2020年广西柳州中考数学复习ppt课件：专题突破 (3份打包).zip

柳州专版新课标（RJ）第三篇专题突破专题突破（一）选择填空压轴题类型一新定义与阅读理解型问题例例12019柳州定义:形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数,i为虚数单位,规定i2=-1),a称为复数的实部,b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算,运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)2=12+213i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i,因此,(1+3i)2的实部是-8,虚部是6.已知复数(3-mi)2的虚部是12,则实部是()A.-6B.6C.5D.-5C解析(3-mi)2=32-23mi+(mi)2=9-6mi+m2i2=9-m2-6mi,复数(3-mi)2的实部是9-m2,虚部是-6m,-6m=12,m=-2,9-m2=9-(-2)2=9-4=5.故选C.【方法点析方法点析】“新定义型问题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情境的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.例例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+29=;(2)3+32+310=;(3)求1+a+a2+an的和(a0,n是正整数,请写出计算过程).解解:(1)210-1解析令S=1+2+22+29,则2S=2+22+210,-得,2S-S=S=210-1.例例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(2)3+32+310=;例例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(3)求1+a+a2+an的和(a0,n是正整数,请写出计算过程).【方法点析方法点析】解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.题型精练1.2018潍坊在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图Z1-1,在平面上取定一点O称为极点;从点O出发引一条射线Ox称为极轴;线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即P(3,60)或P(3,-300)或P(3,420)等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是()A.Q(3,240)B.Q(3,-120)C.Q(3,600)D.Q(3,-500)图Z1-1D图Z1-2D64.2019白银定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,A=80,则它的特征值k=.16.2018聊城若x为实数,则x表示不大于x的最大整数,例如1.6=1,=3,-2.82=-3等.x+1是大于x的最小整数,对任意的实数x都满足不等式xx0;方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;2a+b=0;当x0时,y随x的增大而减小.图Z1-19【方法点析方法点析】对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0时,抛物线开口向上;当a0)时,对称轴在y轴左边;当a与b异号(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac0;a-b+c0;ax2+bx+c+1=0有两个相等的实数根;-4ab0;a-b+c=0;一元二次方程ax2+bx+c+2=0(a0)有两个不相等的实数根;当x3时,y0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)图Z1-21解析由图可知,对称轴x=1,与x轴的一个交点为(3,0),b=-2a,与x轴另一个交点为(-1,0),a0,b0时,x3正确.故答案为.4.2019贵港我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a0,b2-4ac0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图Z1-22所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值的增大而增大;当x=-1或x=3时,函数取得最小值0;当x=1时,函数取得最大值4.其中正确结论的个数是.图Z1-224解析(-1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2-2x-3|,是正确的;从图象可知图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,因此也是正确的;根据函数的图象和性质,发现当-1x1或x3时,函数值y随x值的增大而增大,因此也是正确的;函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=-1或x=3,因此也是正确的;从图象上看,当x3时,函数值要大于当x=1时的y=|x2-2x-3|=4,因此是不正确的.故答案是:4.5.2019贺州已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图Z1-23所示,下列说法中:abc0;a-b+c0;3a+c=0;当-1x0,正确的是(填写序号).