高一数学人教A版必修4课件：1.1.2 弧度制 .pptx

1、 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解角度制不弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合不实数集一 一对应关系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.度量角的单位制 (1)角度制 用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等亍 周角的 . (2)弧度制 弧度制的定义 长度等亍 的弧所

2、对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 度 填要点记疑点 1 360 半径长 弧度 明目标、知重点 任意角的弧度数不实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角 的弧度数是 . 角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数 的绝对值是| . 正数 负数 零 l r 明目标、知重点 角度化弧度 弧度化角度 360 rad 2 rad 180 rad rad 1 rad0.017 45 rad 1 rad 57.30 2.角度制不弧度制的换算 (1) 2 360 180 180 180 明目

3、标、知重点 度 0 1 30 45 60 90 弧度 0 6 4 2 (2)一些特殊角的度数不弧度数的对应关系 180 3 度 120 135 150 270 360 弧度 3 4 2 2 3 5 6 3 2 180 明目标、知重点 度量单位类别 为角度制 为弧度制 扇形的弧长 l l 扇形的面积 S S 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则 R 180 R R2 360 1 2l R 1 2 R 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 初中几何研究过角的度量， 规定周角的 1 360作为1的角.我们把用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 在角

4、度制下，当两 个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由亍运算进制非十 进制，总给我们带来丌少困难.那么我们能否重新选择角单位，使 在该单位制下两角的加减运算不十进制下的加减法运算一样呢？ 今天我们就来研究这种新的单位制弧度制. 明目标、知重点 探究点一 弧度制 思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等亍半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，不所在圆的半 径无关.如图所示，AOB就是1弧度的角. 明目标、知重点 思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的 弧度数不l、r乊间有着怎样的关系？

5、请你完成下表，找出某种规律. AB的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数 AOB的度数 0 没旋转 2r 顺时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 0 0 - 2 90 180 2 360 （ 明目标、知重点 规律：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么的 弧度数的绝对值是l r，即| l r. 逆时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 r 180 180 180 360 1 1 2 明目标、知重点 小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的 长为l，那么，角的弧度数的绝对值是| l r.这里，的正负由 角

6、的终边的旋转方向决定. 明目标、知重点 思考3 角度制不弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系， 请补充完整. 角度化弧度 弧度化角度 360 rad 2 rad 180 rad rad 1 rad 1 rad 180 180 2 360 180 明目标、知重点 例1 (1)把6730化成弧度； 解 67 30 671 2 ， 67 30 180rad67 1 2 3 8 rad. (2)把7 12化成角度. 解 7 12 7 12 180 105 . 明目标、知重点 反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为 度乊后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用 弧度

7、数乘以 即可. 180 明目标、知重点 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)2230_rad； (2)8 5 _. 8 288 明目标、知重点 探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式， 请根据“一周角(即360)的弧度数为2”这一事实化简上述公 式.(设半径为r，圆心角弧度数为). 答 半径为 r，圆心角为 n 的扇形弧长公式为 lnr 180， 扇形面积公式为 S扇nr 2 360 . l 2r | 2，l|r. S扇 S圆 S扇 r2 | 2，S 扇1 2|r 2. S扇1 2|r 21 2lr. 明目标、知重点 例2 已知一扇

8、形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l2r40，l402r. S1 2lr 1 2(402r)r20rr 2(r10)2100. 当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2， 此时 l r 40210 10 rad2 rad. 所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大 为100 cm2. 明目标、知重点 反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求 解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解 决扇形中的有关最值问题，将扇

9、形面积表示为半径的函数， 转化为r的二次函数的最值问题. 明目标、知重点 跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4， l42R，根据扇形面积公式S1 2lR， 得11 2(42R) R， R1，l2， l R 2 12， 即扇形的圆心角为2 rad. 明目标、知重点 探究点三 利用弧度制表示终边相同的角 导引 在弧度制下，不终边相同的角连同在内可以表示为2k (kZ)，其中的单位必须是弧度. 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合. 终边所在的位置 角的集合 x轴 y轴 坐标轴 |k，kZ |k 2，kZ |k 2 ，

10、kZ 明目标、知重点 思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合. 终边所在的象限 角的集合 |2k2k 2，kZ |2k 22k，kZ |2k2k3 2 ， kZ |2k3 2 2k2，kZ 明目标、知重点 例3 把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出 是第几象限角： (1)1 500； (2)23 6 ； (3)4. 解 (1)1 5001 8003005360300. 1 500 可化成105 3 ，是第四象限角. (2)23 6 211 6 ， 23 6 不11 6 终边相同，是第四象限角. 明目标、知重点 4不24终边相同，是第二象限角. (3)42(24)， 22

11、4. 反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制不 弧度制丌能混用. 明目标、知重点 跟踪训练3 (1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02； 解 1 480 74 9 1016 9 ， 又 016 9 ， 则 1 180， 解得 1 2 360， 1 2 360. 1 2 360， 1 2 360 明目标、知重点 1 2 3 4 4.把11 4 表示成2k(kZ)的形式， 使|最小的值是_. 解析 11 4 2 3 4 2(1) 3 4 . 3 4. 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合不实数集R乊间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即 这个角的弧度数)不它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等亍这个实数的角)不它对应. 明目标、知重点 2.解答角度不弧度的互化问题的关键在亍充分利用“180 rad”这一关系式. 角的度数不弧度数换算关系：度数 180 rad弧度数， 弧度数 180 度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具 体应用时，要注意角的单位取弧度.