北京市2021年中考数学一轮复习ppt课件：第13课时　二次函数的图象与性质.pptx

1、第13课时二次函数的图象与性质课标要求北京考情概览1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.3.(选学)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数2020年 26题 综合考查二次函数的图象与性质2019年 26题综合考查二次函数的图象与性质,二次函数图象与线段公共点问题2018年 26题二次函数的图象与性质,二次函数图象与线段的公共点问题2017年 27题 二次函数与一次函数综合题2016年 27题 抛物线的性质,整点问题一

2、、二次函数的概念和图象的画法知 识 梳 理一般式一般地,形如(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当时,y=ax2+bx+c是二次函数顶点式y=a(x-h)2+k(a0),函数的对称轴为直线,顶点坐标为 图象的画法(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图y=ax2+bx+ca0 x=h(h,k)二、二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a0)对称轴x=或x=(其中x1,x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标)顶点坐标(

3、1)利用顶点坐标公式求解;(2)用配方法把一般式转化为顶点式求解;(3)将对称轴x=x0代入函数解析式求解（续表）三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系a决定抛物线开口方向a0抛物线开口;a0抛物线与y轴交于正半轴;c0抛物线与y轴交于负半轴向上左侧四、二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:已知所设表达式顶点+其他y=a(x-h)2+k(a0)顶点在原点:(a0)顶点在y轴上:(a0)顶点在x轴上:(a0)与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)+其他y=a(x-x1)(x-x2)(a0)任意三个点y=ax2+bx+c(a0)过原点:y=a

4、x2y=ax2+ky=a(x-h)2y=ax2+bx五、二次函数图象的平移y=2(x+1)2+1 y=2(x+3)2+1图形表示示例【温馨提示】二次函数图象平移时,二次项系数不变二次函数y=2x2+4x+3,将该函数化为顶点式为 ;(1)向左平移2个单位后的解析式为 ;(2)向右平移2个单位后的解析式为 ;(3)向上平移2个单位后的解析式为 ;(4)向下平移2个单位后的解析式为 y=2(x-1)2+1 y=2(x+1)2+3y=2(x+1)2-1对 点 演 练题组一必会题B2.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)A3.二次

5、函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4C.5D.6C4.在抛物线y=-x2+2x-3中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x-1B.x1D.x-1B5.二次函数y=x2+b的图象经过点(1,4),则b的值是;若该二次函数图象还经过点(-1,m),则m的值是.36.写出抛物线y=2(x-1)2上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以是.(2,2),(0,2)(答案不唯一)4题组二易错题【失分点】利用配方法求顶点坐标时,学生容易将二次项系数自动变为1导致出错.7.二次函数y=2x2+4x+4的图象的顶点坐标为.(-1,2)8.若抛物线的顶点为(-2,3),且经过点(-1,5

6、),则其表达式为.y=2x2+8x+11考向一二次函数的图象与性质例1 已知二次函数y=x2-4x+3.(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标;(2)求二次函数的图象的对称轴和顶点坐标;(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围.解:(1)对于y=x2-4x+3,令y=0,解得x=1或x=3,二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0).(2)y=x2-4x+3=x2-4x+22-4+3=(x-2)2-1,二次函数的图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,-1).(3)x2.考向精练1.2020东城区二模若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(ay1

7、y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12A2.2018北京7题跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).图13-1记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m图13-1答案 B3.2020北京十一学校九下月考老师给出一个二次函数,甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质.甲:函数图象不经过第三、四象限;乙:当x0.已

8、知这四位同学的描述都正确,请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式:.y=(x-1)2(答案不唯一)考向二二次函数图象与a,b,c的关系例2 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1,其图象如图13-2所示,现有下列结论:abc0,b-2a0,a+bn(an+b)(n1),正确的是()A.B.C.D.图13-2答案 D【方法点析】解此类问题的一般步骤:(1)判断a的符号:开口向上,则a0;开口向下,则a0;交点在y轴负半轴,则c0;2a+b=0;9a-3b+c=0;若mn0,则x=m-1时的函数值小于x=n-1时的函数值.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.图13-3答

9、案 D考向三二次函数解析式的确定例3(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.y随x变化的部分数值规律如下表:点(-1,0),(3,0),(0,3)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上;已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图13-4).(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.图13-4x-1012y0343解:(1)选择,根据图象可知,抛物线顶点坐标为(1,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.提示:若选择,

10、将(-1,0),(0,3),(1,4)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c,求得解析式为y=-x2+2x+3;若选择,设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),将(0,3)代入解析式,求得抛物线解析式为y=-x2+2x+3.例3(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.解:(2)答案不唯一,如抛物线y=-x2+2x+3的性质:对称轴为直线x=1,当x=1时,函数有最大值,为4,当x1时,y随x的增大而增大.【方法点析】在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法.(1)已知任意三点的坐标选用一般式y=ax2+bx+c(a0);(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式y

11、=a(x-h)2+k(a0);(3)已知抛物线与x轴的两个交点坐标,常选用交点(双根)式y=a(x-x1)(x-x2)(a0).考向精练5.2020燕山地区期末已知抛物线y=x2+bx+c经过原点,对称轴为直线x=1,求该抛物线的解析式.考向四二次函数的图象的平移、对称变换例4 2020海淀区一模将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是()A.y=2x2+3B.y=2x2-3C.y=2(x-3)2D.y=2(x+3)2答案 B解析 依题意,得平移后抛物线顶点坐标为(0,-3).平移不改变二次项系数,故得到的抛物线解析式为y=2x2-3.故选B.【方法点析】解决抛物线平移的问题,要

12、抓住不变量.因为平移不改变抛物线的形状,所以抛物线平移时a的值不变.此类问题通常要把解析式配方转化为顶点式,遵循“左加右减,上加下减”的平移原则,确定平移后抛物线的函数解析式.考向精练6.2020西城区期末在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,向上平移1个单位长度,得到抛物线()A.y=(x-2)2+1B.y=(x-2)2-1C.y=(x+2)2+1D.y=(x+2)2-1答案 A解析 抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),点(0,0)向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得(2,1),所以平移后抛物线的顶点坐标为(2,1),所以平移后抛物线的解析式为y=(x-2)

13、2+1.故选A.7.2020丰台区二模如图13-5,抛物线y=x2-1.将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1,将C1沿x轴翻折记作C2,C1和C2构成的图形记作C3.关于图形C3,给出如下四个结论,其中错误的是()A.图形C3恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B.图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1C.图形C3的周长大于2D.图形C3所围成的区域的面积大于2且小于图13-5答案 C解析如图所示,A.图形C3恰好经过(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)4个整点,故正确;B.由图象可知,图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1,故正确;C.图形C3的周长小于O的周长,所以图形C3的周长小于2,故错误;D.图形C3所围成的区域的面积小于O的面积,大于O内接正方形的面积,所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于,故正确.故选C.