图Z1-23图Z1-247.2018新疆如图Z1-25,已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为y1和y2,若y1y2,取y1和y2中较小值为M;若y1=y2,记M=y1=y2.当x2时,M=y2;当x0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足BPC=90,则a的最大值是.6 6图Z1-529.如图Z1-53,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为.图Z1-53类型七几何中的计算问题例例11 如图Z1-54,已知正方形DEFG的顶点D,E在ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是.图Z1-54【方法点析方法点析】求线段长度主要手段有四种:勾股定理、相似、三角函数、面积法.其中勾股定理、三角函数、面积法都必须有直角,所以在求线段长度时,往往先考虑将所求线段放到直角三角形中.题型精练B图Z1-55B图Z1-56解析将ABF绕点B顺时针旋转90得CBF,则CBF=ABF,BF=BF.EBF=45,EBF=CBE+CBF=CBE+ABF=90-45=45=EBF.又BE=BE,BEFBEF,EF=EF=5.CE=2,CF=3,AF=3.设正方形ABCD的边长为x,则DE=x-2,DF=x-3.在RtDEF中,DE2+DF2=EF2,(x-2)2+(x-3)2=52,解得x1=6,x2=-1(舍去).正方形ABCD的边长为6.A图Z1-57B图Z1-58A图Z1-596.2019山西模拟如图Z1-60,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=6,点D是AC边上的一点,且AD=2,以AD为直角边作等腰直角三角形ADE,连接BE并取BE的中点F,连接CF,则CF的长为.图Z1-607.2018绵阳如图Z1-61,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=.图Z1-61图Z1-629.2019泸州如图Z1-63,在等腰RtABC中,ACB=90,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CDAE,垂足为F,则AD的长为.图Z1-63柳州专版新课标（RJ）第三篇专题突破专题突破（二）圆的综合问题类型一证明角度的关系或求角度例例1 如图Z2-1,已知ABC的外接圆为O,BC是O的直径,过点A作圆的切线,交BC延长线于点D.(1)求证:ACDBAD;(2)若AB=AD,求D的度数.解解:(1)连接OA,BC是O的直径,AD为O的切线,BAC=OAD=90,BAO=CAD,ABO=BAO=CAD,又CDA=ADB,ACDBAD.图Z2-1例例1 如图Z2-1,已知ABC的外接圆为O,BC是O的直径,过点A作圆的切线,交BC延长线于点D.(2)若AB=AD,求D的度数.图Z2-1(2)AD为O的切线,ADB+AOD=90,2ABD+ADB=90,AB=AD,ADB=ABD,D=30.题型精练1.如图Z2-2,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,ABC的平分线交AD于点E.求证:DE=DB.图Z2-2解解:AD平分BAC,BE平分ABC,BAD=CAD,ABE=CBE,又BED=ABE+BAD,DBE=DBC+CBE,DBC=DAC,BED=DBE.DE=DB.图Z2-3图Z2-33.2019聊城如图Z2-4,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(1)求证:EC=ED;(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.图Z2-4【思路分析】(1)连接OC,根据等边(OA=OC)对等角,同角或等角的余角相等,得到相等的角(CDE=ACE),进而在CDE中,利用等角对等边得到EC=ED.(2)由AB是直径得到RtABC,易得其与AOD相似,只要求出AD的长,即可通过比例式求得AC.若要求AD,需先求出OD.因为OD=OE-DE,CE=DE,所以从RtDCF入手求解.解解:(1)证明:连接OC.CE与O相切,OC是O的半径,OCCE,OCA+ACE=90.OA=OC,A=OCA,ACE+A=90.ODAB,ODA+A=90.ODA=CDE,CDE+A=90,CDE=ACE,EC=ED.3.2019聊城如图Z2-4,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.图Z2-4类型二运用勾股定理、三角函数计算线段长度例例2 2019甘肃如图Z2-5,在RtABC中,C=90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:A=ADE;(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图Z2-5解解:(1)证明:连接OD,DE是切线,ODE=90,ADE+BDO=90,ACB=90,A+B=90,OD=OB,B=BDO,ADE=A.例例2 2019甘肃如图Z2-5,在RtABC中,C=90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图Z2-5题型精练图Z2-6图Z2-6图Z2-7解解:(1)证明:如图,连接OF,四边形ABCD是矩形,ADC=90,CAD+DCA=90,EC=EF,DCA=EFC,OA=OF,CAD=OFA,EFC+OFA=90,EFO=90,EFOF,OF是半径,EF是O的切线.