取势明道优术.ppt

1、数学教育的取势明道优术数学教育的取势明道优术一、数学的育人功能在哪里？一、数学的育人功能在哪里？数学在基础教育课程体系中的特殊地位，数学在基础教育课程体系中的特殊地位，在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维能力的主要学科。能力的主要学科。数学学科的最大用处是育人，它不仅能培数学学科的最大用处是育人，它不仅能培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼学生的心智、培育理性精神上也是不可替学生的心智、培育理性精神上也是不可替代的。代的。二、如何发挥数学的育人功能？

2、二、如何发挥数学的育人功能？从数学和数学教育的内部寻找。从数学和数学教育的内部寻找。教学中，要以数学地认识问题和解决问题教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。数学教育应该数学教育应该“取势、明道、优术取势、明道、优术”兼顾，兼顾，但目前只追求但目前只追求“术术”，把数学搞成解题，把数学搞成解题术术注重雕虫

3、小技，而忘却了数学的根注重雕虫小技，而忘却了数学的根本。本。三、取势三、取势“势势”是方向，是方向，“取势取势”是是“顺势而为顺势而为”。回归数学教育的本来面目，发挥数学的内回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋。具体而言，就是要为学生的终生势所趋。具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、

4、学会数为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才。决问题的人才。四、明道四、明道 明即明白、懂得，道即规律、原则。明即明白、懂得，道即规律、原则。数学教学首先要遵循数学教学首先要遵循“数学之道数学之道”，懂得数学，懂得数学研究的研究的“基本套路基本套路”。例例 几何研究的几何研究的“基本套路基本套路”从具体事例中抽象出从具体事例中抽象出“基本图形基本图形”后按照如下后按照如下“套路套路”展开：展开：定义定义表示表示分类分类性质（判定）性质（判定）特例特例 什么叫性质？从哪几个方面研究性质？具体切什么叫性质？从哪几个方

5、面研究性质？具体切入点在哪里？入点在哪里？一类数学对象的共性就是性质，变化中的不变一类数学对象的共性就是性质，变化中的不变性、规律性就是性质；性、规律性就是性质；几何要素以及相关要素之间的位置关系、度量几何要素以及相关要素之间的位置关系、度量关系。关系。数学之道数学之道 如何构建如何构建“空间中的点、直线、平面的位空间中的点、直线、平面的位置关系置关系”的研究线索？的研究线索？几何学研究什么？几何学研究什么？物体的形状、大小物体的形状、大小和位置关系。和位置关系。根据已有经验，要研究点、直线、平面的根据已有经验，要研究点、直线、平面的位置关系，首先该做什么？位置关系，首先该做什么？先获得研先获

6、得研究对象究对象定义什么叫点、直线、平面。定义什么叫点、直线、平面。（体（体面面线线点）点）表示表示 如何表示？如何表示？语言表示、符号表示、图语言表示、符号表示、图形表示。形表示。重点、难点：图形表示，有重点、难点：图形表示，有“立体感立体感”。如何用图形表示两条直线异面（借助辅助如何用图形表示两条直线异面（借助辅助平面），直线与平面的相交、垂直、平行平面），直线与平面的相交、垂直、平行，平面与平面的相交、垂直、平行等。，平面与平面的相交、垂直、平行等。位置关系的分类位置关系的分类 借助生活经验、已有的几何知识；借助生活经验、已有的几何知识；重点是平行、垂直，所以要用好长方体。重点是平行、垂

7、直，所以要用好长方体。性质性质 一条直线的两个点在一个平面内，那么这一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；条直线在此平面内；过不在同一直线上的三个点，有且只有一过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面；个平面；两个不重合的平面如果有一个公共点，那两个不重合的平面如果有一个公共点，那么它们有且只有一条过该公共点的直线。么它们有且只有一条过该公共点的直线。这些性质（公理）是怎么提出来的？这些性质（公理）是怎么提出来的？“课标课标”如是说如是说 人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空

8、间是人算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；为载体，直观认识和

9、理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。面积与体积的计算方法。培养学生的系统思维培养学生的系统思维 把认识对象作为系统，从系统和要素、要把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方作用中综合地考察认识对象的一种思维方法法系统思维能极大地简化人们对事物系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维

