2020年广东省高考数学（理科）模拟试卷（6）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年广东省高考数学（理科）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x40，Bx|x2，则 A（UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 2 （5 分）复数 z 的共轭复数满足(2 + ) = |3 + 4|，则 z（ ） A2+i B2i Cl+2i D12i 3 （5 分）已知数列 a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 a3等于（ ） A9 B5

2、 C4 D2 4 （5 分）在ABC 中，| + | |，AB4，AC3，则 在 方向上的投影 是（ ） A4 B3 C4 D3 5 （5 分）在平面直角坐标系中，若不等式组 4 + 4 0 2 + 10 0 5 2 + 2 0 所表示的平面区域被直线 y ax+1 分为面积相等的两部分，则 a 的值为（ ） A1 2 B1 C2 D9 4 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线 2 4 2 2 = 1的渐近线相交 于 A、B 两点，若ABF 的周长为42，则 p（ ） A2 B22 C8 D4 7 （5 分）某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018

3、年全年总收入与 2017 年全 年总收入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发 生了相应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法 正确的是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 第 2 页（共 21 页） B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的1 4 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 8 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则该几何体的外

4、 接球的表面积为（ ） A36 B64 C81 D100 9 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）e|x|sin（x+） （0，0）的部分图 象如图所示，设 x0为 f（x）的极大值点，则 cosx0（ ） A 5 5 B25 5 C3 5 D4 5 10 （5 分）已知 终边与单位圆的交点(， 3 5)，且 sintan0，则1 2 + 2 + 22的值等于（ ） A1 5 B 1 5 C3 D3 11 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 12 （5 分）若函数 f（x）2x+s

5、inxcosx+acosx 在（，+）单调递增，则 a 的取值范 围是（ ） 第 3 页（共 21 页） A1，1 B1，3 C3，3 D3，1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿 几何？题意是： 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙， 大老鼠第一天进一尺， 以后每天加倍； 小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚64 31 32尺， 天后两只老鼠打 穿城墙 14 （5 分）

6、（x2y+1） （2x+y）6展开式中 x4y3的系数为 15 （5 分）已知 F 是双曲线 C：2 2 3 = 1的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 |OP|OF|，则OPF 的面积为 16 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 A BCD 当 = 3时，三棱锥 ABCD 的体积为1 3； 当面 ABD面 BCD 时，ABCD； 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值 以上命题正确的是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B

7、，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 18（12 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AA1A1D， ABBC， ABC120 （）证明：ADBA1 （）若平面 ADD1A1平面 ABCD，且 A1DAB，求二面角 AA1DB 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）已知离心率为1 2的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(1， 3 2)，直线 l：y kx+m 与椭圆 C 交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，其中 x1，x2a （1）求椭圆 C

8、 的方程； （2）若 A（a，0） ，且 AMAN，探究：直线 l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标， 若不是，请说明理由 20 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统

9、计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 21 （12 分）已知函数 f（x）xmlnx1（mR）在 x1 处取得极值 A，函数 g（x）f （x）+ex 1x，其

10、中 e2.71828是自然对数的底数 （1）求 m 的值，并判断 A 是 f（x）的最大值还是最小值； （2）求 g（x）的单调区间； （3）证明：对于任意正整数 n，不等式(1 + 1 2)(1 + 1 22)(1 + 1 2)成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点

11、 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 第 5 页（共 21 页） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求| 4 + 1 |的最小值 第 6 页（共 21 页） 2020 年广东省高考数学（理科）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax

12、|x40，Bx|x2，则 A（UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 【解答】解：因为 UR，Bx|x2，所以UBx|x2， 又 Ax|x4， 所以：A（UB）x|x2， 故选：A 2 （5 分）复数 z 的共轭复数满足(2 + ) = |3 + 4|，则 z（ ） A2+i B2i Cl+2i D12i 【解答】解：由(2 + ) = |3 + 4| =5，得 = 5 2+ = 5(2) (2+)(2) = 2 ， z2+i 故选：A 3 （5 分）已知数列 a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 a3等于（ ） A9 B

13、5 C4 D2 【解答】解：由题意可得，anan11+2（n1）2n1，a11， 故 a24，a39， 故选：A 4 （5 分）在ABC 中，| + | |，AB4，AC3，则 在 方向上的投影 是（ ） A4 B3 C4 D3 【解答】解：| + | |， =0， ， 又 AB4，AC3， 第 7 页（共 21 页） 在 方向上的投影是| |cos ， =| |cos（ACB） | |cosACB 3； 如图所示 故选：D 5 （5 分）在平面直角坐标系中，若不等式组 4 + 4 0 2 + 10 0 5 2 + 2 0 所表示的平面区域被直线 y ax+1 分为面积相等的两部分，则 a 的

