2021年江西省中考数学专题复习ppt课件：几何类比拓展探究题.pptx

1、考情分析考情分析近七年必考几何拓展探究题，在解答题的最后一题或近七年必考几何拓展探究题，在解答题的最后一题或倒数第二题出现，分值为倒数第二题出现，分值为9分或分或12分主要考查方式有求线段长，求角分主要考查方式有求线段长，求角度，求面积，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并度，求面积，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，判定角平分线，涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与证明，判定角平分线，涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强基础基础模型模型1

2、条件：如图条件：如图1、图、图2，OAB与与OCD都是等边三角形，都是等边三角形，AC，BD相交于点相交于点E，连接，连接OE.结论：结论：OACOBD；AEB60；OE平分平分AED.思考思考1：请结合图：请结合图1证明上述结论证明上述结论一、手拉手模型一、手拉手模型旋转型全等旋转型全等 图图1 图图2 证明：证明：OAB与与OCD都是等边三角形，都是等边三角形，OAOB，OCOD，AOBCOD60.AOBBOCCODBOC，即即AOCBOD.OACOBD(SAS)OACOBD，OACOBD.OAB是等边三角形，是等边三角形，OABOBA6060120.OACBAEOBA120.OBDBAE

3、OBA120，即即EABEBA120.AEB18012060.答图答图1模型推广模型推广1条件：如图条件：如图3、图、图4，OAB与与OCD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，AOBCOD90，AC，BD相交于点相交于点E，连接，连接OE.结论：结论：OACOBD；AEB90；OE平分平分AED.图图3 图图42条件：如图条件：如图5、图、图6，OAB与与OCD都是等腰三角形，都是等腰三角形，OAOB，OCOD，AOBCOD，AC，BD相交于点相交于点E，连接，连接OE.结论：结论：OACOBD；AEBAOB；OE平分平分AED.图图5 图图63条件：如图条件：如图7，正方形，正方形ABC

4、D和正方形和正方形AEFG，连接，连接DG，BE交交于点于点M，连接，连接AM，过点，过点A作作AHDG，AKBE.结论：结论：DAGBAE；DMEDAB90；AM平平分分DME；四边形四边形AHMK是正方形是正方形 图图74条件：如图条件：如图8，正五边形，正五边形ABCDE和正五边形和正五边形AB1C1D1E1，BB1，EE1相交于点相交于点O，连接，连接AO.结论：结论：ABB1AEE1；BOEBAE；AO平分平分BOE1.图图8注意：注意：(1)该模型可推广到任意正该模型可推广到任意正n边形，利用正边形，利用正n边形的性质将其边形的性质将其转化为模型推广转化为模型推广2即可即可(2)等

5、边三角形等边三角形(图图1)等腰直角三角形等腰直角三角形(图图3)一般等腰三角形一般等腰三角形(图图5)正正n边形为图形形状变化引起的探究边形为图形形状变化引起的探究5条件：如图条件：如图9、图、图10，OAB和和OCD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，AOBCOD90，连接，连接AD，BC，点，点E，M，N分别是边分别是边AB，AD，BC的中点，连接的中点，连接EM，EN，MN.结论：结论：EMEN；MENAOB90；EMN是等腰是等腰直角三角形直角三角形注意：注意：当当OAB和和OCD都是等边三角形时，都是等边三角形时，EMN是等边三角是等边三角形形 图图9 图图106条件：如图条件

6、：如图11，ABC和和ADE都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，BACDAE90，连接，连接CD，BE，点，点F是是BE的中点，连接的中点，连接AF.结论：结论：CD2AF；SABESACD.图图11【提示】【提示】如图如图12，延长，延长AF到点到点G，使得，使得FGAF，连接，连接BG，GE，可证，可证CADABG，从而，从而CDAG2AF.如图如图13，作，作DNAC于点于点N，EMBA的延长线于点的延长线于点M，可证，可证ADNAEM，从而，从而SABESACD.图图12 图图13二、手拉手模型二、手拉手模型旋转型相似旋转型相似基础模型基础模型2条件：如图条件：如图14，在，在AO