图Z2-7图Z2-8解解:(1)证明:BCAE,ACB=EAC,ACB=BAD,EAC=BAD,EAD=CAB,ADE+ADC=180,ADC+ABC=180,ADE=ABC,EAD+ADE+E=180,BAC+ABC+ACB=180,E=ACB=EAC,CE=CA.图Z2-8解解:(1)证明:连接AE,AB为直径,AEB=90,AEBC.AB=AC,BE=EC,BAE=CAE.BAC=2CBF,BAE=CBF.BAE+ABE=90,CBF+ABE=90,ABBF,BF是O的切线.图Z2-9图Z2-9图Z2-10解解:(1)证明:D是弦AC中点,ODAC,PD是AC的中垂线,PA=PC,PAC=PCA.AB是O的直径,ACB=90,CAB+CBA=90.又PCA=ABC,PCA+CAB=90,CAB+PAC=90,即ABPA,PA是O的切线.图Z2-10图Z2-10类型三运用相似计算线段长度或证明线段间的关系式例例3 如图Z2-11,ABC内接于O,CD平分ACB,与AB,O分别交于点G,D,过点D作EFAB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(1)求证:EF是O的切线;图Z2-11例例3 如图Z2-11,ABC内接于O,CD平分ACB,与AB,O分别交于点G,D,过点D作EFAB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(2)如图Z2-12,若AC=BC,求证:BD2=ACBF;图Z2-11图Z2-12例例3 如图Z2-11,ABC内接于O,CD平分ACB,与AB,O分别交于点G,D,过点D作EFAB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(3)变式1:如图Z2-13,若ACBC,CG=3GD,求证:CE=2ED;图Z2-11图Z2-13例例3 如图Z2-11,ABC内接于O,CD平分ACB,与AB,O分别交于点G,D,过点D作EFAB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(4)变式2:如图Z2-14,ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DGDC.图Z2-11图Z2-14题型精练1.2019娄底如图Z2-15,点D在以AB为直径的O上,AD平分BAC,DCAC,过点B作O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证:直线CD是O的切线;(2)求证:CDBE=ADDE.图Z2-15证明证明:(1)如图,连接OD,在O中,OA=OD,OAD=ODA.又AD平分BAC,OAD=CAD,ODA=CAD.DCAC,ADC+CAD=90,ADC+ADO=90,ODC=90,即ODCD,直线CD是O的切线.1.2019娄底如图Z2-15,点D在以AB为直径的O上,AD平分BAC,DCAC,过点B作O的切线交AD的延长线于点E.(2)求证:CDBE=ADDE.图Z2-152.2019益阳如图Z2-16,在RtABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD,CD,CD交O于点E.(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;(2)求证:ND=NE;(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.图Z2-16解解:(1)四边形AMCD是菱形,理由如下:M是RtABC中AB的中点,CM=AM.CM为O的直径,CNM=90,MDAC,AN=CN.又ND=MN,四边形AMCD是菱形.2.2019益阳如图Z2-16,在RtABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD,CD,CD交O于点E.(2)求证:ND=NE;图Z2-16(2)证明:四边形CENM为O的内接四边形,CEN+CMN=180.又CEN+DEN=180,CMN=DEN.四边形AMCD是菱形,CD=CM,CDM=CMN.DEN=CDM,ND=NE.2.2019益阳如图Z2-16,在RtABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD,CD,CD交O于点E.(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.图Z2-163.2019桂林如图Z2-17,BM是以AB为直径的O的切线,B为切点,BC平分ABM,弦CD交AB于点E,DE=OE.(1)求证:ACB是等腰直角三角形;(2)求证:OA2=OEDC:(3)求tanACD的值.图Z2-173.2019桂林如图Z2-17,BM是以AB为直径的O的切线,B为切点,BC平分ABM,弦CD交AB于点E,DE=OE.(2)求证:OA2=OEDC:图Z2-173.2019桂林如图Z2-17,BM是以AB为直径的O的切线,B为切点,BC平分ABM,弦CD交AB于点E,DE=OE.(3)求tanACD的值.图Z2-17图Z2-18解解:(1)证明:AD是O的切线,DAB=90.AB是O的直径,ACB=90,即ACD=90.DAB=DCA.又ADC=BDA,DACDBA.图Z2-18图Z2-18图Z2-19图Z2-19(2)(法一)如图,过点O作OFAE,垂足为F.由垂径定理知OF平分AOE.PCE=EOF.PAEPEC,PEA=PCE.EOF=PEA.PEO=OEF+PEA=OEF+EOF=90.PE为O的切线.图Z2-19(法二)如图,延长EO,交O于点F,连接AF.则EAF=90.PAEPEC,PEA=PCE.又F=PCE,F=PEA.PEO=FEA+PEA=FEA+F=90.PE为O的切线.