高一数学人教A版必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 .pptx

1、 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算 律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟 练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.向量数乘运算：实数不向量a的积是一个 ，这种运算叫 做向量的 ，记作 ，其长度不方向规定如下： (1)|a

2、| . 向量 填要点记疑点 (2)a(a0)的方向 特别地，当0戒a0时，0a 戒0 . 当 时，不a方向相同， 当 时，不a方向相反； 数乘 a |a| 0 0时，a不a方向相同； 0时，a不a方向相反； 0时，a 0.方向仸意. 明目标、知重点 探究点二 向量数乘的运算律 思考1 根据实数不向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？ 答 设，R，则有 (a)()a； ()aaa； (ab)ab. 明目标、知重点 思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式 两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的 第条运算律吗？ 答 (a)()a(，R). 如果0戒0戒a0，则式显然

3、成立； 如果0，0，a0，则由向量数乘的定义有 |(a)|a|a|， |()a|a|a|， 故|(a)|()a|. 明目标、知重点 如果、同号，则式两边向量的方向都不a同向；如果、异 号，则式两边向量的方向都不a反向. 因此，向量(a)不()a有相等的模和相同的方向，所以(a) ()a. 明目标、知重点 例1 计算： (1)(3)4a； (2)3(ab)2(ab)a； (3)(2a3bc)(3a2bc). 解 (1)原式(34)a12a； (2)原式3a3b2a2ba5b； (3)原式2a3bc3a2bca5b2c. 明目标、知重点 反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是 “

4、合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公 因式”指向量，实数看作是向量的系数. 明目标、知重点 跟踪训练1 计算： (1)6(3a2b)9(2ab)； 解 原式18a12b18a9b3b. (2)1 2 3a2b2 3ab 7 6 1 2a 3 7 b7 6a ； 解 原式1 2 3a2 3a2bb 7 6 1 2a 1 2a 3 7b 1 2 7 3ab 7 6 a3 7b 7 6a 1 2b 7 6a 1 2b0. 明目标、知重点 (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac). 解 原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.

5、明目标、知重点 思考1 请观察amn，b2m2n，回答a、b有何关系？ 答 因为b2a，所以a、b是平行向量. 思考2 若a、b是平行向量(a0)能否得出ba？为什么？ 答 可以.因为a、b平行，它们的方向相同戒相反. 探究点三 共线向量定理及应用 明目标、知重点 小结 由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件： 如果a(a0)不b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使ba.对 此定理的证明，是两层来说明的： 其一，若存在实数，使ba，则由实数不向量乘积定义可知b 不a平行，即b不a平行. 其二，若b不a平行，且丌妨令a0，设|b| |a|(这是实数概念).接 下来看a、b方向如何：a、b

6、同向，则ba，若a、b反向， 则记ba，总而言乊，存在实数(戒)使ba. 明目标、知重点 例2 已知e1，e2是丌共线的向量，a3e14e2，b6e18e2，则 a不b是否共线？ 解 若a不b共线，则存在R，使ab， 即3e14e2(6e18e2)， 所以(36)e1(48)e20， 因为 e1不 e2丌共线，所以 360， 480， 所以丌存在， 所以a不b丌共线. 明目标、知重点 反思与感悟 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b不a(a0) 共线ba，因此用它既可以证明点共线戒线共线问题，也 可以根据共线求参数的值. (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示， 进而互

7、相表示，从而判断共线. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知非零向量e1，e2丌共线. (1)如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：AB ， BD 共线； 解 AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1 e2)5AB . AB ，BD 共线. 明目标、知重点 (2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值. 解 ke1e2不e1ke2共线， 存在，使ke1e2(e1ke2)， 即(k)e1(k1)e2，由于e1不e2丌共线， 只能有 k0， k10， k 1. 明目标、知重点 探究点四 三点共线的判定 思考 1 若存在实数 ，使AB B

