南京师大附中2019-2020学年高一下学期期中数学试题（解析版）.doc

1、南京师大附中南京师大附中 2019- -2020 学年度第二学期学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷高一年级期中考试数学试卷 一一 单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.直线310xy 的倾斜角大小（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到31yx，根据tan3k计算得到答案. 【详解】直线310xy ，即31yx，tan3k，0,，故 3 . 故选：B. 【

2、点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力. 2.若 3 cos() 45 ，则sin2（ ） A. 7 25 B. 1 5 C. 1 5 D. 7 25 【答案】D 【解析】 试题分析： 2 2 37 cos 22cos121 44525 ， 且cos 2cos2sin2 42 ，故选 D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差 （2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系 3. ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c.已知5a ，2

3、c ， 2 cos 3 A，则 b= A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得， 解得（舍去） ，故选 D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 4.已知 2 51 cos,tan() 53 ， , 均为锐角，则（ ） A. 5 12 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 利用同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，即可得到结论. 【详解】因为为锐角，且 2 5 cos 5 ， 所以 2 5 si

4、n1 cos 5 ， sin1 tan cos2 ， 于是 11 () tantan() 23 tantan()1 11 1tantan() 1() 23 ， 又为锐角，所以 4 . 故选：C. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，属于基础题. 5.在ABC中，若2cossin sinBCA，则ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意,可知sinsinABC,展开并带入原式,可得到sin0BC,进而可判断出ABC的形状. 【详解】由题意,sinsin sinsincossi

5、ncosAABCBCCB,则 2cossinsincossincosBCBCCBsincoscossinsin0BCBCB C,则BC,即ABC的形状是等 腰三角形. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换知识,考查了三角形的形状的判断,属于基础题. 6.过点 ( 3,4)P 向圆 22 1xy引圆的两条切线 PA，PB，则弦 AB 的长为（ ） A. 2 6 5 B. 4 6 5 C. 2 5 5 D. 4 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，利用等面积法即可得到弦AB的长. 【详解】因为 22 ( 3)45OP ，半径1rOA， 所以 22 512 6PAPB， 由

6、等面积法，即 1 2 ABOPOAAP，即 22 1 2 64 6 55 OAAP AB OP . 故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线问题，与圆有关的几何问题，属于基础题. 7.ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c. 若满足2,30bA的三角形有两个，则边长 a 的取值范 围是（ ） A. 01a B. 1a C. 12a D. 2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理，三角形有两个解，则满足sinbAab，代入即可求得边长a的取值范围. 【详解】如图，2,30bA，垂线段 1 1CB ， 由正弦定理知，三角形有两个解，则满足sinbAab，即12a. 故选：C. 【点

7、睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题. 8.直线 (2)4yk x 与曲线 2 320xyy有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是（ ） A. 53 (, 12 4 B. 51 (, 12 2 C. 1 3 ( , 2 4 D. 1 ,) 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用数形结合，作出图象，计算得直线 1 l与直线 2 l的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为 22 (1)40xyx，如图所示： 直线 1: 24lyk x，此直线与曲线相切，此时有 2 32 2 1 k k ，解得 5 12 k ， 直线 2: 24lyk x，此直线与曲线有

8、两个交点，此时有 1 2 k . 所以，过点2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得 51 122 k. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式， 以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键 二二 多项选择题：本大题共多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分. . 在每小题给出的四个选项中，有不在每小题给出的四个选项中，有不 止一项是符合题目要求的止一项是符合题目要求的. . 全部选对的得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，错选

9、或不答的得分，错选或不答的得 0 分分. . 9.若圆 22 1:( 1)1Cxy与圆 22 2: 880Cxyxym相切，则 m 的值可以是（ ） A. 16 B. 7 C. 4 D. 7 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，求出圆 2 C的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可. 【详解】由题意，圆 2 C可化简为 22 (4)(4)32(32)xym m， 所以，圆 2 C的圆心坐标 2 4, 4C，半径 2 3232rm m， 圆 1 C的圆心坐标 1 1,0C，半径 1 1r ， 所以， 22 12 1 4045CC ， 所以，5132m或5132m，解得16m