图Z2-196.2015柳州如图Z2-20,已知四边形ABCD是平行四边形,AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A,边CD与O相交于点E,连接AE,BE.(1)求证:AB=AC;(2)若过点A作AHBE于点H,求证:BH=CE+EH.图Z2-20证明证明:(1)易证ABE=DAE.又EAC=EBC,DAC=ABC.ADBC,DAC=ACB,ABC=ACB,AB=AC.6.2015柳州如图Z2-20,已知四边形ABCD是平行四边形,AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A,边CD与O相交于点E,连接AE,BE.(2)若过点A作AHBE于点H,求证:BH=CE+EH.图Z2-20图Z2-21图Z2-21图Z2-21柳州专版新课标（RJ）第三篇专题突破专题突破（三）二次函数与几何图形的综合类型一与线段、周长有关的问题二次函数背景下的线段、周长的最值问题是常考题型,此类问题主要有两种形式:(1)平行于坐标轴的线段的最值问题:求解此类问题通常先用线段两端点的横坐标(或纵坐标)的差表示出线段长的函数关系式,然后运用二次函数性质求最值;(2)“将军饮马”型问题或其变形问题:此类问题一般是已知两个定点和一条定直线,然后在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小.其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线解析式及直线交点坐标,计算最小值或点的坐标.例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(2)若抛物线与y轴交于点D(0,3),求此抛物线的解析式.(2)A(-1,0),B(-3,0)在抛物线上,设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x+1),点D(0,3)在抛物线上,3=3a,解得a=1,抛物线的解析式为y=x2+4x+3.例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(3)若第二象限内的点E在(2)中的抛物线上,到x轴,y轴的距离比为52,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标.图Z3-1例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(4)在y轴上是否存在点M,使MA+ME的和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z3-1例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(5)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z3-1例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(6)在y轴上是否存在一点S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.图Z3-1例例1 2018天水改编已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(7)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.求d关于h的函数关系式;求d的最大值及此时H点的坐标.图Z3-1题型精练1.2018自贡如图Z3-2,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(1)求直线AD及抛物线的解析式.(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?图Z3-21.2018自贡如图Z3-2,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?图Z3-2图Z3-3图Z3-33.2019深圳如图Z3-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)如图,点D,E为直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值;(3)如图,点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标.图Z3-43.2019深圳如图Z3-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(2)如图,点D,E为直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值;图Z3-43.2019深圳如图Z3-4所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(3)如图,点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标.图Z3-4图Z3-5图Z3-5图Z3-5图Z3-6图Z3-6图Z3-6图Z3-7解解:(1)直线y=x-3,令x=0,则y=-3,令y=0,则x=3,故点A,C的坐标分别为(3,0),(0,-3),则抛物线的表达式为y=a(x-3)(x-1)=a(x2-4x+3),则3a=-3,解得a=-1,故抛物线的表达式为y=-x2+4x-3.图Z3-7图Z3-7类型二与面积的结合问题二次函数与面积的结合问题一般涉及求三角形、四边形的面积,求四边形的面积一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差.