2021年中考一轮复习数学 　因式分解 ppt课件.pptx

1、分层练透教材，多重拓展培优第四章因式分解1因式分解过基础教材核心知识精练答案1.B【解析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式.A项是整式的乘法,B项是因式分解,C,D项的等号右边不是几个整式的积的形式,所以不是因式分解.故选B.知识点1 因式分解的定义2.下列从左到右的变形中是因式分解的有()x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;x3+x=x(x2+1);(x-y)2=x2-2xy+y2;x2-9y2=(x+3y)(x-3y).A.1个B.2个C.3个D.4个答案2.B【解析】没有把一个多项式化成几个整式的积的形式,故不是因式分解;是整式的乘法,故不是因式分解;和都是把一个多项式

2、化成几个整式的积的形式,故和是因式分解.故选B.知识点1 因式分解的定义3.下列多项式因式分解的结果为-(2a+b)(2a-b)的是()A.4a2-b2B.4a2+b2C.-4a2-b2D.-4a2+b2答案3.D【解析】-(2a+b)(2a-b)=-(4a2-b2)=-4a2+b2.故选D.知识点2 因式分解与整式乘法的关系4.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c的值为()A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6答案4.D【解析】根据题意,得2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6,所以b=-4,c

3、=-6.故选D.知识点2 因式分解与整式乘法的关系5.若x2+mx-15=(x-5)(x+n),则mn的值为.答案5.-6【解析】由x2+mx-15=(x-5)(x+n)=x2+(-5+n)x-5n,得m=-5+n,-15=-5n,解得m=-2,n=3,则mn=(-2)3=-6.知识点2 因式分解与整式乘法的关系本题考查多项式的乘法法则、因式分解的概念,根据对应项的系数相等列式是解题的关键.名师点睛6.通过图中阴影部分的面积,可以验证的等式是.答案6.ab-ax-bx+x2=(a-x)(b-x)【解析】题图中阴影部分的面积=大长方形面积-长为a、宽为x的长方形面积-长为b、宽为x的长方形面积+

4、边长为x的正方形面积=(a-x)(b-x),ab-ax-bx+x2=(a-x)(b-x).知识点2 因式分解与整式乘法的关系知识点2 因式分解与整式乘法的关系答案知识点2 因式分解与整式乘法的关系8.(1)3.2154+1542.8-2154能被4整除吗?为什么?(2)2 0213-2 021能被2 022整除吗?为什么?答案8.【解析】(1)能.理由如下:3.2154+1542.8-2154=154(3.2+2.8-2)=1544.1544能被4整除,3.2154+1542.8-2154能被4整除.知识点3 因式分解的应用答案(2)能.理由如下:2 0213-2 021=2 021(2 02

5、1-1)(2 021+1)=2 0212 0202 022.2 0212 0202 022能被2 022整除,2 0213-2 021能被2 022整除.知识点3 因式分解的应用判断一个数能否被某一个数整除,关键是要看在分解出的因数中有没有这个数或这个数的倍数.名师点睛2提公因式法过基础教材核心知识精练1.下列多项式的各项中,公因式是a的是()A.ax+ay+5B.3ma-6ma2C.4a2+10abD.a2-2a+ma答案1.D【解析】A项没有公因式;B项,3ma-6ma2各项的公因式是3ma;C项,4a2+10ab各项的公因式是2a;D项,a2-2a+ma各项的公因式是a.故选D.知识点1

6、 公因式的定义2.多项式-6xyz+3xy2-9x2y各项的公因式是()A.-3xB.3xzC.3yzD.-3xy答案2.D知识点1 公因式的定义3.多项式2(a+b)2-8(a+b)(a-b)各项的公因式是()A.a+bB.2(a+b)C.2(a+b)2(a-b)D.2(a+b)(a-b)答案3.B知识点1 公因式的定义4.写出下列多项式各项的公因式:(1)2x2+6x3;(2)a3x2-a2y2;(3)-24m2x3+16n2x2;(4)5(a-b)3+10(a-b).答案4.【解析】(1)2x2.(2)a2.(3)-8x2.(4)5(a-b).知识点1 公因式的定义理解公因式的含义是解题

7、的关键,注意从系数、字母、指数三个方面确定.第(3)题中,当一个多项式的首项系数是负数时,公因式的系数一般也应为负数.名师点睛5.分解因式x3+4x的结果是()A.x(x2+4)B.x(x+2)(x-2)C.x(x+2)2D.x(x-2)2答案5.A知识点2 用提公因式法分解因式6.2020四川广元期末将-3a2b-6ab2的各项提公因式后,另一个因式是()A.a+2bB.-a+2bC.-a-bD.a-2b答案6.A【解析】多项式-3a2b-6ab2各项的公因式为-3ab,提出公因式-3ab后,另一个因式就是用原多项式-3a2b-6ab2除以公因式-3ab所得的商,显然第一项为a,第二项为2b

