基本不等式的设计与教学.ppt

1、 围绕围绕“核心核心”设计教学设计教学 关注关注“生成生成”实施教学实施教学一、教学为什么要设计一、教学为什么要设计 凡事豫则立，不豫则废。凡事豫则立，不豫则废。课堂教学必须精心设计：教学是有目的课堂教学必须精心设计：教学是有目的、有计划、有组织地进行的一种传承人、有计划、有组织地进行的一种传承人类已有经验的活动。类已有经验的活动。必须处理好预设与生成的关系：预设是必须处理好预设与生成的关系：预设是为了使生成更具有方向感，更富有成效为了使生成更具有方向感，更富有成效性。教学设计要性。教学设计要“教教”“”“学学”并重，为并重，为“促进学生理解数学内容促进学生理解数学内容”而设。而设。二、教学设

2、计二、教学设计“三二一三二一”三个基本点三个基本点（1 1）理解数学：主要是对数学的思想、方）理解数学：主要是对数学的思想、方法及其精神的理解众所周知，教好数法及其精神的理解众所周知，教好数学的前提是教师自己先学好数学只有学的前提是教师自己先学好数学只有教师自己对数学的思想、方法和精神有教师自己对数学的思想、方法和精神有较高水平的理解，才能在教学中自觉地较高水平的理解，才能在教学中自觉地把数学的精神传达给学生，使数学在学把数学的精神传达给学生，使数学在学生发展中的关键作用真正发挥出来生发展中的关键作用真正发挥出来（2 2）理解学生：主要是对学生数学学习规）理解学生：主要是对学生数学学习规律的理

3、解，核心是理解学生的数学思维律的理解，核心是理解学生的数学思维规律只有对学生的数学思维规律有了规律只有对学生的数学思维规律有了深入的了解，才能知道应当采取怎样的深入的了解，才能知道应当采取怎样的教学措施引导学生的数学思维活动，有教学措施引导学生的数学思维活动，有的放矢地进行教学的放矢地进行教学（3 3）理解教学：主要是对数学教学规律、）理解教学：主要是对数学教学规律、特点的理解数学是思维的科学，数学特点的理解数学是思维的科学，数学学科的特点决定了数学教学的特点和规学科的特点决定了数学教学的特点和规律，只有遵循了这些规律、反映这些特律，只有遵循了这些规律、反映这些特点，数学教学的质量和效益才能真

4、正得点，数学教学的质量和效益才能真正得到保证到保证 两个关键两个关键（1 1）提好的问题：）提好的问题：“好问题好问题”有两个标准有两个标准，即：有意义，并且在学生思维最近发，即：有意义，并且在学生思维最近发展区内展区内“有意义有意义”就是所提问题要反就是所提问题要反映当前学习内容的本质；映当前学习内容的本质；“在学生思维在学生思维最近发展区内最近发展区内”的问题才能形成认知冲的问题才能形成认知冲突、激发求知欲、激活思维，才能使学突、激发求知欲、激活思维，才能使学生的心理保持积极的、适度的求知倾向生的心理保持积极的、适度的求知倾向 （2 2）设计自然的过程：这是一种数学知识）设计自然的过程：这

5、是一种数学知识发生发展的原过程（再创造过程）与学发生发展的原过程（再创造过程）与学生数学认识过程的融合一般地，生数学认识过程的融合一般地，“自自然的过程然的过程”是一个知识的归纳、概括过是一个知识的归纳、概括过程程一个核心一个核心 设计概括过程：根据学生数学思维发展水平和设计概括过程：根据学生数学思维发展水平和认知规律，以及数学知识的发生发展过程设计认知规律，以及数学知识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用“归纳式归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程方法的形成过程 引导学生通过类比、推广

6、、特殊化等，促使他引导学生通过类比、推广、特殊化等，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法；在建立们找到研究的问题，形成研究的方法；在建立知识内在联系的过程中领悟本质；在关键点上知识内在联系的过程中领悟本质；在关键点上设计独立思考的时间和空间，并让他们自己概设计独立思考的时间和空间，并让他们自己概括出概念的内涵，得出数学规律的猜想，使他括出概念的内涵，得出数学规律的猜想，使他们始终保持高水平的数学思维活动们始终保持高水平的数学思维活动 三、教学设计的基本过程三、教学设计的基本过程1 1从领会课标开始从领会课标开始 目的：把握教学的方向目的：把握教学的方向 在在必修必修模块中，通过具体情境，模块