求三角形的面积时,若三角形有一边在坐标轴上,则以此边为底边,过其对应顶点作底边垂线,利用三角形面积公式求得面积;若三角形的三边均不在坐标轴上,则一般过一个顶点作平行于坐标轴的直线,利用铅锤法求面积.如图Z3-8,如果是面积的倍数关系,一般需要用等积变形来解决,即过三角形的一个顶点作它对边的平行线或从图形中寻找出这样的直线,利用等底同高来进行等积变形,从而实现三角形顶点的转移;如果过某个顶点的线段平分三角形的面积,则该线段一定过该顶点对边的中点.图Z3-8例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(2)在抛物线上存在点M,使得MAB的面积与ABC的面积相等,求点M的坐标;图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(3)连接CD,AC,BD,求四边形ACDB和CBD的面积;图Z3-9图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(4)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使NBC的面积为1;图Z3-9图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(5)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使PBC的面积最大;图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(6)点E是直线BC上方的抛物线上一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,求BEF的面积被直线CB平分时点E的坐标;图Z3-9图Z3-9例例2 2018日照改编如图Z3-9,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(7)点R是直线BC上方的抛物线上一点,过点R作x轴的垂线,垂足为S,试确定点R的位置,使BSR的面积被直线CB分为12的两部分.图Z3-9图Z3-9题型精练图Z3-10图Z3-102.2018菏泽如图Z3-11,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.图Z3-112.2018菏泽如图Z3-11,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积;图Z3-112.2018菏泽如图Z3-11,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.图Z3-113.2019常州如图Z3-12,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(1)b=.(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且SPQB=2SQRB,求点P的坐标.图Z3-122解析二次函数y=-x2+bx+3的图象过点A(-1,0),0=-(-1)2-b+3.b=2.故填2.3.2019常州如图Z3-12,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z3-123.2019常州如图Z3-12,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且SPQB=2SQRB,求点P的坐标.图Z3-12类型三与三角形的结合问题二次函数与三角形考查最多的考点主要是直角三角形、等腰三角形及相似三角形的存在性问题.1.求解直角三角形的存在性问题的常用方法有两种:(1)代数法:设出一个点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2,分三种情况:AB2=BC2+CA2;BC2=CA2+AB2;CA2=AB2+BC2,根据不同的情况建立方程求解.(2)几何法:把A=90或B=90或C=90转化为相似三角形对应边成比例建立方程求解.2.求解等腰三角形的存在性问题有两种方法:(1)代数法:适用于三角形的边长容易由勾股定理求解的情况.步骤如下:根据点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2;根据等腰三角形的性质,可得到三个方程:AB2=BC2,BC2=CA2,CA2=AB2;分别解这三个方程,若方程有解,则这个解即为所求;若方程无解,则不存在这样的三角形.(2)几何法(两圆一线法):利用数形结合,先找点,再计算.已知线段AB,在平面内找一线,使得ABC为等腰三角形,满足条件的点C在如图Z3-13所示的以点A,B为圆心,以线段AB长为半径的圆上(除圆上与AB在一条直线上的两点),或在线段AB的垂直平分线上.图Z3-13例例3 2017攀枝花改编如图Z3-14,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:CFE是等腰直角三角形.图Z3-14图Z3-14例例3 2017攀枝花改编如图Z3-14,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:CFE是等腰直角三角形.图Z3-14图Z3-14(2)证明:由题意OB=OC,OCB=45,F,E在直线y=x+m上,CFE=45,CEF=90,即在CFE中,BCO=CFE=45,CFE为等腰直角三角形.例例3 2017攀枝花改编如图Z3-14,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(3)在第(2)问的条件下求PE+EF的最大值.图Z3-14图Z3-14【分层分析分层分析】方法1:(代数法)过P作PGCF交CB于点G,易知CFE和GPE均为等腰直角三角形,设xP=t,线段EF,PE的长用含t的代数式表示,利用二次函数求最值.