10、或4. 故选：AC. 【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 10.下列命题中正确的有（ ） A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于 A选项，要强调该三点不在同一直线上，故 A 错误； 对于 B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故 B正确； 对于 C选项，可用反证法证明，故

11、C正确； 对于 D选项，要强调该直线不经过给定两边交点，故 D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题. 11.两直线( 2)0mxym ，0xy与 x轴相交且能构成三角形，则 m不能取到值有（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出直线20mxym经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得m的值，即可得到结论. 【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时0m，此时不能构成三角形； 直线20mxym整理得： 120m xxy，由 10 20 x xy ，解得 1 2 x y ， 即直线20

12、mxym经过定点1, 2 ， 当直线20mxym的斜率20km，即2m时，此时直线2y ，0xy与 x轴不能 构成三角形； 当直线20mxym与直线0xy平行时，即3m时，三条直线不能构成三角形； 综上： 两直线20mxym，0xy与 x 轴相交不能构成三角形的m的取值为：0m或2m 或3m. 故选：ABD 【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法 12.已知圆 222 :22(1)2230()C xymxmymmmR 上存在两个点到点(0, 1)A的距离为4， 则 m 的可能的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】ACD

13、【解析】 【分析】 根据题意，圆 2 2 2 :12Cxmym 与圆 2 22 :14A xy相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之 差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可. 【详解】由题知，圆 2 2 2 :12Cxmym 与圆 2 22 :14A xy相交， 所以，4 242CA ，即 2 2 2116mm ， 解得 171, 20, 171m ，即m的值可以为：1或3或5. 故选：ACD. 【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. . 13.已知

14、直线 1:4 270lxy和 2:2 10lxy ，直线 m 分别与 12 ,l l交于 A，B两点，则线段 AB长度的 最小值为_. 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 根据题意知，直线 12 ,l l为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离. 【详解】由题知， 2:2 10lxy ，即 2:4 220lxy ， 故直线 12 ,l l为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离 22 55 2 42 d . 故答案为： 5 2 . 【点睛】本题考查平行线之间的距离公式，属于基础题. 14.函数 ( )2cossin() 3 f xxx 的最大值为_. 【答案】 3 1 2

15、 【解析】 【分析】 根据题意，将函数化简为 3 sin 2 23 f xx ，即可得到最大值. 【详解】由题意， 13133 2cossincossin21cos2sin 2 222223 f xxxxxxx ， 所以，最大值为： 3 1 2 . 故答案为： 3 1 2 . 【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题. 15.已知ABC，AB=AC=4，BC=2 点 D为 AB延长线上一点，BD=2，连结 CD，则BDC 的面积是 _，cosBDC=_ 【答案】 (1). 15 2 (2). 10 4 【解析】 取BC中点E，由题意：AEBC， ABE中， 1

16、 cos 4 BE ABC AB ， 1115 cos,sin1 4164 DBCDBC ， 115 sin 22 BCD SBDBCDBC 2ABCBDC ， 2 1 coscos22cos1 4 ABCBDCBDC ， 解得 10 cos 4 BDC或 10 cos 4 BDC （舍去） 综上可得，BCD面积为 15 2 ， 10 cos 4 BDC 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路： （1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量 全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解； （2）实际问题经抽象概括后，已知量与未 知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三

17、角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形， 有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组） ，解方程（组）得出所要的解 16.在平面直角坐标系 xOy中，过点(0, 3)M的直线l与圆 22 3xy交于 A，B 两点，且 2MBMA ，则 直线l的方程为_. 【答案】33yx 【解析】 【分析】 根据题意知，点A为MB的中点，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，再由 2MBMA 得 12 2xx，利用韦达定理建 立方程，解得即可. 【详解】由题知，点A为MB的中点，设直线:3l ykx，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 将直线带入圆的方程得 22 1660kxkx

18、，则 12 2 6 1 k xx k ， 12 2 6 1 xx k ， 由 2MBMA ，得 12 2xx，即 2 2 2 1 k x k ， 1 2 4 1 k x k ， 所以， 21 222 246 111 kk xx kkk ， 解得3k ，故直线方程为：33yx . 故答案为：33yx . 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题. 四四 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. . 17.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且coscos3 coscBbCaB. （1）求cosB的值； （2）若2c ，ABC 的面积为2 2，