7、B中，中，CDAB，将，将OCD绕点绕点O旋转旋转到如图到如图15所示的位置，所示的位置，AC与与BD所在直线相交于点所在直线相交于点E，与，与OB相交于点相交于点F.结论：结论：OACOBD；AEBAOB.思考思考2：请结合图：请结合图15证明上述结论证明上述结论 图图14 图图15 OACOBD，OACOBD.在在AOF与与EFB中，中，OFAEFB，AOFBEF，即，即AEBAOB.模型推广模型推广1条件：如图条件：如图16，AOB90，CDAB，将将OCD绕点绕点O旋转到如图旋转到如图17所示的位置，连接所示的位置，连接AC，BD相交于点相交于点E，连接，连接AD，BC.图图16 图图

8、17【提示】【提示】证明过程同基础模型证明过程同基础模型2，可由可由利用相似三角形利用相似三角形的性质证得，的性质证得，可由可由利用勾股定理证得利用勾股定理证得2条件：如图条件：如图18，OAB是等腰三角形，是等腰三角形，AOAB，CDAB，将，将OCD绕点绕点O旋转到如图旋转到如图19所示的位置，连所示的位置，连接接AC，BD，延长，延长BD与与AC交于点交于点E.图图18图图19 三、一线三等角模型三、一线三等角模型基础模型基础模型3条件：如图条件：如图20，已知，已知12360.结论：结论：ABCCDE；ABDEBCCD.思考思考3：请结合图：请结合图20证明上述结论证明上述结论 图图2

9、0模型推广模型推广1条件：如图条件：如图21，已知，已知123.结论：结论：ABCCDE；ABDEBCCD.2条件：如图条件：如图22，已知，已知12390.结论：结论：ABCCDE；ABDEBCCD.图图21 图图223条件：如图条件：如图23、图、图24，已知，已知ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ABAC，BAC90，过点，过点A的直线的直线l绕点绕点A旋转，分别过点旋转，分别过点B，C向直线向直线l作垂线，垂足为作垂线，垂足为E，D.结论：结论：ABECAD；如图如图23，DEBECD；如图如图24，CDBEDE.图图23 图图24四、对角互补模型四、对角互补模型基础模型基础模

10、型4条件：条件：AOBDCE90，OC平分平分AOB.图图25 图图26 图图25证明：证明：如答图如答图2，过点，过点C作作CGOE于点于点G，CFOA于点于点F.AOB90，四边形四边形OGCF是矩形是矩形FCG90，CGE180OGC90CFD.OC平分平分AOB，CFCG.四边四边OGCF是正方形是正方形FCGDCE90，FCDGCE90OCG.又又CFDCGE，FCDGCE(ASA)CDCE.答图答图2模型推广模型推广1条件：条件：AOB60，DCE120，OC平分平分AOB.图图27 图图282条件：条件：AOB2，DCE1802，OC平分平分AOB.结论：如图结论：如图29，CD

11、CE；OEOD2OCcos；SCOESCDOOC2sin cos.如图如图30，CDCE；OEOD2OCcos；SCOESCDOOC2sin cos.注意：注意：若将若将CDCE变为条件，变为条件，OC平分平分AOB变为结论，所有结变为结论，所有结论依然成立论依然成立 图图29 图图30五、半角模型五、半角模型基础模型基础模型5条件：在正方形条件：在正方形ABCD中，中，EAF45，AE交直线交直线BC于点于点E，AF交直线交直线DC于点于点F，AE，AF分别交直线分别交直线BD于点于点M，N，连接，连接NE，EF.图图31图图32 证明证明：如答图如答图3，过点，过点A作作AGAF，交，交C

12、B的延长线于点的延长线于点G，则，则GABBAFGAF90.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，ABGBADADF90.BAFFAD90.GABFAD.AGBAFD(ASA)BGDF，AGAF.EAF45，GAE90EAF45EAF.AEAE，GAEFAE.EGEF.BEDFBEBGEGEF.答图答图3模型推广模型推广1条件：如图条件：如图33、图、图34，在等腰直角三角形，在等腰直角三角形ABC中，中，BAC90，EAD45.AE交直线交直线BC于点于点E，AD交直线交直线BC于点于点D.结论：结论：BD2CE2DE2.图图33 图图34例例1如图如图1，在矩形，在矩形ABCD