14、值为（ ） A1 2 B1 C2 D9 4 【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图所示： 因为直线 yax+1 过定点 C（0，1） ， 所以要使表示的平面区域被直线 yax+1 分为面积相等的两部分， 则直线 yax+1 必过 A（2，6） ，B（4，2）的中点 D（3，4） ， 由 43a+1 得 a1， 故选：B 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线 2 4 2 2 = 1的渐近线相交 于 A、B 两点，若ABF 的周长为42，则 p（ ） A2 B22 C8 D4 【解答】解：双曲线 2 4 2 2 = 1渐近线方程为 = 2 2 ， 抛物线 y22

15、px（p0）的准线方程为 = 2， 第 8 页（共 21 页） 由题意得：( 2 ， 2 4 )，( 2 ， 2 4 )， | = 2 2 ，| = | =2+ ( 2 4 )2= 32 4 又ABF 的周长为42， | + | + | = 32 4 + 32 4 + 2 2 = 42 解得：p2 故选：A 7 （5 分）某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全 年总收入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发 生了相应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法 正确的是（ ） A该企业 2018 年

16、原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的1 4 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 【解答】解：由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t 对于选项 A，该企业 2018 年原材料费用为 0.32t0.6t，2017 年工资金额与研发费用的 和为 0.2t+0.1t0.3t，故 A 错误； 对于选项 B， 该企业 2018 年研发费用为 0.252t0.5t， 2017

17、年工资金额、 原材料费用、 其它费用三项的和为 0.2t+0.15t+0.15t0.5t，故 B 正确； 对于选项 C，该企业 2018 年其它费用是 0.052t0.1t，2017 年原工资金额是 0.2t，故 C 错误； 对于选项 D，该企业 2018 年设备费用是 0.22t0.4t，2017 年原材料的费用是 0.15t， 故 D 错误 第 9 页（共 21 页） 故选：B 8 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则该几何体的外 接球的表面积为（ ） A36 B64 C81 D100 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图

18、所示： 所以 = 1 3 5 6 = 205，解得 h= 25 设四棱锥的外接球的半径为 r， 所以(2)2= 52+ 62+ (25)2， 解得2= 9 2， 所以球= 4 (9 2) 2 = 81， 故选：C 9 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）e|x|sin（x+） （0，0）的部分图 象如图所示，设 x0为 f（x）的极大值点，则 cosx0（ ） 第 10 页（共 21 页） A 5 5 B25 5 C3 5 D4 5 【解答】解：依题意，函数 ysin（x+）为偶函数， 又 0，故 = 2，由图象可知，( 4) = ( 3 4 ) = 0，可得 2， f（x）e|x|

19、cos2x， 由函数 f（x）为偶函数，故只需考虑 x0 的情况， 当 x0 时，f（x）excos2x，f（x）ex（cos2x2sin2x）= 5(2 + )， = 25 5 ， = 5 5 ， 当2 + = 2 + 2， 时，f（x）有极大值， 故20= ( 2 ) = = 25 5 故选：B 10 （5 分）已知 终边与单位圆的交点(， 3 5)，且 sintan0，则1 2 + 2 + 22的值等于（ ） A1 5 B 1 5 C3 D3 【解答】解：由题意可知， 为第二象限角，且 = 3 5 ， = 4 5， 原式|sincos|+2|cos|sin3cos3， 故选：C 11 （

20、5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 【解答】解：c= 2 3 42，a= 3 1839 = 2， = 4 244162， 又 a= 3 18 = 1 + 3 6， = 424 = 1 + 4 6， 第 11 页（共 21 页） 46 = 1 64，36 = 1 63且 log64log630， 1 64 1 63， log424log318， cba 故选：D 12 （5 分）若函数 f（x）2x+sinxcosx+acosx 在（，+）单调递增，则 a 的取值范 围是（ ） A1，1 B1，

21、3 C3，3 D3，1 【解答】解：函数 f（x）2x+sinxcosx+acosx， f（x）32sin2xasinx， 由题意可得 f（x）0 恒成立， 即为 32sin2xasinx0， 设 tsinx（1t1） ，即有 2t2+at30， 当 t0 时，不等式显然成立； 当 0t1 时，a 3 2t， 由 y= 3 2t 在（0，1递减，可得 t1 时，取得最小值 1， 可得 a1； 当1t0 时，a 3 2t， 由 y= 3 2t 在1，0）递减，可得 t1 时，取得最大值1， 可得 a1 综上可得 a 的范围是1，1， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分