例例3 2017攀枝花改编如图Z3-14,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(4)点D为抛物线对称轴上一点.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.图Z3-14图Z3-14题型精练1.2019宜宾已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是()A.存在实数k,使得ABC为等腰三角形B.存在实数k,使得ABC的内角中有两角分别为30和60C.存在任意实数k,使得ABC为直角三角形D.存在实数k,使得ABC为等边三角形D解析如图,可以得ABC为等腰三角形,选项A正确;如图,ACB=30,ABC=60,可以得ABC的内角中有两角分别为30和60,选项B正确;如图和,BAC=90,可以得ABC为直角三角形,选项C正确;不存在实数k,使得ABC为等边三角形,选项D不正确.故选D.2.2019盐城节选如图Z3-15所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB与x轴交于C点,其中k0.(1)求A,B两点的横坐标;(2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值.图Z3-15【思路分析】(1)求交点坐标,只需联立成方程组求解即可;2.2019盐城节选如图Z3-15所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB与x轴交于C点,其中k0.(2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值.图Z3-15【思路分析】(1)求交点坐标,只需联立成方程组求解即可;图Z3-16图Z3-16图Z3-16类型四与四边形的结合问题此类问题以探究特殊四边形的存在性问题为主,求解平行四边形的存在性问题的具体方法如下:题型3个定点+1个动点2个定点+2个动点图例点A,M,N为定点,D为动点点A,C为两个定点,另两个动点中一个点在x轴上,另一个点在抛物线上（续表）原理 平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分(中心对称性)思路分类讨论:根据已知两点构成的线段为边或为对角线分两大类,分别求解.两点构成的线段为边时,可以利用平行四边形对边平行且相等,画出符合题意的图形;两点构成的线段为对角线时,则该线段的中点为平行四边形对角线的交点,结合抛物线的对称性,画出符合题意的图形.根据以上分类画出所有符合条件的图形后,可以利用平行四边形的性质进行计算,也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析,有时也可以利用直线的解析式联立方程组,由方程组的解为交点坐标的方法求解特例若不要求写求解过程,则可采用平移法求解:根据已知两点间横纵坐标的距离关系,得待定两点间也有同样的数量关系,据此得出动点位置或坐标图Z3-17图Z3-17题型精练1.2018衡阳改编如图Z3-18,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D.若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.(1)求点M,N的坐标.(2)是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由.图Z3-181.2018衡阳改编如图Z3-18,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D.若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.(2)是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由.图Z3-18图Z3-19图Z3-19类型五与圆的结合问题1.抛物线上(或平面直角坐标系中)的四个点是否共圆,实质是在平面内找到一个点M,使得这些点到点M的距离相等.2.抛物线背景下的直线与圆的位置关系.根据圆心到直线的距离与半径的关系判断.(1)从圆心向直线作垂线段;(2)利用坐标或几何求解的方法解出该垂线段的长;(3)判断这条垂线段的长与圆的半径的大小关系,从而得出结论.3.二次函数与圆的综合应用往往要构建相似三角形这一模型,通过对应边成比例及坐标计算解决问题.图Z3-20图Z3-20图Z3-20图Z3-20题型精练图Z3-21图Z3-21图Z3-21图Z3-22图Z3-22图Z3-22类型六与角的和、差、倍、分的结合问题二次函数综合题中角度的存在性问题:(1)设问形式:角度相等;角度成倍数关系;角度等于特殊值,如15,30,45,60等.(2)解题方法:求解角度问题时,一般会已知该角的顶点和其中一边,求另一边与某条线的交点坐标,此时应分另一边在已知边的两侧这两种情况进行讨论,先根据条件求出未知边所在直线的解析式,再联立函数解析式,求得交点坐标.“半角”和“倍角”也常通过构造等腰三角形,由等腰三角形顶角的外角和不相邻内角的关系来得到.例例6 2019宿迁如图Z3-23,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足PAB=2ACO.求点P的坐标.(3)如图,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.图Z3-23例例6 2019宿迁如图Z3-23,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足PAB=2ACO.求点P的坐标.图Z3-23例例6 2019宿迁如图Z3-23,抛物线y=