六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙.doc

1、六方最密堆积中正八面体空隙六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排 列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中，有三个 尖向上，另外三个 尖向下。如图所 示，我们在这里将 尖向上的三角形空 隙记为 B，尖向下 的三角形空隙记为 C。第二密置层的 球放在 B 之上，第 三密置层的球投影 在 C 中，三层完成 一个周期。这样的 最密堆积方式叫做立 方最密

2、堆积（ccp，记 为 A1 型），形成面 心立方晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层 的球重合，两层完成 一个周期。这样的最 密堆积方式叫做六方 最密堆积（hcp，记为 A3 型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空 隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应， 它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙 的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于 正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体 的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层

3、的三个球和下一层的三个球 相切，即每个球与周围十二个球相切 （配位数为 12）。中心这个球与周围 的球围出八个正四面体空隙，平均分 摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙 分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个 八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这 样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总 之，这两种最密堆积中，球数 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。 面心立方最密堆积（ccp， A1 型）中正八面体空隙和正四面体空 隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3

4、型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。 平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙，如下面两幅图所示。 空隙中心的分数坐标分别为：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。 对于正四面体空隙，存在这样一个问题，即正四面体的中心到它 的底面的距离是它的高的多少倍？ 解法一（分体积法）：以正四面体的 中心 O 为顶点，以正四面体的四个面为 底面将正四面体平均分为四个等体积的小 三棱锥，小三棱锥的高为 OH，则有： 4 V 33 4 S AHS OH AHOH 即正四面体的中心到底面的距离是它的高的四分之一。 解法二（立方体法）

5、： 将正四面体的四个顶点放在立方体相隔的四个顶点。设立方体的 边长为 1，则正四面体的边长为2，正四面体的高为 62 3 2 33 。由 于立方体的体对角线为3，所以正四面体的中心（即立方体的中心） 到它的底面的距离与它的高之比为： 2 332 3 :1:4 323 解法三（外接球法）：如图，设正四 面体的边长为 1，则 2 2336 , A 3233 6 2 A21 3 6 4 666 3412 1 3 BGG rGr r OG OG r 解得 即正四面体的中心到底面的距离是它的 高的四分之一。 解法四（正弦定理法）： 如图，正四面体中心到两个顶点之间 的夹角为 109.47 ，等腰三角形的

6、另两个角 为 35.27 。根据正弦定理即可求解。 下面我们来找出六方最密堆积一个晶胞中的所有正四面体。 六方晶胞内中间层的一个球与上面三个球和下面三个球各围成一 个正四面体空隙，空隙中心的分数坐标分别是：（1/3,2/3,1/8）， （1/3,2/3,7/8）。 另外在每个棱上，晶胞顶点的八个球分别与中间层的 球围成正四面体空隙，这些空隙平均只有四分之一在这 个晶胞内，八个四分之一共为两个。空隙中心的分数坐 标分别是：（0,0,3/8），（0,0,5/8）。 四个坐标说明正四面体空隙共有四个。 用体积模型示意图来看各种空隙也是很有意思的。 请看左图。在六方硫化锌中，硫离子呈 六方密堆积，锌离子填入空隙。锌离子填入 的是什么空隙？（正四面体还是正八面 体？）是否填满 了所有的空隙？ 将结果与立方硫 化锌的情况作对比，看有哪些相似与不同。 估计锌离子与硫离子的半径比。查阅锌离子与硫离子的半径数据，说 明硫离子是不是最密堆积。