13、中中(BCAB)，点，点P是线是线段段BC上一动点，连接上一动点，连接AP，并将线段，并将线段AP绕点绕点A逆时针逆时针旋转旋转90得到线段得到线段AE，连接，连接EP，ED，延长，延长ED交交BC的延长线于点的延长线于点F，延长，延长DE交交BA的延长线于点的延长线于点Q.(1)在图在图1中，中，EAQ_APB；(填填“”或或“”)典例分析典例分析动点探究动点探究类型类型1 1 图图1(2)如图如图2，若，若APDE，写出三个与，写出三个与EAQ相等的相等的角；角；解解：QDA，F，BPA，DAP(写三个即可写三个即可)图图2(3)如图如图3，若，若AB1，BC2，APDE，求证：四边形，求

14、证：四边形APEQ是平是平行四边形行四边形；图图3 图图4EABCBA 图图1如图如图2，当顶点，当顶点D在边在边AB上时，上时，(1)中中线段线段BE与线段与线段CF的数量关系是否仍然成的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰三角形思路一：作等腰三角形ABC底边上的高底边上的高CM，并取，并取BE的中点的中点N，再，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二

15、：取思路二：取DE的中点的中点G，连接，连接AG，CG，并把，并把CAG绕点绕点C逆时针逆时针旋转旋转90，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题题 图图2解：解：(1)结论仍然成立结论仍然成立 答图答图4证明：证明：如答图如答图4，过点，过点C作作CMAB于点于点M，延长延长CM交交BE于点于点N，连接，连接FN，则，则CMFBMN90.ACBC，CAB45，ACB90.ADE45，AMCMBM.DAE90BMN，MNAE.MNBN.(2)当当CAB30时，如图时，如图3，当顶点，当顶点D在边在边AC上时，写出线段上时，写出线段B

16、E与线段与线段CF的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由 图图3 答图答图52(1)【方法导引】【方法导引】问题问题：如图如图1，等边三角形，等边三角形ABC的边长为的边长为6，点，点O是是ABC和和ACB的平分的平分线的交点，线的交点，FOG120，绕点，绕点O任意旋转任意旋转FOG，分别交，分别交ABC的的两边于两边于D，E两点，求四边形两点，求四边形ODBE的面积的面积 图图1讨论讨论：小明：在小明：在FOG的旋转过程中，当的旋转过程中，当OF经过点经过点B时，时，OG一定经过一定经过点点C.小颖：小明的分析有道理，这样，我们就可以利用小颖：小明的分析有道理，这样，我们就可以利用“

17、ASA”证出证出ODBOEC.小飞：因为小飞：因为ODBOEC，所以只要算出，所以只要算出OBC的面积就得的面积就得出了四边形出了四边形ODBE的面积的面积老师：同学们的思路很清晰，也很正确，在分析和解决问题时，老师：同学们的思路很清晰，也很正确，在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题请你按照讨论的思我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题请你按照讨论的思路，直接写出四边形路，直接写出四边形ODBE的面积：的面积：_.(2)【应用方法】【应用方法】特例特例：如图：如图2，FOG的顶点的顶点O在等边三角形在等边三角形ABC的边的边BC上，上，OB2，OC4，边，边OGAC于

18、点于点E，OFAB于点于点D，求，求BOD的面的面积积 图图2 探究探究：如图：如图3，已知，已知FOG60，顶点，顶点O在等边在等边三角形三角形ABC的边的边BC上，上，OB2，OC4，记，记BOD的面的面积为积为x，COE的面积为的面积为y，求，求xy的值的值解：解：如答图如答图6，过点，过点O作作OMAB于点于点M，ONAC于于点点N.图图3 答图答图6应用应用：如图：如图4，已知，已知FOG60，顶点顶点O在等边三角形在等边三角形ABC的边的边CB的延长线的延长线上，上，OB2，BC6，记，记BOD的面积为的面积为a，COE的面积为的面积为b，请直接写出，请直接写出a与与b的关系的关系

19、式式解：解：ab48.图图4 3.综合与实践综合与实践【操作发现】【操作发现】如图如图1、图、图2，已知点，已知点P为正方形为正方形ABCD的的边边AD和和CD上的一个动点上的一个动点(点点A，D，C除外除外)，作射线作射线BP，作，作AEBP于点于点E，CFBP于点于点F，DGBP于点于点G.(1)如图如图1，当点，当点P在在CD上上(点点C，D除外除外)运动时，求证：运动时，求证：AECFDG；图图1 图图2(1)证明：证明：如答图如答图7，过点，过点D作作DHCF交交CF的延长线于点的延长线于点H，则，则CHD90.四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABCD，ABCD.ABECPF