19、求边长 b 的值. 【答案】 （1） 1 3 .（2）3. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论； （2）根据（1）得 2 2 sin 3 B ，利用三角形面积公式得3a ，再利用余弦定理即可. 【详解】 （1）在ABC中，由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 设 sin a k A ，则sin ,sin ,sinakA bkB ckC， 带入coscos3 coscBbCaB，化简得sin3sincosAAB， 因为 ,(0, ),sin0,sin0A BAB ， 所以 1 cos 3 B ； （2）由（1）可知，sin0B， 2 2 2 sin

20、1 cos 3 BB， 又 1 sin 2 ABC SacB ，所以 12 2 22 2 23 ABC Sa ，解得3a . 在ABC中，由余弦定理 222 2cosacBacb， 即 222 1 23232 3 b ，解得 3b 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题. 18.（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： 直线l在平面内； 直线m不在平面内； 直线m与平面交于点A； 直线l不经过点A. （2）如图，在长方体 1111 ABCDAB C D中，E为棱 1 BB的中点，F为棱 1 CC的三等分点，画出由 1, , D E F 三点所

21、确定的平面与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹) 【答案】 （1）l；m；mA；Al，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可. 【详解】 （1）l；m；mA；Al；示意图如下： （2）如图，直线 IL即为所求. 【点睛】本题考查了空间点线面之间的位置关系，属于基础题. 19.在平面直角坐标系 xOy中，已知两直线 1: 330lxy和 2: 10lxy ，定点(1,2)A. （1）若 1 l与 2 l相交于点 P，求直线 AP 的方程； （2）若 1 l恰好是ABC 的角平分线 BD所在的直线， 2 l是中线 CM

22、 所在的直线，求ABC的边 BC 所在直 线的方程. 【答案】 （1） :31AP yx ； （2） 7170xy . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP的方程； （2）根据题意，设 33,Btt ，则 342 , 22 tt M ，利用点M在直线 2 l上，得2t ，3, 2B ，再利 用到角公式得 1 7 BC k ，即可得到BC的直线方程. 【详解】 （1）由题意，联立 330 10 xy xy ，解得 0 1 x y ，即两直线的交点0, 1P， 所以，直线AP的斜率 21 3 10 k ，故直线AP的方程为： 31yx. （2）设点 B的坐标

23、为 33,tt ，则点 342 , 22 tt M ，又点M在直线 2 l上， 即 342 10 22 tt ，解得2t ，故3, 2B ， 所以 22 1 3 1 AB k ， 直线 1 l的斜率 1 1 3 k ，由到角公式得， 11 11 11 BCAB BCAB kkkk k kkk ， 即 11 1 33 11 11 33 BC BC k k ，解得 1 7 BC k ， 所以 BC 所在直线方程为 1 2(3) 7 yx ，化简得7170xy. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题. 20.（1）已知 1 sincos 5 ，求sin2的值； （2）记函

24、数 ( )sin2sincosf xxxx ，求 ( )f x的值域. 【答案】 （1） 24 25 ； （2） 5 ,12 4 . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，直接平方即可得到结论； （2）根据题意，记sincost，则 2 sin21xt，将函数 f x转化为 2 ( )1g ttt ，再利用二次 函数即可得到结论. 【详解】 （1）因为 1 sincos 5 ，所以 22 1 sincos2sincos 25 即 1 1 sin2 25 ，所以 24 sin2 25 （2）记sincost，显然2sin 4 tx ，故2, 2t ， 将sincost两边平方，得 2 sin21t

25、， 故 22 15 ( )( )1(),2, 2 24 f xg ttttt 所以 min 15 ( )() 24 f xg ， max ( )( 2)12f xg 所以 ( )f x的值域为 5 ,12 4 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，三角函数的图像和性质，二次函数求值域，属于基础题. 21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD其 中 AB3 百米，AD5百米，且BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路 AC，BD（路 的宽度忽略不计） ，设BAD，( 2 ，) （1）当 cos 5 5 时，求小路 AC 的长