10、给我们带来整体观、全的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。集中表现。每一个数学概念都可看成一个小系统。每一个数学概念都可看成一个小系统。研究数学对象的系统结构研究数学对象的系统结构 定义定义表示表示分类（以要素为标准）分类（以要素为标准）性质（要素、相关要素的相互关系）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联系（应用联系（应用）；）；定性研究（平直性、对称性等）定性研究（平直性、对称性等）定量定量研究（角、距离、面积、体积等等）。研究（角、距离、面积、体积等等）。数学实践活动中，只要紧

11、紧抓住这一结构数学实践活动中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识。对象的结构，并形成完整的认识。培养系统思维，使学生养成全面思考问题培养系统思维，使学生养成全面思考问题的习惯，避免的习惯，避免“见木不见林见木不见林”，进而使他，进而使他们在面对数学问题时，能把解题目标、实们在面对数学问题时，能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问现目标的过程、解题过程的优

12、化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，。这样，“使学生学会思考，成为善于认使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才识和解决问题的人才”就能落在实处。就能落在实处。“理解数学理解数学”关注数学思想、基本套路关注数学思想、基本套路 例例 等式、不等式的基本性质的本质是什么等式、不等式的基本性质的本质是什么？等式两边同加（减、乘、除）同一个数（等式两边同加（减、乘、除）同一个数（式），等式不变；式），等式不变；不等式两边同加（减、乘、除）同一个数不等式两边同加（减、乘、除）同一个数（式），不等式不变；（式），不等式不变；它们的共同点是什么？它们

13、的共同点是什么？代数学的根源代数学的根源在于代数运算。在于代数运算。学生数学思维之道学生数学思维之道 数学教学还要掌握学生的数学教学还要掌握学生的“思维之道思维之道”，按学生的认知规律教学。例如，按学生的认知规律教学。例如，“数列数列”的学习应该按照这种的学习应该按照这种“认知的规律认知的规律”，为，为学生构建一个研究学生构建一个研究“一列数一列数”的的“基本套基本套路路”，使学生经历研究一个数学对象的基，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。力。等差数列

14、的理解与教学等差数列的理解与教学 数列的概念和表示数列的概念和表示注意从函数的研究注意从函数的研究中得到启发；中得到启发；等差数列：概念、表示（通项公式）、性等差数列：概念、表示（通项公式）、性质（等差中项），等差数列的质（等差中项），等差数列的“原型原型”就就是自然数列是自然数列n；等差数列的前等差数列的前n项和公式：从概念和性质中项和公式：从概念和性质中推出的自然结果；推出的自然结果；应用应用作为知识的联结点。作为知识的联结点。等差数列的概念和通项公式等差数列的概念和通项公式 如何教概念？如何教概念？问题问题 观察下列数列，你有什么发现？观察下列数列，你有什么发现？（1 1）0 0，5 5

15、，1010，1515，；（2 2）5.55.5，7.57.5，9.59.5，11.511.5，；（3 3）0 0，2.52.5，5.05.0，7.57.5，追问：是相邻两项的差吗？从第二项起追问：是相邻两项的差吗？从第二项起 这个问题能引出等差数列的概念吗？这个问题能引出等差数列的概念吗？问题不恰当，源于：问题不恰当，源于：（1 1）对概念理解不到位）对概念理解不到位“等差等差”是由运是由运算引发的！等差数列是一类特殊的数列，算引发的！等差数列是一类特殊的数列，“考察特例考察特例”是一种是一种“基本套路基本套路”；（2 2）对教材不理解）对教材不理解教材是这样开头的：教材是这样开头的：初中学了

16、实数及其运算、性质。现在我们初中学了实数及其运算、性质。现在我们面对一列数（数列），能不能也像研究实面对一列数（数列），能不能也像研究实数一样，研究它的项与项的关系、运算和数一样，研究它的项与项的关系、运算和性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；性质呢？我们先从一些特殊的数列入手；（3 3）对学生不理解）对学生不理解这些数列的共同特征这些数列的共同特征不只是不只是“等差等差”，没有从关系、运算等作，没有从关系、运算等作必要引导，学生的观察没有方向。必要引导，学生的观察没有方向。如何教通项公式？如何教通项公式？什么叫什么叫“通项公式通项公式”？研究一个数学对象的研究一个数学对象的“基本套路基本套路

17、”是是：获得对象（下定义）：获得对象（下定义）表示对象表示对象研究研究性质性质建立与相关知识的联系。建立与相关知识的联系。“通项公式通项公式”等差数列的一种表示，等差数列的一种表示，就像函数的解析式一样，要回答的是就像函数的解析式一样，要回答的是“第第n项项an与序号与序号n的关系的关系”。“求通项公式求通项公式”从定义出发。从定义出发。等差数列的性质等差数列的性质 运算中出现的规律性运算中出现的规律性有了运算，数的有了运算，数的力量无限。力量无限。最简单的等差数列：三项最简单的等差数列：三项“等差中项等差中项”；如何看如何看“等差中项等差中项”？平均数！平均数！当当m+n=p+q时，时，am