20、.AEBP，CFBP，DGBP，AEBHFPDGF90CHD.答图答图7(2)如图如图2，当点，当点P在在AD上上(点点A，D除外除外)运动时，请直接写出线段运动时，请直接写出线段AE，CF，DG之间的数量关系之间的数量关系；解：解：线段线段AE，CF，DG之间的数量关系是之间的数量关系是CFAEDG.图图2【拓广探索】【拓广探索】(3)在在(1)的条件下，找出与的条件下，找出与DG相等的线段，并说明理由相等的线段，并说明理由；解：解：与与DG相等的线段是相等的线段是EF.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABBC，ABC90.AEBP，CFBP，AEBBFC90.A

21、BEBAEABECBF90.BAECBF.图图3解：解：如答图如答图8，过点，过点D作作DQCF交交CF的延长线于点的延长线于点Q.AEBP，DHCF，CFBP，DGBP，AEBCQDQFGDGF90.四边形四边形QFGD为矩为矩形形QFDG，DQFG.在矩形在矩形ABCD中，中，ABCD2BE6，BE3.答图答图8变换探究变换探究类型类型2 2等腰直角三角形等腰直角三角形 例例2题图题图1 例例2题图题图2解：解：(2)(1)中的两个结论仍然成立中的两个结论仍然成立 答图答图9训练训练4.(2020十堰十堰)如图如图1，已知，已知ABCEBD，ACBEDB90，点，点D在在AB上，连接上，连

22、接CD并延长交并延长交AE于点于点F.(1)猜想：线段猜想：线段AF与与EF的数量关系为的数量关系为_；(2)探究：若将图探究：若将图1的的EBD绕点绕点B顺时针方向旋转，当顺时针方向旋转，当CBE小于小于180时，得到图时，得到图2，连接，连接CD并延长交并延长交AE于点于点F，则，则(1)中的结论是否还中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；AFEF 第第4题图题图1 第第4题图题图2解：解：(2)(1)中的结论还成立理由如下：中的结论还成立理由如下：如答图如答图10，延长，延长DF到点到点K，并使，并使FKDC，连接，连接KE.

23、设设BD延长线延长线DM交交AE于点于点M.ABCEBD，EDAC，BDBC.CDBDCB.又又CDBMDF，MDFDCB.ACBEDB90，ACDDCBMDFFDE90.ACDFDE.答图答图10(3)拓展拓展：图：图1中，过点中，过点E作作EGCB，垂足为点，垂足为点G.当当ABC的大小的大小发生变化，其他条件不变时，若发生变化，其他条件不变时，若EBGBAE，BC6，直接写出，直接写出AB的长的长解解：AB12.第第4题图题图1 5如图如图1，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB2，BC5，BP1，MPN90，将，将MPN绕点绕点P从从PB处开始按顺时针方向旋转，处开始按顺时针方向旋转，P

24、M交边交边AB(或或AD)于点于点E，PN交边交边AD(或或CD)于点于点F.当当PN旋转至旋转至PC处时，处时，MPN的旋的旋转随即停止转随即停止(1)特殊情形：如图特殊情形：如图2，发现当，发现当PM过点过点A时，时，PN也恰好过点也恰好过点D，此时，此时ABP是否与是否与PCD相似？并说明理由相似？并说明理由 图图1 图图2解：解：(1)ABPPCD.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，BC90.BAPBPA90.MPN90，BPACPD90.BAPCPD.ABPPCD.图图3 答图答图11(3)拓展延伸：设拓展延伸：设AEt时，时，EPF的面积为的面积为S，试用含，

25、试用含t的代数式表的代数式表示示S.在旋转过程中，若在旋转过程中，若t1，求对应的，求对应的EPF的面积；的面积；在旋转过程中，当在旋转过程中，当EPF的面积为的面积为4.2时，求对应的时，求对应的t的值的值如答图如答图12，当点，当点E在在AD上时，上时，0t1，过点，过点E作作EKBP于点于点K.答图答图126【发现证明】【发现证明】(1)如图如图1，在正方形，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别是分别是BC，CD边上的动边上的动点，且点，且EAF45，求证：，求证：EFDFBE.小明发现，当把小明发现，当把ABE绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90至至ADG，使，使AB与与AD重合时能够