26、度； （2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度 【答案】 （1）37AC ； （2）26BD 【解析】 【分析】 （1）在ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sin，根据正弦定理可求 sinADB 3 5 ，进而可求 cosADC的值，在ACD中，利用余弦定理可求AC的值 （2） 由 （1） 得：BD 2146 5cos， 根据三角形面积公式， 三角函数恒等变换的应用可求SABCD7 15 2 sin （） ，结合题意当 2 时，四边形ABCD的面积最大，即 2 ，此时 cos 2 5 ， sin 1 5 ，从而可求BD的值 【详解】 （1）

27、在ABD中，由 222 2cosBDABADAB AD， 得 2 146 5cosBD ，又 5 cos 5 ，2 5BD , 2 2 2 52 sin1 cos1 55 由 sinsin BDAB BADADB 得： 2 53 2 sin 5 ADB ，解得： 3 sin 5 ADB， BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形 2 CDB 且 2 5CDBD 3 coscossin 25 ADCADBADB 在ACD中， 222 2cosACADDCAD DCADC 22 3 52 5252 537 5 ， 解得： 37AC （2）由（1）得： 2 146 5cosBD ， 2 11 35si

28、n 22 ABCDABDBCD SSSBD 3 5 7sin3 5cos 2 3 515 7sin2cos7sin 22 ，此时 2 sin 5 ， 1 cos 5 ，且0, 2 当 2 时，四边形ABCD的面积最大，即 2 ，此时 1 sin 5 ， 2 cos 5 2 2 146 5cos146 526 5 BD ，即 26BD 答：当 5 cos 5 时，小路AC的长度为37百米；草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为26 百米 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒 等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考

29、查了计算能力和转化思想，属于中 档题 22.在平面直角坐标系xOy中， 已知圆心在y轴上的圆C经过两点 (0,2)M 和(1,3)N， 直线l的方程为y kx . （1）求圆C的方程； （2）当1k 时，Q为直线l上的定点，若圆C上存在唯一一点P满足2POPQ，求定点Q的坐标； （3）设点 A，B 为圆C上任意两个不同的点，若以 AB为直径的圆与直线l都没有公共点，求实数k的取值 范围. 【答案】 （1） 22 (3)1xy； （2）(22,22)Q或(22,22) ； （3） 1414 (,) 22 k . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设圆的方程为 2 22 xybr，列方程解得即可

30、； （2）根据题意，利用2POPQ得点Q的轨迹方程为 22 2 224xtytt，再利用两圆相切解得即可. （3）记以AB为直径的圆为圆M，设 (01)CMdd ，得圆M的半径 2 1 1 2 M rABd，利用 2 0CPCMMP ，表示出动点 000 (,)P x y的轨迹为以0,3C为圆心， 2为半径的圆的内部(含边 界)，再利用点 C 到直线 l的距离2d ，解得即可. 【详解】 （1）设圆的方程为 222 ()(0)xybrr，将 M，N坐标带入， 得： 222 222 0(2) 1(3) br br ，解得 3 1 b r ， 所以圆C的方程为 22 (3)1xy. （2）设,Q

31、t t，( , )P x y，由2POPQ，即 2222 2()()xyxtyt， 化简得 222 (2 )(2 )4xtytt， 由题意，此圆与圆 C相切，故 22 023221ttt，解得22t ， 所以(22,22)Q或(22,22) （3）记以 AB 为直径的圆为圆 M，设圆 M上有一动点 000 (,)P x y， 设 (01)CMdd ，则圆 M 的半径 2 1 1 2 M rABd，于是 2 22 00121 2| | cosCPCMMPddCM MPCMMP ，其中为 0 CM MP，的夹角， 0, . 因为 222 0 1 1(1)0, 2 CMMPdddd，所以 0 0, 2CP . 故点 0 P在以(0,3)C为圆心， 2为半径的圆的内部(含边界)， 所以点 C 到直线 l的距离2d ，即 2 3 2 1k ，解得 1414 , 22 k . 【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题.