的度数 【解答】解：因为在ABC 中有 sinA：sinB3：5， 所以 a：b3：5 设 a3k（k0） ，所以 b5k 因为 a，b，c 成等差数列， 所以 c7k 所以最大角为 C 因为 = (3)2+(5)2(7)2 2(3)(5) = 1 2 所以 C120 18 （12 分）如图所示，菱形 ABCD 与正方形 CDEF 所在

22、平面相交于 CD （1）求作平面 ACE 与平面 BCF 的交线 l并说明理由； （2）若 BDCF，求证：平面 BDE平面 ACE 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）过点 C 作 BF 的平行线 l 即可，下面予以证明 由已知得，AB 和 EF 都与 CD 平行且相等， 四边形 ABFE 是平行四边形，AEBF， BF平面 ACE，且 AE平面 ACE，BF平面 ACE， BF平面 BCE，且平面 ACE平面 BCFl， BFl （2）证明：由 CFBD，CFCD，且 BDCDD，CF平面 ABCD， AC平面 ABCD，CFAC， DECF，DEAC， 在菱形 ABCD 中

23、，BDAC， 又 DEBDD，AC平面 BDE， AC平面 ACE，平面 BDE平面 ACE 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 第 14 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1

24、 ，得方程（212+ 1）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 20 （12 分）随着经济的快速增长、规模的迅速扩

25、张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧 增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有 5 万居民的光明社区采用 第 15 页（共 18 页） 分层抽样方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表： 人均GDPx （万 元/人） 3 6 9 12 15 人均垃圾清运 量 y（吨/人） 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 （1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全15，

26、18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量 参考公式回归方程 = x+ 中， = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 【解答】解： （1）由表格可得， = 5(3+15) 25 =9， = 0.13+0.23+0.31+0.41+0.52 5 =0.32， 5 =1 ( )2= 36 + 9 + 0 + 9 + 36 = 90， 5 =1 ( )( ) =（6）（0.19）+（3）（0.09）+0（0.01）+3 0.09+60.2 6（0.19+0.09+0.20）60.482.88， 所以 = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 = 2

27、.88 90 =0.032， 第 16 页（共 18 页） 于是 = =0.320.03290.032， 故变量 y 与 x 之间的回归直线方程为 = 0.032( + 1) （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为 1，得 1 60 （1+2+4+6+5+a）31， 解得 a2，故最右边小矩形的高度为 2 60 = 1 30， 由频率分布直方图可知，光明社区的人均 GDP 为 = 3 60（11.5+24.5+47.5+610.5+513.5+216.5）10.2（万元/人） ， 由（1）可知，光明社区的人均垃圾清运量约为 0.032（10.2+1） （吨/人） 于是光明社区年内垃圾清运总

28、量为 50.032（10.2+1）1.792（万吨） 由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为： 179202003.584106（千瓦时）即为所求 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ （aR） （）若函数 f（x）在1，+）上为增函数，求 a 的取值范围； （） 若函数 g （x） xf （x） 1 2ax 2x 有两个不同的极值点 x1， x2， 证明 1 1 + 1 2 2 【解答】解： （I）f（x）lnx+ ， f（x）= 1 2 = 2 ， f（x）在1，+）上为增函数， f（x）= 2 在1，+）上恒成立， 故 axmin1，即 a1， （）证明：g（x）x

29、lnx 1 2ax 2x+a 有两个不同的极值点 x1，x2， g（x）lnxax 有两个不同的零点 x1，x2， 即1 = 1 2= 2 ， lnx1+lnx2a（x1+x2） ， a= 1+2 1+2 ， 同理可得，a= 12 12 ， 第 17 页（共 18 页） 1 1 + 1 2 = 1+2 12 = (1+2) 212 = 1+2 12 12 12， = 1 1 2 (1 2 2 1)， 令 t= 1 2，不防设 x1x2，则 t（0，1） ， 1 1 + 1 2 = 1 ( 1 )， 原不等式等价于证 t 1 lnt， 令 h（t）lntt+ 1 ，则 h（t）= 2+21 2

30、= (1)2 2 0 在（0，1）上恒成立， 故 h（t）在（0，1）单调递减，h（t）h（1）0， 即 1 1 + 1 2 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2+|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转

31、换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2+|2 = 1 1 |2+ 1 |2 = 1 1 12+ 1 22 = 1 3 4 2+1 4+ 3 4 2+1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数() = | + 2 | + | |，a 是非零常数 （1）若 a1，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a0，求证：() 22 【解答】解： （1）a1 时，f（x）|x+2|+|x1|， 第 18 页（共 18 页） x2 时，f（x）12x，解 2 1 2 5得3x2， 2x1 时，f（x）35， x1 时，f（x）2x+1，解1 2 + 1 5得 1x2， 不等式 f（x）5 的解集为3，2）2，1（1，23，2 （2）() |( + 2 ) ( )| = | 2 + |， 因为 a0，a0， 2 0，() + ( 2 ) 2()( 2 ) = 22， 所以，() | 2 + | = |() + ( 2 )| 22