7、中，通过具体情境，让学生让学生感受在现实世界和日常生活中存在着大感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；题；认识基本不等式及其简单应用；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。体会不等式、方程及函数之间的联系。对

8、课标安排的理解对课标安排的理解 必修必修中，中，从不等式与现实之间的联系角从不等式与现实之间的联系角度，主要是把不等式看成是刻画事物不度，主要是把不等式看成是刻画事物不等关系的数学模型，让学生了解不等式等关系的数学模型，让学生了解不等式在解决各种简单的优化问题中的作用，在解决各种简单的优化问题中的作用，介绍不等式的初步知识，在不等式的代介绍不等式的初步知识，在不等式的代数推理、证明上要求不高。数推理、证明上要求不高。重要不等式的证明和应用、其他不等式重要不等式的证明和应用、其他不等式的推理证明以及一些较复杂的优化问题的推理证明以及一些较复杂的优化问题的处理等，都作为较高要求放在选修系的处理等，

9、都作为较高要求放在选修系列中，在学生具备较好的知识基础，掌列中，在学生具备较好的知识基础，掌握了更多的数学工具后再作安排。握了更多的数学工具后再作安排。2.2.理解教材的编写意图理解教材的编写意图“课标课标”把不等式首先定位在刻画现实把不等式首先定位在刻画现实世界和日常生活中数量世界和日常生活中数量关系关系差异差异性性的工的工具，把不等式看成表示不等关系、处理具，把不等式看成表示不等关系、处理优化问题的数学模型。这样的定位，在优化问题的数学模型。这样的定位，在数、式及其变换的传统观点下，融入了数、式及其变换的传统观点下，融入了用函数观点看不等式用函数观点看不等式、数形结合等、数形结合等思想思想

10、，突出了不等式在解决优化问题中的工，突出了不等式在解决优化问题中的工具作用，使不等式的学习更加充实了。具作用，使不等式的学习更加充实了。教材注重了什么？教材注重了什么？不等式（组）的实际背景，不等关系的不等式（组）的实际背景，不等关系的普遍性普遍性，用不等式刻画各种不等关系的用不等式刻画各种不等关系的方法方法和过程；和过程；运用一元二次不等式、二元一次不等式运用一元二次不等式、二元一次不等式组和基本不等式等模型的建模过程；组和基本不等式等模型的建模过程；沟通数学与现实的联系、数学内部不同沟通数学与现实的联系、数学内部不同知识的联系，强调优化思想、数形结合知识的联系，强调优化思想、数形结合思想等

11、。思想等。教材淡化了什么？教材淡化了什么？以往比较侧重不等式的性质、求解和证以往比较侧重不等式的性质、求解和证明，主要从代数变换的角度对学生进行明，主要从代数变换的角度对学生进行训练。这种训练对提高学生的运算能力训练。这种训练对提高学生的运算能力和逻辑思维能力非常有用，但局限在代和逻辑思维能力非常有用，但局限在代数变换中学习不等式，并没有充分发挥数变换中学习不等式，并没有充分发挥不等式的教育价值。不等式的教育价值。因此，教材淡化了因此，教材淡化了代数变换的技巧，降低了证明的难度。代数变换的技巧，降低了证明的难度。3.3.“基本不等式基本不等式”的安排的安排 首先，以首先，以“探究探究”引出问题

12、，经抽象得引出问题，经抽象得到赵爽弦图，并从图中的面积关系得到到赵爽弦图，并从图中的面积关系得到a2+b22ab及等号成立的条件，再进一步及等号成立的条件，再进一步作变形得到基本不等式；作变形得到基本不等式；其次，用分析法给出代数证明，其次，用分析法给出代数证明，只是为只是为了让学生接触一些方法了让学生接触一些方法，因为不难，所，因为不难，所以让学生填空；以让学生填空；第三，以第三，以“探究探究”引导基本不等式引导基本不等式的的几几何解释，数形结合地进一步认识。何解释，数形结合地进一步认识。基本不等式很重要，只给代数证明非常基本不等式很重要，只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程。乏味