26、证明，请你给出证明过程重合时能够证明，请你给出证明过程 图图1(1)证明：证明：由旋转的性质可知由旋转的性质可知BAEDAG，AEAG，BEDG.在正方形在正方形ABCD中，中，BAD90，EAF45，BAEFAD45.DAGFAD45.EAFGAF.AFAF，EAFGAF(SAS)EFGFDFDG.EFDFBE.【类比引申】【类比引申】(2)如图如图2，在正方形，在正方形ABCD中，如果点中，如果点E，F分别分别是是CB，DC延长线上的动点，且延长线上的动点，且EAF45，则，则(1)中中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正

27、确的结论并说明理由立，请写出正确的结论并说明理由如图如图3，如果点，如果点E，F分别是分别是BC，CD延长线上的延长线上的动点，且动点，且EAF45，则，则EF，BE，DF之间的数量之间的数量关系是关系是_.(不要求证明不要求证明)BEEFDF 图图2 图图3解：解：不成立，正确的结论：不成立，正确的结论：EFDFBE.理由：如答图理由：如答图13，将，将ABE绕点绕点A顺时针顺时针旋转旋转90至至ADM，则则EABMAD，AEAM，EAM90，BEDM.BADBAMMAD90，BAMEABEAM90.MAF45EAF.AFAF，EAFMAF(SAS)EFMFDFDMDFBE.答图答图13命题

28、：如图命题：如图1，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABAD，CBCD，则四边形，则四边形ABCD是神奇四边形此是神奇四边形此命题是命题是_(填填“真真”或或“假假”)命题；命题；神奇四边形的中点四边形是神奇四边形的中点四边形是_；例例3定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形(1)判断：判断：在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是_；新定义探究新定义探究类型类型3 3菱形菱形 真真

29、矩形矩形 图图1 图图2(2)证明：证明：如答图如答图14，连接，连接CE，BG交于点交于点N，CE交交AB于点于点M.四边形四边形ACFG、四边形、四边形ABDE是正方形，是正方形，ABAE，AGAC，CAGBAE90.GABCAE90CAB.GABCAE(SAS)AECABG.AECAME90，BMNAME，ABGBMN90.BNM90.CEBG.四边形四边形BCGE是神奇四边形是神奇四边形 答图答图14图图3 训练训练7.【阅读理解】【阅读理解】如图如图1，在正多边形，在正多边形A1A2A3An的边的边A2A3上任取一不上任取一不与点与点A2重合的点重合的点B2，并以线段，并以线段A1B

30、2为边在线段为边在线段A1A2的上的上方作正多边形方作正多边形A1B2B3Bn，把正多边形，把正多边形A1B2B3Bn叫正叫正多边形多边形A1A2An的准位似图形，点的准位似图形，点A3称为准位似中心称为准位似中心【特例论证】【特例论证】(1)如图如图2，已知正三角形，已知正三角形A1A2A3的准位的准位似图形为正三角形似图形为正三角形A1B2B3，试，试证明：证明：随着点随着点B2的运动，的运动，B3A3A1的大小始终不变的大小始终不变 图图1 图图2(1)证明：证明：A1A2A3与与A1B2B3是正三角形，是正三角形，A1A2A1A3，A1B2A1B3，A2A1A3B2A1B3A260.A

31、2A1B2A3A1B360B2A1A3.A2A1B2A3A1B3(SAS)B3A3A1A260.B3A3A1的大小始终不变的大小始终不变【数学思考】【数学思考】(2)如图如图3，已知正方形，已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方的准位似图形为正方形形A1B2B3B4，随着点，随着点B2的运动，的运动，B3A3A4的大小是否始的大小是否始终不变？若不变，请求出终不变？若不变，请求出B3A3A4的大小；若改变，请的大小；若改变，请说明理由说明理由 图图3解解：B3A3A4的大小始终不变的大小始终不变如答图如答图15，在边，在边A1A2上取一点上取一点D，使使A1DA3B2，连接，连接B2D.