22、20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿 几何？题意是： 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙， 大老鼠第一天进一尺， 以后每天加倍； 小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚64 31 32尺， 6 天后两只老鼠打穿 第 12 页（共 21 页） 城墙 【解答】解：由题意，n 天后两只老鼠打洞之和： Sn= 1(12) 12 + 1(1 1 2) 11 2 = 2 1 + 2 1 21 = 2 1 21 + 1， 墙厚64 31 3

23、2， Sn= 2 1 21 + 1 = 64 31 32， 解得 n6 故答案为：6 14 （5 分） （x2y+1） （2x+y）6展开式中 x4y3的系数为 320 【解答】解： （x2y+1） （2x+y） 6 （x+2y） （64x6+192x5y+240x4y2+160x3y3+60x2y4+12xy5+y6 ） ， x4y3的系数为 1602240320， 故答：320 15 （5 分）已知 F 是双曲线 C：2 2 3 = 1的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 |OP|OF|，则OPF 的面积为 3 2 【解答】解：如图，不妨设 F 为双曲线 C：2 2 3 =

24、1的右焦点，P 为第一象限点 由双曲线方程可得，a21，b23，则 c2， 则以 O 为圆心，以 2 为半径的圆的方程为 x2+y24 联立 2+ 2= 4 2 2 3 = 1，解得 P（ 7 2 ，3 2） SOPF= 1 2 2 3 2 = 3 2 第 13 页（共 21 页） 故答案为：3 2 16 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 A BCD 当 = 3时，三棱锥 ABCD 的体积为1 3； 当面 ABD面 BCD 时，ABCD； 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值 以上命题正确的是 【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB1，

25、AD2， ACBD= 12+ 22= 5， ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 ABCD 在中，取 BD 中点 O，连结 AO，CO，则 AOCO= 5 2 ， 当 = 3时，cosAOC= 5 4+ 5 43 2 5 2 5 2 = 1 5， sinAOC=1 ( 1 5) 2 = 26 5 ， 点 A 到平面 BCD 的距离 d= 5 2 = 5 2 26 5 = 30 5 三棱锥 ABCD 的体积为： V= 1 3 1 2 2 1 30 5 = 30 15 ，故错误； 在中，当面 ABD面 BCD 时，过点 A 作 AE平面 BCD，交 BD 于 E， 则 AECD，又 CD 与平

26、面 ABD 不垂直，故 AB 与 CD 不垂直，故错误； 在中，OAOBOCOD= 5 2 ， 三棱锥 ABCD 外接球的球心为 O，半径为 5 2 ， 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值故正确 故答案为： 第 14 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 【解答】解： （1） = 3;， 由正弦定理可得：cosA（3sinBsinC）sinA

27、cosC， 可得：3sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB， sinB0， 可得 cosA= 1 3， A（0，） ， sinA= 1 2 = 22 3 ，sin2A2sinAcosA= 42 9 （2）SABC= 1 2bcsinA= 2， bc3， 又cosA= 1 3 = 2+22 2 ， b2+c2（b+c）22bc3，即（b+c）29， b+c3 18（12 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AA1A1D， ABBC， ABC120 （）证明：ADBA1 （）若平面 ADD1A1平面 ABCD，且 A1DAB，求二面角 AA

28、1DB 的余弦值 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （）证明：取 AD 的中点 O，连结 OB，OA1， AA1A1D，ADOA1， ABC120，四边形 ABCD 是平行四边形，BCAB， ABD 是等边三角形，ADOB， AD平面 A1OB， A1B平面 A1OB，ADBA1 （）解：平面 ADD1A1平面 ABCD，平面 ADD1A1平面 ABCDAD， 又 A1OAD，A1O平面 ABCD， OA，OA1，OB 两两垂直， 以 O 为原点，分别以 OA，OB，OA1所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 Oxyz， 设 ABADA1D2，则 A（1，0，0

29、） ，A1（0，0，3） ，B（0，3，0） ，D（1，0， 0） ， 平面 AA1D 的一个法向量 =（0，1，0） ， =（1，3，0） ，1 =（1，0，3） ， 设平面 DA1B 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = + 3 = 0 1 = + 3 = 0 ，取 x= 3，得 =（3， 1， 1） ， 设二面角 AA1DB 的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 1 5 = 5 5 故二面角 AA1DB 的余弦值为 5 5 第 16 页（共 21 页） 19 （12 分）已知离心率为1 2的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(1， 3 2)，直线 l：y kx+m

30、与椭圆 C 交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，其中 x1，x2a （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 A（a，0） ，且 AMAN，探究：直线 l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标， 若不是，请说明理由 【解答】解： （1）依题意， = 1 2 1 2 + 9 42 = 1 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 3 = 1 ， 椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1； （2）由（1）可知 A（2，0） ，联立 = + 2 4 + 2 3 = 1可得， （3+4k 2）x2+8mkx+4（m23） 0， 则（8mk）24（3+4k2） （4m212）16（12k23m2+

