2021年湖南省中考数学专题复习ppt课件：专题突破4　与圆有关的计算和证明.pptx

1、类型一圆中求弧长、面积图Z4-1图Z4-1解:(1)直线l是斜边AB的垂直平分线,OCAB,AC=CB,OA=OB,A=OBA,又在O中,OD=OC,且ODB=90,BO平分ABD,即有OBA=OBD,RtABD中,A=OBA=OBD=30,AOB中,AOB=180-A-OBA=120.图Z4-1图Z4-1 题型精练图Z4-2解:(1)证明:连接OD,如图所示.ADOC,COD=ADO,COB=DAO,OA=OD,ADO=DAO,COD=COB.图Z4-22.2019衡阳如图Z4-3,点A,B,C在半径为8的O上.过点B作BDAC,交OA延长线于点D,连接BC,且BCA=OAC=30.(1)求

2、证:BD是O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.图Z4-3解:(1)证明:如图,连接OB交AC于E,BCA=30,AOB=60.在AOE中,又OAC=30,OEA=90,OBAC.BDAC,OBBD.OB为O的半径,BD为O的切线.2.2019衡阳如图Z4-3,点A,B,C在半径为8的O上.过点B作BDAC,交OA延长线于点D,连接BC,且BCA=OAC=30.(2)求图中阴影部分的面积.图Z4-3类型二圆中证线段关系例2 2019湘西州改编如图Z4-4,ABC内接于O,CD平分ACB,与AB,O分别交于点G,D,过点D作EFAB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(1)求证:EF

3、是O的切线;(2)若AC=4BF,求证:BD=2BF;(3)如图,ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DGDC.图Z4-4(2)若AC=4BF,求证:BD=2BF;图Z4-4(3)如图,ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DGDC.图Z4-4【方法点析】圆中证线段的等量关系,可以从圆心角(圆周角,弧)相等的角度入手证明,当然也可以找全等三角形,如果是证明倍数关系,或者乘积关系,常常找包含对应边的相似三角形,或者进行一些边的等价代换后再证明三角形相似.题型精练1.如图Z4-5,已知AB是O的直径,点C是半径OA上一动点(点C与点O,A不重合),过点C作AB的垂线交O于点D,连接OD,

4、过点B作BFOD交O于点E,交射线CD于点F.求证:BE=2OC.图Z4-52.如图Z4-6,在O中,弦ACBD,垂足为E,连接AB,CD.(1)如图,点M是弦AB中点,连接ME并延长交CD于N,求证:MNCD;(2)如图,CF是O的直径,连接DF,BC,求证:AB=DF.图Z4-62.如图Z4-6,在O中,弦ACBD,垂足为E,连接AB,CD.(2)如图,CF是O的直径,连接DF,BC,求证:AB=DF.图Z4-63.2020怀化如图Z4-7,在O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且D=30.(1)求证:CD是O的切线;(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足

5、分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AEBF.图Z4-73.2020怀化如图Z4-7,在O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且D=30.(1)求证:CD是O的切线;图Z4-7证明:(1)连接OC,如图所示,CA=CD,且D=30,CAD=D=30,OA=OC,CAD=ACO=30,COD=CAD+ACO=30+30=60,OCD=180-D-COD=180-30-60=90,OCCD,又OC为O的半径,CD是O的切线.(2)分别过A,B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E,F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AEBF.图Z

6、4-7证明:(2)由(1)知COB=60,又OC=OB,OCB为等边三角形,CBG=60,又CGAD,CGB=90,GCB=90-CBG=30,又GCD=60,CB是GCD的平分线,BFCD,BGCG,BF=BG,类型三圆中求线段的长或积与比例3 2018湘潭改编如图Z4-8已知AB是O的直径,半径COAO,点M是O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)若O的半径为10.(i)如图,点M在弧AC上,直线AM交OC延长线于点D,连接OM,当AOM=60时,求DM的长.(ii)如图,点M在弧CB上,线段AM交OC于点D,求ADAM的值.图Z4-8图Z4-8例3 2018湘潭改编如图Z4-8已知A