32、四边形四边形A1A2A3A4与四边形与四边形A1B2B3B4是正方形，是正方形，A1A2A2A3，A1B2B2B3，A1B2B3A1A2A3A4A3A290.答图答图15A3B2B3A1B2A290，DA1B2A1B2A290.A3B2B3DA1B2.A3B2B3DA1B2(SAS)B2A3B3A1DB2.A1A2A2A3，A1DA3B2，A2DA2B2.A1A2A390，DA2B2是等腰直角三角形是等腰直角三角形A2DB245.A1DB2135.B2A3B3135.A4A3A290，B3A3A445.【归纳猜想】【归纳猜想】(3)在图在图1的情况下：的情况下：试猜想试猜想B3A3A4的大小是

33、否会发生改变？若不改变，请用含的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的的代数式表示出代数式表示出B3A3A4的大小的大小(直接写出结果直接写出结果)；若改变，请说明理由；若改变，请说明理由B3A3A4B4A4A5B5A5A6BnAnA1_.(用含用含n的代数式表示的代数式表示)8(2020南通南通)【了解概念】【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线连接这两个角的顶点的线段称为对余线【理解运用】【理解运用】(1)如图如图1，对余四边形，对余四边形ABCD中，中，AB5，BC6，CD4，连接，连接AC.若若A

34、CAB，求，求sinCAD的的值；值；(2)如图如图2，凸四边形，凸四边形ABCD中，中，ADBD，ADBD，当，当2CD2CB2CA2时，判断四边形时，判断四边形ABCD是否为对余四边形证明你的结论是否为对余四边形证明你的结论；图图1 图图2解：解：(1)如答图如答图16，过点，过点A作作AEBC于点于点E，过，过点点C作作CFAD于点于点F，则，则AEBCFD90.答图答图16(2)结论：四边形结论：四边形ABCD是对余四边形是对余四边形证明：证明：如答图如答图17，过点，过点D作作DMDC，使得，使得DMDC，连接，连接CM，BM，则，则CDM是等腰直角三角形是等腰直角三角形DCMDMC

35、45，CDM90.在四边形在四边形ABCD中，中，ADBD，ADBD，DABDBA45，ADB90CDM.ADCBDM90BDC.答图答图17ADBD，DCDM，ADCBDM(SAS)ACBM.2CD2CB2AC2，CM2DM2CD22CD2，CM2CB2BM2.BCM90.DCB90DCM45.DABDCB90.四边形四边形ABCD是对余四边形是对余四边形9定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形(1)概念理解概念理解 在 互 补 四 边 形在 互 补 四 边 形 A B C D 中，中，A 与与 C 是 一 组 对 角，若是 一 组 对 角，若B

36、CD234，则，则A_；如图如图1，在，在ABC中，点中，点D，E分别在边分别在边AB，BC上，且上，且BEBCABBD，求证：四边形，求证：四边形ADEC是互补四边形是互补四边形90 图图1 图图2 图图3(3)解：解：如答图如答图18，作，作BFHC于点于点F，AGHD交交HD的延长线于的延长线于点点G，则，则AGDBFC90.答图答图18例例4【问题情境】【问题情境】(1)我们曾经研究过这样的问题：已知正方形我们曾经研究过这样的问题：已知正方形ABCD，点，点E在在CD的的延长线上，以延长线上，以CE为一边构造正方形为一边构造正方形CEFG，连接，连接BE和和DG，如图，如图1所所示，则

37、示，则DG和和BE的数量关系为的数量关系为_，位置关系为，位置关系为_.操作探究操作探究类型类型4 4DGBE DGBE 图图1【继续探究】【继续探究】(2)若正方形若正方形ABCD的边长为的边长为4，点，点E是是AD边上边上的一个动点，以的一个动点，以CE为一边在为一边在CE的右侧作正方形的右侧作正方形CEFG，连接，连接DG，BE，如图，如图2所示，所示，请判断线段请判断线段DG与与BE有怎样的数量关系和位有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；置关系，并说明理由；连接连接BG，若，若AE1，求线段，求线段BG的长爱动的长爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作