8、,所以另一个因式为a+2b.故选A.知识点2 用提公因式法分解因式7.2019广东模拟分解因式:mn(n-m)-n(m-n)=.答案7.n(n-m)(m+1)【解析】mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1).知识点2 用提公因式法分解因式8.用提公因式法将下列各式分解因式.(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z;(2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c;(3)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.知识点2 用提公因式法分解因式答案8.【解析】(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z=4xy2(xy+2xz-3z).(2)-a2b3c+2

9、ab2c3-ab2c=-ab2c(ab-2c2+1).(3)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3=5(x-2y)3(x+4y).知识点2 用提公因式法分解因式提公因式法的注意事项如果多项式的首项系数是负数,通常先提出“-”号.可按下列口诀分解因式:首项有“负”先提“负”,各项有“公”要提“公”,某项提出莫漏“1”,括号里面分到底.归纳总结9.利用因式分解简化运算:(1)2 019+2 0192-2 0192 020;(2)56.21 999-462199.9.答案9.【解析】(1)2 019+2 0192-2 0192 020=2 019(1+2

10、019-2 020)=0.(2)56.21 999-462199.9=562199.9-462199.9=199.9(562-462)=199.9100=19 990.知识点3 用提公因式法分解因式的应用10.2020浙江湖州吴兴区期末已知长和宽分别是a,b的长方形的周长为10,面积为6,求a2b+ab2的值.答案10.【解析】长和宽分别是a,b的长方形的周长为10,面积为6,2(a+b)=10,ab=6,a+b=5,a2b+ab2=ab(a+b)=30.知识点3 用提公因式法分解因式的应用答案知识点3 用提公因式法分解因式的应用过能力能力强化提升训练1.2020辽宁铁岭期末下列各式中,没有公

11、因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.ab-ac与ab-bcC.2(a-b)2与3(b-a)3D.mx-my与ny-nx答案1.B【解析】A项,6x2-4x=2x(3x-2),3x-2与6x2-4x有公因式3x-2,故A项不符合题意;B项,ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),ab-ac与ab-bc没有公因式,故B项符合题意;C项,2(a-b)2与3(b-a)3有公因式(a-b)2,故C项不符合题意;D项,mx-my=m(x-y),ny-nx=-n(x-y),mx-my与ny-nx有公因式x-y,故D项不符合题意.故选B.2.-6xn-3x2n分解因式正确的是()A.3(-2

12、xn-x2n)B.-3xn(2-xn)C.-3(2xn+x2n)D.-3xn(xn+2)答案2.D3.计算(-2)101+(-2)100的结果是()A.-2B.-2100C.2D.2100答案3.B【解析】(-2)101+(-2)100=(-2)100(-2+1)=-(-2)100=-2100.故选B.4.2020湖南娄底期末已知ab=2,a-3b=-5,则代数式a2b-3ab2+ab的值为()A.-6B.-8C.-10D.-12答案4.B【解析】a2b-3ab2+ab=ab(a-3b+1),ab=2,a-3b=-5,原式=2(-4)=-8.故选B.5.已知m为有理数,则整式m2(m2-1)-

13、m2+1的值()A.不是负数B.恒为负数C.恒为正数D.不等于0答案5.A【解析】m2(m2-1)-m2+1=m2(m2-1)-(m2-1)=(m2-1)20,即不为负数.故选A.6.2020河北保定期末多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n),则m-n的值是()A.0B.4C.3或-3D.1答案6.C【解析】(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)=2(x+2)(x-1),(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n),2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x+n),m=2,n=-1或m=-1,n=2,m-n=3或

14、m-n=-3.故选C.7.易错题2020山东聊城中考因式分解:x(x-2)-x+2=.答案7.(x-2)(x-1)【解析】x(x-2)-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1).8.如果a2+a+1=0,那么a2 021+a2 020+a2 019=.答案8.0【解析】因为a2+a+1=0,所以a2 021+a2 020+a2 019=a2 019(a2+a+1)=0.9.已知x2-x-1=0,则-x3+2x2+2 021=.答案9.2 022【解析】因为x2-x-1=0,所以x2-x=1.-x3+2x2+2 021=-x3+x2+x2+2 021=-x(x2-x)+x2+2 0

15、21,将x2-x=1代入,得原式=-x+x2+2 021=(x2-x)+2 021=2 022.已知代数式的值求另一个代数式值的基本思路用已知表示未知,在表示前可把已知的代数式进行适当变形.此题在对未知的式子变形时进行了局部分解,也用到了因式分解的知识.归纳总结10.2019江苏盐城大丰区期中已知a+b=2,ab=3,则代数式5a3b2+5a2b3+3a+3b的值为.答案10.96【解析】因为a+b=2,ab=3,所以5a3b2+5a2b3+3a+3b=5a2b2(a+b)+3(a+b)=(a+b)(5a2b2+3)=2(45+3)=96.答案12.已知在RtABC中,A,B,C的对边分别为a