18、+an=ap+aq；前前n项和公式的教学设计项和公式的教学设计 作为自然数列性质的自然延伸、一般化作为自然数列性质的自然延伸、一般化将将a1=1，d=1一般化。一般化。如何看如何看1+2+3+n=？有多种角度：有多种角度：“平均数平均数”，不同数求和化归为，不同数求和化归为相同数求和，等；相同数求和，等；“平均数平均数”本质上是等差数列的性质：本质上是等差数列的性质：am+an=ap+aq，当，当m+n=p+q时时这是这是“倒序求和倒序求和”技巧的源头。技巧的源头。21nn教科书的设计思路教科书的设计思路 总体思想：希望学生领悟到总体思想：希望学生领悟到“倒序求和倒序求和”技巧的技巧的来源。来

19、源。问题问题1高斯是如何求出高斯是如何求出1+2+100的？的？问题问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列如果从数列的角度看，你认为他利用了数列1，2，3，的什么特性？的什么特性？问题问题3你能用高斯的方法求你能用高斯的方法求1+2+101吗？吗？问题问题4如何用高斯的方法求如何用高斯的方法求1+2+n？问题问题5一般地，设公差为一般地，设公差为d的等差数列的等差数列an，你能，你能求出求出Sn=a1+a2+an吗？（什么叫求吗？（什么叫求Sn？）？）回到概念去，回到基本性质去回到概念去，回到基本性质去返璞归真，返璞归真，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。至精至简，以简驭繁，大巧若拙。“倒序

20、求和倒序求和”是雕虫小技！是雕虫小技！关于关于“递推数列递推数列”的教学的教学 常见做法常见做法归纳题型，总结技巧：归纳题型，总结技巧：1利用利用a1=S1，an=SnSn-1 2an+1=k an+b型，分型，分k=1和和k1讨论，讨论，k1 时，时，设设an+1+m=k（an+m），），3an+1=kan+f(n)型，分型，分k=1、f(n)是否可求和，是否可求和，k1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q 0，1)，等；，等；4an+1=f(n)an型；型；5.an+2=pan+1+qan(p、q为常数为常数)型；型；题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为题型套题型，题型何其多，没有

21、思想方法作为主线，杂乱无章。主线，杂乱无章。an+1=p an+q型通项公式的教学设计型通项公式的教学设计 核心思想：通过代数变形，将其他数列化归为核心思想：通过代数变形，将其他数列化归为等差、等比数列。等差、等比数列。求求an+1=p an+q型数列通项公式问题，一般地，型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。的基本策略。问题问题1 已知已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求通），求通项公式。项公式。问题问题2 已知已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求通），求通项公式。项公式。问题问题3 已知已

22、知a1=1，an+1=2an+t（n1），求通项），求通项公式。公式。问题问题4已知已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求），求通项公式。通项公式。问题问题1、2可以可以“凑凑”，但问题，但问题4不能，怎么不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题化得到的结构有什么共性？对解决问题4有有什么启发？什么启发？结论：都转化为结论：都转化为an+1+t=2(an+t)的形式。的形式。问题问题4 一般地，对于一般地，对于a1=a，an+1=pan+1+q，如何求通项公式？如何求通项公式？因为推广到了因为推广到了“同同类事

23、物类事物”，所以要注意，所以要注意“完备性完备性”，细节、，细节、特例的追究。特例的追究。加强认识和解决问题方法的教学加强认识和解决问题方法的教学 如何获得研究对象；如何获得研究对象；构建研究数学对象的基本线索；构建研究数学对象的基本线索；发现和提出值得研究的具体问题；发现和提出值得研究的具体问题；掌握研究问题的基本掌握研究问题的基本方法方法。五、优术五、优术“术术”的基本解释是方法、技艺，如技术的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，也经验、技术、方法、手段等的集合体，也是解决问题的流程和策略。是解