38、作GHBC，如图如图3，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程求解过程 图图2 图图3解：解：(2)结论：结论：DGBE，DGBE.理由：如答图理由：如答图19，延长，延长BE，GD交于点交于点H.四边形四边形ABCD、四边形、四边形CEFG是正方形是正方形，BCDC，BCDECG90，CECG.BCEDCG90ECD.BCEDCG(SAS)EBCGDC，BEDG.CDGCDH180，EBCCDH180.EBCBCDCDHDHE360，DHE90.DGBE.答图答图19【拓展提升】【拓展提升】(3)在在(2)的条件下，点的条件下，点E在在AD边上运动

39、时，利用边上运动时，利用图图2，求，求BGBE的最小值的最小值 图图2答图答图20 训练训练10.综合与实践综合与实践【问题情境】【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三等腰三角形的剪拼角形的剪拼”为主题开展数学活动如图为主题开展数学活动如图1，在，在ABC中，中，ABAC10 cm，BC16 cm.将将ABC沿沿BC边上的中线边上的中线AD剪开，得到剪开，得到ABD和和ACD.【操作发现】【操作发现】(1)乐学小组将图乐学小组将图1中的中的ACD以点以点D为旋转中为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得心，按逆时针方向旋转，使得ACAD，得到，得到图图2

40、，AC与与AB交于点交于点E，则四边形，则四边形BECD的形的形状是状是_.菱形菱形 图图1 图图2(2)缜密小组将图缜密小组将图1中的中的ACD沿沿DB方向平移，方向平移，AD与与AB交于点交于点M，AC与与AD交于点交于点N，连接，连接MN，得到图，得到图3，判断四边形，判断四边形MNDD的形状，并说明理由的形状，并说明理由 图图3解：解：(2)四边形四边形MNDD是矩形理由如下：是矩形理由如下：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BC，BDCD，ADBADC90.BDCD，BC，MDBNDC.MDBNDC(ASA)MDND.ACD沿沿DB方向平移，方向平移，MDDN.四边形四边

41、形MNDD是平行四边形是平行四边形DDM90，四边形四边形MNDD是矩形是矩形 图图1【实践探究】【实践探究】(3)缜密小组又发现，当图缜密小组又发现，当图3中的线段中的线段DD的长为的长为a cm时，四边形时，四边形MNDD会成为正方形，求会成为正方形，求a的值的值 图图3(4)创新小组又把图创新小组又把图1中的中的ACD放到如图放到如图4所示的位置，点所示的位置，点A的对应的对应点点A与点与点D重合，点重合，点D的对应点的对应点D在在BD的延长线上，再将的延长线上，再将ACD绕点绕点D逆时针旋转到如图逆时针旋转到如图5所示的位置，所示的位置，DD交交AB于点于点P，DC交交AB于点于点Q，

42、DPDQ，此时线段，此时线段AP的长是的长是_cm.图图4 图图5 第第10题图题图 11综合与探究综合与探究【问题情境】【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们利用含在综合与实践课上，老师让同学们利用含30角的角的直角三角板和一张正方形纸片进行探究活动直角三角板和一张正方形纸片进行探究活动如图如图1，把正方形，把正方形ABCD的顶点的顶点A放在放在RtEFG斜边斜边EG的中点处，正方形的边的中点处，正方形的边AB经过直角顶点经过直角顶点F，正方形，正方形的边的边AD与直角边与直角边FG交于点交于点Q.【探究发现】【探究发现】(1)创新小组发现线段创新小组发现线段EF，GQ及及FQ之间的数量

43、关之间的数量关系系为为EF2GQ2FQ2.请加以证明请加以证明；图图1(1)证明：证明：AF是是RtEFG斜边的中线，斜边的中线，AFAEAG.QFAG30.E90G60，AFE为等边三角形为等边三角形EFAF，FAE60.GAQ180DABFAE30G.QAQG.在在RtAQF中，中，FQ2AF2AQ2EF2GQ2.【引申探究】【引申探究】(2)如图如图2，勤奋小组把正方形，勤奋小组把正方形ABCD绕点绕点A逆时针旋转，边逆时针旋转，边AB与边与边EF交于点交于点P且不与点且不与点E，F重合，把直角三角形的两直角边分成四条线重合，把直角三角形的两直角边分成四条线段段EP，PF，FQ，GQ，发

