《关于清华简〈算表〉的运算范围》续参考模板范本.doc

1、关于清华简算表的运算范围续关于清华简算表的运算范围续前文已述，清华简算表之一次使用可以进行被乘数与乘数为495以内的乘法运算，这是它自身的构造所决定的。再者，这些功能的发挥，还取决于社会需求的推动及数学理论的支持，而这些条件在当时都能得到充分的满足。关于社会生活的需求与两位数以上运算的普遍性。首先，先秦社会对两位数以上运算的需求已非常普遍。战国晚期中山王墓出土兆域图铜版：“王堂方二百尺，丘平者五十尺，其坡五十尺，王后堂方二百尺，其葬，视寕后，丘平者五十尺，其坡五十尺，寕后堂方二百尺，丘平者五十尺，其坡五十尺，堂方百五十尺” 中国社会科学院考古研究所：殷周金文集成，中华书局2007年版5632、

2、5633页16.10478根据所见面积，许多乘积已超过9981的范围，所以涉及之乘数或被乘数必然含有两位数。直接涉及楚地的资料，如包山楚简贷金107简：“羕陵攻尹怠与尹黄为羕陵贷越异之金三十镒二镒以籴种。讫幾不赛金”所贷金三十二镒用以购入种子时可能涉及两位数运算。又同书115简所贷金更达“一百镒二镒四两”，用作支付时，则可能涉及三位数的运算。而涉及面最广，应用最普遍的当数土地尤其是耕地面积的计算。耕地是农民籍以生存的根本，而田税是国家税收的主要来源，因此耕地面积及相关赋税的计算涉及绝大多数家庭及下至基层上至朝廷的各级行政机构。而当时的亩制，不管是百步为亩，还是二百四十步为亩，都涉及两位乃至三位

3、数的运算。周礼地官大司徒：“不易之地，家百亩；一易之地，家二百亩；再易之地，家三百亩” 阮刻十三经注疏（台北）艺文印书馆股份有限公司2007年版156页。，对这些耕地收税，则涉及三位数的运算。如此形势之下，很难想象，算表的运算范围，能停止于乘数与被乘数99之内。再者，当时的数学理论已达到相当高的水平。在社会需求的推动下，数学理论与运算水平必然随之发展，今天虽然看不到年代与算表完全相同的理论书籍，但岳麓书院藏秦简数的出现给我们提供了不可多得的参照 朱汉民、陈松长主编：岳麓书院藏秦简（贰），上海辞书出版社，年版。据整理者介绍，数的形成时间不晚于秦始皇三十五年（公元前212年），与清华简算表的距离尚

4、在百年之内。数的算题涉及九章算术的“方亩”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、商功“、”均输“、“盈不足”、“勾股”八章的内容，是一部实用的算法式数学文献抄本。它产生的年代当更早，距算表的年代当更近，其实用性特点与算表也完全一致。所以，考察数的内容，对理解算表的功能有直接的帮助。秦简数中屡见不鲜之以多个数（包括分数、个位数、十位数）之和为乘数、被乘数或除数、被除数的现象尤其值得关注，举例如下：（一）数面积类算题0829：“（田）广十五步大半（半）步，从（纵）十六步少半（半），成田【一亩】卅二步卅六分步五。述（术）曰：同母，子相从，以分子相乘。”整理者列式为： (15)(16)272(平方步)，即一

5、亩又32。(二)数面积类算题1742：“田广六步半步四分步三，从（纵）七步大半步五分步三，成田五十九步有（又）十五分步之十四。”整理者列式为：（6）(7)59（三）数面积类算题0935：“【田方】五步半步三分步一，四分步一，五分步一，六分步一，七分步一，成田卌三步万九千六【分步之九千百廿九】。”整理者列式为：（5）243（平方步）（四）数衰分类算题0772、1669+0859：“衰分之述（术）。耤有五人，此共买盐一石，一【人出十】钱，一人廿钱，【一】人出卅钱，一人出卌钱，一人出五十钱，今且相去也，欲以钱少【多】分盐。其述（术）曰：并五人钱以为法，有（又）各异置【钱】【以】一石盐乘之以为（实），

6、（实）如法一斗。”整理者列式为：出十钱人分得盐：（10钱1石）（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）.出钱人分得盐：（20钱1石）（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。出卅钱人分得盐：（30钱1石）（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。出卌钱人分得盐：（40钱1石）（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。出五十钱人分得盐：（50钱1石）（10钱+20钱+30钱+40钱+50钱）。（五）数体积类算题1740、1746：“尺，积尺万五千六百。术曰：上后（厚）乘上袤，下后（厚）乘下袤，并之，有（又）并上下袤相乘也，同之二千六百，以高乘之，六乘一。”整理者云：“因算题不完整，上袤、

7、下袤、上后、下后四个数据缺失。复原方案可有多种，例如：上袤一丈，下袤二丈，上后二丈，下后三丈六尺，高三丈六尺。算式为：10202036(2036)(1020)3626003615600(立方尺)从以上五例可看出，当时无论是乘法还是除法运算，都有大量以多个分数、个位数、十位数数字之和为乘数、被乘数或除数的现象，如例（一）、（二）皆以三个数之和为乘数、被乘数，例（三）以七个数之和为乘数与被乘数。例（四）则以五个十位数之和为除数，例（五）则为包括多重多个数之和构成的乘法算式，数少广类算题0598、0789、0855构成的除法算式中，甚至已用十个数之和为除数，皆可说明，对当时人而言，以多个数之和为乘数、被乘数乃至除数、被除数已被普遍应用。算表作为计算器，存在十九个乘数、被乘数，以其数之总和为乘数、被乘数，乃为一次运算的极限，具体运算时要使用几个数是根据运算的需要决定的，根据数显示的理论水平，执掌算表者以诸数之和为乘数、被乘数，必然能轻易突破一百以上的乘法运算。再者，根据数所见多重运算的模式，又算表本身具备可以反复使用的特点，所以一个算式多次入表也是正常的。不可否认，对乘数、被乘数过千的大数运算，通过位值移动，筹算的功能远超算表，或许这就是筹算能继续生存而算表失传的原因。3 / 3