13、，所以教科书构建了上述过程。本节的两个例题都是有实际背景的最大本节的两个例题都是有实际背景的最大（小）值问题。教科书没有安排用基本（小）值问题。教科书没有安排用基本不等式进行代数变换和证明不等式的例不等式进行代数变换和证明不等式的例题，这是课标的要求。证明不等式的推题，这是课标的要求。证明不等式的推理训练会在今后安排专题学习。理训练会在今后安排专题学习。两点说明两点说明 为什么用为什么用“赵爽玄图赵爽玄图”？可以改用可以改用其他情景替换其他情景替换 如何理解如何理解“情景情景猜想（一般化）猜想（一般化）证明证明特殊化（基本不等式）特殊化（基本不等式）分析法证明分析法证明几何解释几何解释”的过程

14、？的过程？多元联系表示思想；多元联系表示思想；变形是人为的，但内涵数学的思维方式变形是人为的，但内涵数学的思维方式。4.4.本节课的教学目标本节课的教学目标 正确理解内容基础上制定目标正确理解内容基础上制定目标 基本不等式基本不等式作为基本而重要的不等作为基本而重要的不等式模型，如何理解式模型，如何理解“基本基本”？如何理解？如何理解“模型模型”？代数角度（代数变换能力），几何角度代数角度（代数变换能力），几何角度（几何直观能力）。（几何直观能力）。结构特征，使用条件。结构特征，使用条件。“基本不等式基本不等式”的教学目标的教学目标 借助弦图、实际问题，经历基本不等式借助弦图、实际问题，经历基

15、本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；抽象能力；探索基本不等式的证明方法；探索基本不等式的证明方法；掌握基本不等式的结构特征及其使用条掌握基本不等式的结构特征及其使用条件；件；会用基本不等式解决简单的实际问题（会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。注重建模过程）。5.5.关于教学重点和难点关于教学重点和难点 重点：建立基本不等式模型的过程（优化问题重点：建立基本不等式模型的过程（优化问题）；基本不等式的结构特征和使用条件。）；基本不等式的结构特征和使用条件。难点：建立不等式模型（优化问题），化归为难点：建立不等式模型（优化问题），化归

16、为基本不等式；构造几何图形解释基本不等式。基本不等式；构造几何图形解释基本不等式。（如果以代数变换为重点，则会在结构特征的（如果以代数变换为重点，则会在结构特征的匹配和变形上出现困难；像匹配和变形上出现困难；像“重点：基本不等重点：基本不等式及其证明，难点：基本不等式的简单应用式及其证明，难点：基本不等式的简单应用”都不够具体）都不够具体）6.6.教学过程概要教学过程概要 引入：单刀直入不纠缠（可以提醒：图引入：单刀直入不纠缠（可以提醒：图形的数量关系就是长度和面积之间的关形的数量关系就是长度和面积之间的关系）；系）；获得猜想并推广，再让学生证明；获得猜想并推广，再让学生证明；叙述：数学上研究

17、特例是叙述：数学上研究特例是“基本套路基本套路”，我们用，我们用得到得到“基本不等式基本不等式”让学生探索不同证明方法（还是以代数让学生探索不同证明方法（还是以代数变形为主）；变形为主）；阅读课本的阅读课本的“探究探究”，并给出回答，并给出回答构造图形解释基本不等式是难点；构造图形解释基本不等式是难点；用基本不等式解决简单的最大（小）问用基本不等式解决简单的最大（小）问题（优化问题）。题（优化问题）。思考：教学中为什么要把思考：教学中为什么要把“一正，二定一正，二定，三相等，三相等”强调得那么多？强调得那么多？形式化形式化运算带来的。当强调实际应用时，哪些运算带来的。当强调实际应用时，哪些要强

18、调？如何强调？要强调？如何强调？从从“是否能用是否能用基本不等式模型基本不等式模型”入手，即是否有入手，即是否有“和和定定”或或“积定积定”。四、四、“理解数学理解数学”的一个注记的一个注记 为什么叫做为什么叫做“基本不等式基本不等式”？结束语结束语 理解数学的核心是对基本概念及其所反映的数理解数学的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解。学思想方法的理解。围绕数学核心概念、思想方法进行教学；围绕数学核心概念、思想方法进行教学；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；抓基础的含义是：抓基础的含义是：第一，不断回到概念去，从第一，不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；第二，加基本概念出发思考问题、解决问题；第二，加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。题的新思路。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