44、现这四条线段之间的数量关系是，发现这四条线段之间的数量关系是EP2GQ2FQ2FP2，请加以证明，请加以证明；图图2(2)证明：证明：如答图如答图21，延长，延长QA到点到点H使使AHAQ，连接，连接EH，PQ，PH，点点A是是GE的中点，的中点，AGAE.又又AQAH，GAQEAH，GAQEAH(SAS)GQEH，AEHG.又又GGEF90，HEPAEHGEFGGEF90.答图答图21DAB90，AQAH，PA是是QH的中垂线的中垂线PHPQ.在在RtPHE中，中，PH2PE2HE2PE2GQ2，在在RtPQF中，中，PQ2FQ2FP2，PE2GQ2FQ2FP2.【探究拓广】【探究拓广】(3

45、)奇艺小组的同学受勤奋小组同学的启发继续奇艺小组的同学受勤奋小组同学的启发继续把正方形把正方形ABCD绕着点绕着点A逆时针旋转，边逆时针旋转，边BA和和DA的的延长线与两直角边仍交于延长线与两直角边仍交于P，Q两点，按题意完善两点，按题意完善图图3，并直接写出，并直接写出EP，FP，FQ，GQ之间的数量之间的数量关关系系解：解：完善后的图形如答图完善后的图形如答图22所示，所示，EP，FP，FQ，GQ之间的数量关系为之间的数量关系为EP2GQ2FQ2FP2.图图3 答图答图2212(2020齐齐哈尔齐齐哈尔)综合与实践综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技在线上教学

46、中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验积累了数学活动经验实践发现：实践发现：对折矩形纸片对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折重合，得到折痕痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上的点上的点N处，并使折痕经过点处，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，把纸片展平，连接把纸片展平，连

47、接AN，如图，如图1.图图1(1)折痕折痕BM_(填填“是是”或或“不是不是”)线段线段AN的垂直平分线；请的垂直平分线；请判断图中判断图中ABN是什么特殊三角形？是什么特殊三角形？答：答：_；进一步计；进一步计算出算出MNE_.(2)继续折叠纸片，使点继续折叠纸片，使点A落在落在BC边上的点边上的点H处，并使折痕经过点处，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BG，把纸片展平，如图，把纸片展平，如图2，则，则GBN_.是是 等边三角形等边三角形 60 15 图图2拓展延伸：拓展延伸：(3)如图如图3，折叠矩形纸片，折叠矩形纸片ABCD，使点，使点A落在落在BC边上的点边上的点A处，处，并且折痕

48、交并且折痕交BC边于点边于点T，交，交AD边于点边于点S，把纸片展平，连接，把纸片展平，连接AA交交ST于点于点O，连接，连接AT.求证：四边形求证：四边形SATA是菱形是菱形 图图3(3)证明：证明：折叠矩形纸片折叠矩形纸片ABCD，使点，使点A落在落在BC边上的点边上的点A处，处，ST垂直平分垂直平分AA，AOAO，AAST，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，SAOTAO，ASOATO，ASOATO(AAS)SOTO.四边形四边形SATA是平行四边形是平行四边形又又AAST，四边形四边形SATA是菱形是菱形解决问题：解决问题：(4)如图如图4，矩形纸片，矩形纸片ABCD中，中，

49、AB10，AD26，折叠纸片，使，折叠纸片，使点点A落在落在BC边上的点边上的点A处，并且折痕交处，并且折痕交AB边于点边于点T，交，交AD边于点边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有的长度有4,5,7,9.请写出请写出以上以上4个数值中你认为正确的数值个数值中你认为正确的数值_.7,9 图图4 例例5(2020深圳改编深圳改编)背景：一次小组合作探究课背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放所示的位置摆放(点点E，A，D在同一条直线上在同一条直线上)，发现，发现BEDG且且BEDG.小

50、组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：答：(1)将正方形将正方形AEFG绕点绕点A按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转(如图如图2)，还能得到，还能得到BEDG吗？若能，请给出证明；若不吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由能，请说明理由；形状变化探究形状变化探究类型类型5 5 图图1 图图2解：解：(1)能得到能得到BEDG.证明：证明：四边形四边形AEFG为正方形，为正方形，AEAG，EAG90.又四边形又四边形ABCD为正方形，为正方形，ABAD，BAD90.EABGAD90BAG.AEBAGD(SAS)BEDG.(2)把背景中的正方形分别改