31、9）0，即 3+4k2m20， 1+ 2= 8 3+42 ，12= 4(23) 3+42 ， 又12= (1+ )(2+ ) = 212+ (1+ 2) + 2= 32122 3+42 ， AMAN，即 = 0， （x1+2，y1） （x2+2，y2）x1x2+2（x1+x2）+4+y1y20， 4 2;12 3:42 + 2 ;8 3:42 + 4 + 32;122 3:42 = 0， 7m216mk+4k20， m2k 或 = 2 7，且均满足 3+4k 2m20， 当 m2k 时，直线 l 的方程为 yk（x+2） ，直线恒过（2，0） ，舍去； 第 17 页（共 21 页） 当 = 2

32、 7 时，直线 l 的方程为 = ( + 2 7)，直线恒过( 2 7 ，0)； 综上，直线过定点( 2 7 ，0) 20 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均

33、只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【解答】 解： （1） 当收费为 20 元时， 照片被带走的可能性为 0.3， 不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y

34、1元，则 Y1是随机变量，其分布列为： Y1 15 5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元） ， 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x， 第

35、18 页（共 21 页） 不被带走的可能性为 0.70.05x， 设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为： Y 15x 5 P 0.3+0.05x 0.70.05x E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2， 当 x7 时，E（Y）有最大值 3.45 元， 当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 50003.4517250 元 21 （12 分）已知函数 f（x）xmlnx1（mR）在 x1 处取得极值 A，函数 g（x）f （x）+ex 1x，其中 e2.71828是自然对数的底数 （1）求 m 的值，并判断 A 是 f（x

36、）的最大值还是最小值； （2）求 g（x）的单调区间； （3）证明：对于任意正整数 n，不等式(1 + 1 2)(1 + 1 22)(1 + 1 2)成立 【解答】解： （1）因为 f（x）xmlnx1（x（0，+） ） ， 所以() = 1 （x（0，+） ） （1 分） 因为 x1 是 f（x）的极值点，所以 f（1）0， 即1 1 = 0，所以 m1 （2 分） 此时 f（x）xlnx1，() = 1 1 = 1 ， （x（0，+） ） 易得，当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f（x）0， 所以函数 f（x）在区间（0，1）上单调递减；在区间（1，+）上单调递增，（4 分） 所以

37、函数 f（x）在 x1 处的极值 A 是最小值（5 分） （2）由（1）知，m1，所以 g（x）ex 1lnx1，且 x（0，+） 所以() = ;1 1 （6 分） 设() = ;1 1 （x（0，+） ） ，则() = ;1 + 1 2 （7 分） 显然，当 x0 时，h（x）0 恒成立， 所以函数 h（x）在 x（0，+）上单调递增，且 h（1）0（9 分） 第 19 页（共 21 页） 所以，当 0x1 时，h（x）0，即 g（x）0； 当 x1 时，h（x）0，即 g（x）0 所以，函数 g（x）的单调递减区间为（0，1） ；单调递增区间为（1，+） （11 分） （3）证明：由（1

38、）可知， 当 x1 时，f（x）f（1）0，即 x1lnx（12 分） 不妨令 = 1 + 1 2（nN *） ， 则有(1 + 1 2) 1 2（nN *） （13 分） 所以(1 + 1 21) + (1 + 1 22) + + (1 + 1 2) 1 21 + 1 22 + + 1 2 = 1 1 2 1， 即(1+ 1 2)(1 + 1 22)(1 + 1 2)1 = （15 分） 因为函数 ylnx 在区间（1，+）上单调递增， 所以(1 + 1 2)(1+ 1 22)(1 + 1 2)（得证） （16 分） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每

39、小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 【解答】解： （）过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆上任意一点 （，） ，整理得 4cos 由于的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ， 第 20 页（共 21 页） 所以 M1的方程为

40、= 4( 3 2) （）点 P（1，）为曲线 M1上任意一点， 所以1= 4 ( 3 2)， 点 Q（2， 3）在曲线 M2 上， 所以2= 4( 3)（ 2 3 3） 整理得2= 4( 3)( 6 3) 由于|OP|+|OQ|6， 所以 1+26， 整理得4 + 4( 3) =6，即：43( + 3) = 6， 由于 3 2且 6 3 解得 = 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求| 4 + 1 |的最小值 【解答】解： （1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3， 当 x1 时，可得 x1+x+13，解得 1x 3 2； 当1x1 时，可得x+1+x+13，得 23 成立； 当 x1 时，可得x+1x13，解得 3 2 x1 综上所述，原不等式的解集为x| 3 2x 3 2； （2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa） （x+b）0 时等号成立 f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2 又ab0，|b+a|a|+|