《解三角形》全章知识复习与巩固参考模板范本.doc
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1、解三角形全章知识复习与巩固【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即:要点诠释:(1)正弦定理适合于任何三角形,且(为的外接圆半径);(2)应用正弦定理解决的题型:已知两角和一边,求其它已知两边和一边的对角,求其它(3)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二:余弦定理在ABC中,变形为:,要点
2、诠释:(1)应用余弦定理解决的题型:已知三边,求各角已知两边和一边的对角,求其它已知两边和夹角,求其它;(2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解,反之亦然;只是方便程度有别;(3)正、余弦定理可以结合使用.要点三:三角形的面积公式(1) ,其中为边上的高(2)(3),其中要点四:三角形形状的判定方法设ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C,解斜三角形的主要依据是:(1)角与角关系:由于A+B+C = ,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=cosC;tan(A+B)=tanC;(2)边与边关系:a + b c,b + c a,c + a
3、 b,ab c,bc a,ca b;(3)边与角关系:正弦定理、余弦定理常用两种途径:(1)由正余弦定理将边转化为角;(2)由正余弦定理将角转化为边.要点诠释:化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.在ABC中,熟记并会证明:A,B,C成等差数列的充分必要条件是B=60;ABC是正三角形的充分必要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列.要点五:解三角形应用的分类(1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达;(2)高度问题(最后都转化为解直角三角形);(3)角度问题;(4)面积问题.【典型例题】类型一:正、余弦定理的基本应用例
4、1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C2B (1)求cos B的值;(2)若b2ac,求sin A sin C的值【思路点拨】由题设“A+C2B”易知B60,又由边之间的关系“b2ac”,如何求“sin A sin C”的值?正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2BA+C,A+B+C180,解得B60,所以(2)解法一:由已知,及,根据正弦定理得,所以解法二:由已知,及,根据余弦定理得,解得ac,所以ACB60,故【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点,注意灵活利用三角形中的内角和定理,实现角的互化,灵活利用正、余弦定理的
5、变形.举一反三:【变式1】在ABC中,a1,b2,则c;sinA【答案】在ABC中,a1,b2,由余弦定理得:c2a2b22abcosC1414,即c2;,C为三角形内角,由正弦定理得:故答案为:2;【变式2】在ABC中,若,则_.【答案】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得. 故答案为. 类型二:正、余弦定理的综合应用例2. 在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且ac,已知2,cosB,b3,求:()a和c的值;()cos(BC)的值【答案】() a3,c2,()【思路点拨】(1)由平面向量的数量积,易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可;(2)画出简易图,将已
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