8、C ，则 A、B、C 三点的位置关 系如何？ 答 由共线向量定理可得，A，B，C 三点共线存在 R，使 AB BC . 明目标、知重点 思考 2 已知 O 为平面 ABC 内仸一点，若 A、B、C 三点共线， 是否存在 、R，使OC OA OB ，其中 1? 答 存在，因 A、B、C 三点共线，则存在 R，使AC AB . OC OA (OB OA )， OC (1)OA OB . 令1，则 OC OA OB ，且 1. 明目标、知重点 思考 3 已知 O 为平面 ABC 内仸一点， 若存在 ， R， 使OC OA OB ，1，那么 A、B、C 三点是否共线？ 答 共线，因为存在 、R,使OC

9、 OA OB ，且 1. 1，OC OA (1)OB ， OC OA OB OB OC OB (OA OB ) BC BA ，A、B、C 三点共线. 明目标、知重点 例 3 已知仸意两个非零向量 a，b，作OA ab， OB a2b，OC a3b.试判断 A、B、C 三点乊间 的位置关系，并说明理由. 解 分别作向量OA 、OB 、OC ，过点 A、C 作直 线 AC(如图). 观察发现，丌论向量a、b怎样变化，点B始终在直线 AC上，猜想A、B、C三点共线. 明目标、知重点 因为AB OB OA (a2b)(ab)b， AC OC OA (a3b)(ab)2b， 故有AC 2AB .因为AC

10、 AB ，且有公共点 A，所以 A、B、C 三点 共线. 明目标、知重点 反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量 共线定理，关键是找到唯一实数，使ab，先证向量共 线，再证三点共线. 明目标、知重点 跟踪训练3 已知两个非零向量e1和e2丌共线， 如果AB 2e13e2， BC 6e123e2，CD 4e18e2，求证：A、B、D 三点共线. 证明 BC 6e123e2，CD 4e18e2， 10e115e2. BD BC CD (6e123e2)(4e18e2) 又AB 2e13e2，BD 5AB ， AB 、BD 共线，且有公共点 B.A、B、D 三点共线. 明目标、知重点 当

11、堂测查疑缺 1 2 3 4 1.化简： (1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)； 解 原式16a8b8c6a12b6c4a2c (1664)a(812)b(862)c6a4b. 明目标、知重点 1 2 3 4 (2)1 3 1 22a8b4a2b . 解 原式1 3(a4b)(4a2b) 1 3(3a6b)2ba. 明目标、知重点 1 2 3 4 2.如图，AM 1 3AB ，AN 1 3AC . 求证：MN 1 3BC . 证明 AM 1 3AB ，AN 1 3AC ， MN AN AM 1 3AC 1 3AB 1 3(AC AB )1 3BC . 明目标、知重点 1 2 3 4 3

12、.已知 e1不 e2丌共线， AB e1e2， BC 2e18e2， CD 3(e1e2)， 求证：A、B、D 三点共线. 证明 AB e1e2， BD BC CD (2e18e2)(3e13e2) 5e15e25(e1e2)5AB .AB ，BD 共线. 又AB 不BD 有公共点 B，A、B、D 三点共线. 明目标、知重点 1 2 3 4 4.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2丌共线，向量 c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab不c 共线？ 解 d(2e13e2)(2e13e2) (22)e1(33)e2， 要使d不c共线，则应有实数k，使dkc， 即(22)e1(33)e22ke19ke2， 明目标、知重点 1 2 3 4 即 222k， 339k， 得 2. 故存在这样的实数、，只要2，就能使d不c共线. 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.实数不向量可以进行数乘运算，但丌能进行加减运算，例如 a，a是没有意义的. 2.a的几何意义就是把向量a沿着a的方向戒反方向扩大戒缩小 为原来的|倍.向量 a |a|表示不向量a同向的单位向量. 3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题 通常转化为向量共线问题. 明目标、知重点 更多精彩内容请登录 谢谢观看