24、决问题的流程和策略。“术术”是是“明明道道”后转化而来的具体操作方法，是可以后转化而来的具体操作方法，是可以提高办事效果和效率的技巧。提高办事效果和效率的技巧。“优术优术”即即提升方法、技艺的水平，积累实用的策略提升方法、技艺的水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律（经验之中有，总结经验并从中发现规律（经验之中有规律）等等。规律）等等。例：例：“基本不等式基本不等式”的的教学思考教学思考。让学生解让学生解“好题好题”好题的标准：反映数学本质，与重要的数好题的标准：反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有发

25、展性，性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等。表述形式简洁、流畅且好懂，等等。做题目，为什么？做题目，为什么？现状：现状：解题教学占据大部分时间。认为解题教学占据大部分时间。认为“会解题会解题”最重要，解题速度快就是灵活，最重要，解题速度快就是灵活，会解难题就是数学水平高。因此，数学教会解难题就是数学水平高。因此，数学教学中，为追求速度而搞大运动量刺激学中，为追求速度而搞大运动量刺激-反应反应训练，为解难题而挖空心思地玩技巧等现训练，为解难题而挖空心思地玩技巧等现象司空见惯，至于解题目的，太多老师疏象司空见惯，至于解题目的，太多老师疏于思考。解一辈子题不知道于思考。

26、解一辈子题不知道“为什么为什么”，乃至教一辈子数学不知道教什么的老师大乃至教一辈子数学不知道教什么的老师大有人在。有人在。解题解题的的目的目的 加深理解加深理解概念，牢固概念，牢固掌握双基；掌握双基；加强概念的联系性，从联系中获得灵活运加强概念的联系性，从联系中获得灵活运用知识的灵感；用知识的灵感；学会思考，培养和发展能力；学会思考，培养和发展能力；查漏补缺；查漏补缺；培养学习培养学习（解题）（解题）习惯。习惯。解题教学的要诀解题教学的要诀 习题要精选习题要精选，题量要适度题量要适度；题目要有典型性和多样性，要有一定数量题目要有典型性和多样性，要有一定数量的基本题的基本题；由单一到综合，循序渐

27、进，由浅入深由单一到综合，循序渐进，由浅入深；培养培养“回到概念去回到概念去”、“从联系中寻找新从联系中寻找新思路思路”的习惯；的习惯；一定要有解题后的反思环节一定要有解题后的反思环节一类题目的一类题目的解法。解法。为什么基本概念很重要？为什么基本概念很重要？关于二元一次不等式表示平面区域的教关于二元一次不等式表示平面区域的教学思考学思考 如何提出问题？如何获得猜想？如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般从具体到抽象、从特殊到一般强调归强调归纳的过程。纳的过程。直角坐标系中，方程直角坐标系中，方程xy6=0的解为坐标的解为坐标的点在直线的点在直线l上；同时，直线上；同时，直线l

28、上的点的坐标上的点的坐标都是方程都是方程xy6=0的解的解由此你能提出由此你能提出什么新问题？什么新问题？(x0,y0)不在直线不在直线l上，则上，则x0y060 x0y060或或x0y060。坐标平面被直线坐标平面被直线xy6=0分成三个部分，分成三个部分，它们与它们与xy60，xy6=0，xy60有什么关系呢？有什么关系呢？任意取点，代入，找规律任意取点，代入，找规律发现发现“同侧同侧同号同号”。如何证明如何证明“同侧同号同侧同号”点点P(x0,y0)在直线在直线Ax+By+C=0的的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用不等式语言表达出来如何用不等式语言表达出来！y P(x0,y0)O

29、 x获得证明思路的关键获得证明思路的关键 对解析几何的基本思想（坐标法）的理解对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度；深度；对对“先用平面几何眼光观察，再用代数方先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决法解决”的认识；的认识；在直角坐标系中，几何方位的代数化在直角坐标系中，几何方位的代数化以坐标轴为基准，用不等式表示以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左上下左右右”的关系。所以，归根到底是对直角坐的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。标系、点的坐标等概念的认识和应用。课例：点到直线的距离课例：点到直线的距离公式公式六、取势明道优术的辩证关系六、取势明道优术的辩证关系

30、取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行事；道为术之魂，术为道之体，以道统术事；道为术之魂，术为道之体，以道统术、以术得道才能相得益彰，道不明，术再、以术得道才能相得益彰，道不明，术再优也难免功亏一篑。取势，远见也；明道优也难免功亏一篑。取势，远见也；明道，真知也；优术，实效也。取势明道优术，真知也；优术，实效也。取势明道优术并重，则数学育人可如愿成功。并重，则数学育人可如愿成功。结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。感谢倾听感谢倾听敬请提出宝贵意见敬请提出宝贵意见