7、B是O的直径,半径COAO,点M是O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)若O的半径为10.(i)如图,点M在弧AC上,直线AM交OC延长线于点D,连接OM,当AOM=60时,求DM的长.图Z4-8解:(1)(i)当AOM=60时,O中OM=OA,AMO是等边三角形,OAM=MOA=60,又OCAB,MOD=90-MOA=30,D=90-A=30,DM=OM=10.例3 2018湘潭改编如图Z4-8已知AB是O的直径,半径COAO,点M是O上的动点,且不与点A,C,B重合.(1)若O的半径为10.(ii)如图,点M在弧CB上,线段AM交OC于点D,求ADAM的值.图Z4-8(2)如图,点M在

8、AB下方的圆弧上运动,连接CM交直径AB于点F,连接AM,BM,CB.(iii)当点F在半径OB上,且OF OB=1 3时,求cosMCB的值.(2)如图,点M在AB下方的圆弧上运动,连接CM交直径AB于点F,连接AM,BM,CB.【方法点析】圆中求线段的长,一般找线段所在直角三角形利用勾股定理,或者相似三角形利用边成比例列方程(也可用锐角三角函数替代);圆中求线段的积或比,可以采用分别求长,或者借助相似三角形或者锐角三角函数,进行整体求积或比.题型精练1.2020衡阳如图Z4-9,在ABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,O交AB于点E,交AC于

9、点F.(1)判断BC与O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.图Z4-9解:(1)BC与O相切.理由:连接OD.OA=OD,OAD=ODA,AD平分BAC,OAD=DAC,ODA=DAC,ODAC,ODB=C=90,ODBC,OD是O的半径,BC与O相切.1.2020衡阳如图Z4-9,在ABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,O交AB于点E,交AC于点F.(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.图Z4-9图Z4-10图Z4-10 图Z4-11 图Z4-11解:(1)证明:PA切O于点A,AC是O的直径,PAO=CDA=

10、90.CDPB,CEP=90,CEP=CDA=PAO,PBAD,POA=CAD,APODCA.图Z4-11解:(2)如图,连接OD,(i)AD=AO,OD=AO,OAD是等边三角形,OAD=60.PBAD,POA=OAD=60.PAO=90,P=90-POA=90-60=30.图Z4-11解:(2)(ii)存在.如图,过点B作BQAC交O于Q,连接PQ,BC,CQ,由(i)得:POA=60,PAO=90,BOC=POA=60,AOB=120,OB=OC,BOC为等边三角形,ACB=60,综合提升训练1.2019娄底如图Z4-12,点D在以AB为直径的O上,AD平分BAC,DCAC,过点B作O的

11、切线交AD的延长线于点E.(1)求证:直线CD是O的切线;(2)求证:CDBE=ADDE.图Z4-12证明:(1)如图,连接OD,在O中,OA=OD,OAD=ODA.又AD平分BAC,OAD=CAD,ODA=CAD.DCAC,ADC+CAD=90,ADC+ADO=90,ODC=90,即ODCD,直线CD是O的切线.1.2019娄底如图Z4-12,点D在以AB为直径的O上,AD平分BAC,DCAC,过点B作O的切线交AD的延长线于点E.(2)求证:CDBE=ADDE.图Z4-12图Z4-13解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G.OA=OD,OAD=ODA.AD平分EAB,OAD=DAE,DAE=ODA,ODAE.DEAE,ODEF,EF是O的切线.图Z4-13解:(2)AB为O的直径,ACB=90,BCEF.又ODAE,四边形CEDG是平行四边形.DEAE,E=90,图Z4-14图Z4-14解:(1)证明:连接OC,如图,AB是O的直径,ACB=90,A+B=90,OC=OB,B=OCB,BCM=A,OCB+BCM=90,即OCM=90,OCMN,又OC为O的半径,MN是O的切线.