北京市2021年中考数学二轮复习ppt课件：专题突破05　二次函数综合题.pptx

1、专题突破(五)二次函数综合题类型一抛物线的性质问题(2020,26/2017,27)此类题目重点考查抛物线的性质,例如:轴对称性,增减性,以及图象的平移、旋转、轴对称变换等,解题的关键是熟练掌握抛物线的性质,综合所画抛物线与直线相交方面的知识点,直接写出或列出满足题意的方程或不等式,从而解决问题.例1 2017北京27题在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数图象,求x1

2、+x2+x3的取值范围.【分层分析】(1)利用抛物线解析式求得点B,C的坐标,利用待定系数法求得直线BC的表达式即可;例1 2017北京27题在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数图象,求x1+x2+x3的取值范围.【分层分析】(2)由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标,由抛物线的固有性质:对称性结合图象解答比较简单.解:(2)由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得抛物线的顶点坐标为(2,-1

3、),对称轴为直线x=2.如图,y1=y2,x1+x2=4.把y=-1代入y=-x+3,得x=4.x1x2x3,3x34,即7x1+x2+x38,x1+x2+x3的取值范围为:7x1+x2+x30)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4.(1)求点A,B的坐标;(2)设直线l与直线AC关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式;(3)平行于x轴的直线b与抛物线交于点M(x1,y1),N(x2,y2),与直线l交于点P(x3,y3),若x1x30)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4.(2)设直线l与

4、直线AC关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式;图Z5-1【配练】2019顺义区二模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx-3(m0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4.(3)平行于x轴的直线b与抛物线交于点M(x1,y1),N(x2,y2),与直线l交于点P(x3,y3),若x1x3x2,结合函数图象,求x1+x2+x3的取值范围.图Z5-1解:(3)由对称性可知x2-(-1)=-1-x1,得x1+x2=-2,x1x3x2,-2x31,-4x1+x2+x30)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=kx+5(k

5、0)向上平移n个单位,当平移后的直线与图象G有公共点时,请结合图象直接写出n的取值范围.图Z5-2解:(1)抛物线y=x2-2mx+m-4与y轴交于点C(0,-3),m-4=-3,m=1.2.2020大兴区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3).(2)若一次函数y=kx+5(k0)的图象经过点A,求k的值;图Z5-2解：(2)m=1,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,令y=0,得到x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,抛物线y=x2-2mx+m-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),A(-1,

6、0),B(3,0).一次函数y=kx+5(k0)的图象经过点A,-k+5=0,k=5.2.2020大兴区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3).(3)将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=kx+5(k0)向上平移n个单位,当平移后的直线与图象G有公共点时,请结合图象直接写出n的取值范围.图Z5-2解:(3)2n5.解析如图,平移后的直线的解析式为y=5x+5+n,点C平移后的坐标为(-n,-3),点B平移后的坐标为(3-n,

7、0),当点C落在直线y=5x+5+n上时,-3=-5n+5+n,解得n=2,当点B落在直线y=5x+5+n上时,0=5(3-n)+5+n,解得n=5,观察图象可知,满足条件的n的取值范围为2n5.3.2020丰台区一模已知二次函数y=ax2-2ax.(1)二次函数图象的对称轴是直线x=;(2)当0 x3时,y的最大值与最小值的差为4,求该二次函数的表达式;(3)若a0时,对称轴为直线x=1,当x=1时,y有最小值为-a;当x=3时,y有最大值为3a.3a-(-a)=4.a=1.二次函数的表达式为:y=x2-2x.当a0时,同理可得y有最大值为-a,y有最小值为3a.-a-3a=4.a=-1.二

8、次函数的表达式为:y=-x2+2x.综上所述,二次函数的表达式为y=x2-2x或y=-x2+2x.3.2020丰台区一模已知二次函数y=ax2-2ax.(3)若a0,对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当tx1t+1,x23时,均满足y1y2,请结合函数图象,直接写出t的取值范围.解:(3)-1t2解析a1时,y随x的增大而减小,x=-1和x=3时的函数值相等,tx1t+1,x23时,均满足y1y2,t-1,t+13,-1t2.4.2019海淀区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(0,-3)和B(3,0).(1)求c的值及a,b满足

9、的关系式;(2)若抛物线在A,B两点间从左到右上升,求a的取值范围;(3)结合函数图象判断:抛物线能否同时经过点M(-1+m,n),N(4-m,n)?若能,写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值;若不能,请说明理由.4.2019海淀区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(0,-3)和B(3,0).(2)若抛物线在A,B两点间从左到右上升,求a的取值范围;4.2019海淀区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(0,-3)和B(3,0).(3)结合函数图象判断:抛物线能否同时经过点M(-1+m,n),N(4-m,n)?若能,

10、写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值;若不能,请说明理由.类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题(2019,26/2018,26/2015,27/2014,23/2012,23)此类题目的最后一问是难点,通常已知抛物线与直线(线段)的公共点个数,求抛物线中参数的取值范围,此类问题通常需要根据所画的直线(或线段),结合抛物线大致形状(一般会分开口向上和向下两种情况),找到满足题意的每种临界情况(例如,抛物线分别经过线段的两个端点或与线段相切),解出每种临界情况下参数的值后,结合图象和参数的意义,最终确定参数的取值范围.例2 2020燕山地区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx

11、-3a(a0)经过点A(-1,0).(1)求抛物线的顶点坐标;(用含a的式子表示)(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.【分层分析】(1)根据抛物线经过点A,可以求出a,b的关系,进一步用含a的式子表示抛物线的顶点坐标;图Z5-3解:(1)点A(-1,0)在抛物线y=ax2+bx-3a(a0)上,a-b-3a=0,即b=-2a,y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x)-3a=a(x-1)2-4a,抛物线的顶点坐标为(1,-4a).例2 2020燕山地区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx

12、-3a(a0)经过点A(-1,0).(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.【分层分析】(2)结合图象,分三种情况:a0;a0且抛物线的顶点在线段BC上;a0时,如图,显然抛物线与线段BC无公共点.当aa.可知点A总在点N的上方.令抛物线上的点C坐标为(-2,yC),yC=11a+1.如图,当a0时,yC-a-2,点C在点M的上方.结合函数图象,可知抛物线与线段MN没有公共点.类型三抛物线与直线(线段)构成的封闭区域内的整点问题(2016,27)此类题目的最后一问通常已知抛物线与直线围成的封闭图形内的整点个

13、数,求直线或抛物线中参数的取值范围.解决此类问题的关键有两个,一是分类讨论思想,往往直线的倾斜方向或抛物线的开口方向要分两种情况讨论,二是数形结合思想,要根据给定的整点个数,画出满足题意的图象,结合图象,列出不等式(组),从而求得参数的取值范围.例32020门头沟区二模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2ax+a2的顶点为A,直线y=x+3与抛物线交于点B,C(点B在点C的左侧).(1)求点A的坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC及抛物线在B,C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)为W.当a=0时,结合函数图象,直接写出区域W内的整点个数;如果区域W内有2个整点,

14、请求出a的取值范围.图Z5-5【分层分析】(1)将抛物线解析式变形为顶点式或直接使用公式,可求出顶点坐标为(a,0);解:(1)y=x2-2ax+a2=(x-a)2,顶点A(a,0).例32020门头沟区二模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2ax+a2的顶点为A,直线y=x+3与抛物线交于点B,C(点B在点C的左侧).(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC及抛物线在B,C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)为W.当a=0时,结合函数图象,直接写出区域W内的整点个数;【分层分析】(2)当a=0时,作出直线y=x+3和抛物线y=x2,可以找到区域W内的整点坐标为(0,1),

15、(0,2),(1,2),(1,3);图Z5-5解:(2)当a=0时,抛物线为y=x2,如图所示,观察图形可知:区域W内的整点个数是4.例32020门头沟区二模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2ax+a2的顶点为A,直线y=x+3与抛物线交于点B,C(点B在点C的左侧).(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC及抛物线在B,C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)为W.如果区域W内有2个整点,请求出a的取值范围.【分层分析】(2)由解析式可以看出抛物线开口方向、开口大小确定,即形状不变,但顶点坐标为(a,0),是左右平移的.当抛物线经过点(0,2)时,区域W内有1个整点;当抛

16、物线经过点(0,1)时,区域W内有2个整点.结合图象,可以进一步判断出a的取值范围.图Z5-5【配练】2019秋门头沟区期末在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+2a(a0)的顶点为P,且与y轴交于点A,与直线y=-a交于点B,C(点B在点C的左侧).(1)求抛物线y=ax2-4ax+2a(a0)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记抛物线与线段AC围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”.当a=2时,请直接写出“W区域”内的整点个数;当“W区域”内恰有2个整点时,结合函数图象,直接写出a的取值范围.图Z5-6解:(1)y=ax2-4ax+2

17、a=a(x-2)2-2a,顶点P的坐标为(2,-2a).【配练】2019秋门头沟区期末在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+2a(a0)的顶点为P,且与y轴交于点A,与直线y=-a交于点B,C(点B在点C的左侧).(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记抛物线与线段AC围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”.当a=2时,请直接写出“W区域”内的整点个数;图Z5-6【配练】2019秋门头沟区期末在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+2a(a0)的顶点为P,且与y轴交于点A,与直线y=-a交于点B,C(点B在点C的左侧).(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记抛物线与

18、线段AC围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”.当“W区域”内恰有2个整点时,结合函数图象,直接写出a的取值范围.图Z5-6 题型精练1.2020石景山区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4ax+b(a0)的顶点A在x轴上,与y轴交于点B.(1)用含a的代数式表示b;(2)若BAO=45,求a的值;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域(不含边界)内恰好没有整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.解:(1)y=ax2+4ax+b=a(x+2)2+(b-4a),该抛物线顶点A的坐标为(-2,b-4a),顶点A在x轴上,b-4a=0,即b=4a.1.2020石景山区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4ax+b(a0)的顶点A在x轴上,与y轴交于点B.(2)若BAO=45,求a的值;1.2020石景山区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4ax+b(a0)的顶点A在x轴上,与y轴交于点B.(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域(不含边界)内恰好没有整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.