16、,b,c,C=90,c=11,ABC的周长为24.求证:代数式3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)的值为0.答案12.【解析】RtABC的周长为24,a+b+c=24.c=11,C=90,a+b=13,a2+b2=112=121.3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)=3(a2+b2)(a+b)-363(a+b)=3(a+b)(a2+b2-121).a+b=13,a2+b2=121,原式=313(121-121)=0.代数式3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)的值为0.13.先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+

17、1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述分解因式的方法是,共应用了次;(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)2 022,则需应用上述方法次,结果是;(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数).答案13.【解析】(1)提公因式法2(2)2 022(1+x)2 023(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n=(1+x)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n-1=(1+x)21+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n-2=(1+x)n

18、+1.解决探究型问题的一般思路对于与等式有关的规律探究型问题,观察时要对所给等式作横向的分析,以确定等式左、右两边之间的数量关系,有些情况下还要对所给等式作纵向对比,以便发现一般规律.归纳总结3公式法课时1用平方差公式分解因式课时1过基础教材核心知识精练1.2020浙江金华中考下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.a2+b2B.2a-b2C.a2-b2 D.-a2-b2答案1.C知识点1 用平方差公式分解因式2.易错题2019广西贺州中考把多项式4a2-1分解因式,结果正确的是()A.(4a+1)(4a-1)B.(2a+1)(2a-1)C.(2a-1)2D.(2a+1)2答案2.B

19、【解析】4a2-1=(2a)2-12=(2a+1)(2a-1).故选B.知识点1 用平方差公式分解因式3.把x2-(y+1)2分解因式,结果正确的是()A.(x+y+1)(x-y-1)B.(x+y-1)(x-y-1)C.(x+y-1)(x+y+1)D.(x-y+1)(x+y+1)答案3.A【解析】x2-(y+1)2=x+(y+1)x-(y+1)=(x+y+1)(x-y-1).故选A.知识点1 用平方差公式分解因式4.某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-=(x2+4)(x+2)(x-)中的两个数字弄污了,则式子中的,对应的一组数字是()A.8,1B.16,2C.24,3 D.64,8答案4.

20、B【解析】当=16,=2时,等式的右边为(x2+4)(x+2)(x-2)=x4-16,等式左边为x4-16,等式左边=等式右边.故选B.知识点1 用平方差公式分解因式5.原创题分解因式:16(a+2b)2-(2a-b)2=.答案5.(6a+7b)(2a+9b)【解析】16(a+2b)2-(2a-b)2=4(a+2b)+(2a-b)4(a+2b)-(2a-b)=(4a+8b+2a-b)(4a+8b-2a+b)=(6a+7b)(2a+9b).知识点1 用平方差公式分解因式答案知识点1 用平方差公式分解因式7.把下列多项式分解因式:(1)16m2-9n2;(2)a3b-ab;(3)-3xy3+27x

21、3y;(4)(x+y+z)2-(x-y+z)2.答案7.【解析】(1)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).(3)-3xy3+27x3y=-3xy(y2-9x2)=-3xy(y+3x)(y-3x).(4)(x+y+z)2-(x-y+z)2=(x+y+z)+(x-y+z)(x+y+z)-(x-y+z)=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z).知识点1 用平方差公式分解因式答案知识点2 平方差公式分解因式的应用9.一个长方形的面积是(x2-9)m2,其

22、长为(x+3)m,用含有x 的整式表示它的宽为m.答案9.(x-3)【解析】x2-9=(x+3)(x-3),因为长方形的长为(x+3)m,所以宽为(x-3)m.知识点2 平方差公式分解因式的应用答案知识点2 平方差公式分解因式的应用11.2020广东汕头潮南区期末如图,一长方形模具长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方形孔.(1)求图中阴影部分的面积(用含a,b的式子表示);(2)当a=15.7,b=4.3时,用因式分解的方法计算阴影部分的面积.答案11.【解析】(1)2aa-2b2=2(a2-b2),题图中阴影部分的面积为2(a2-b2).(2)当a=15.7,b=4.3时,2(a2-

23、b2)=2(a+b)(a-b)=2(15.7+4.3)(15.7-4.3)=456.题图中阴影部分的面积为456.知识点2 平方差公式分解因式的应用过能力能力强化提升训练1.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式x2-y2中“”的部分,若该二项式能分解因式,则“”不可能是()A.xB.4C.-4D.9答案1.C【解析】A项,若“”是x,则x2-xy2=x(x-y2),所以A项不符合题意;B项,若“”是4,则x2-4y2=(x+2y)(x-2y),所以B项不符合题意;C项,若“”是-4,则x2+4y2无法分解因式,所以C项符合题意;D项,若“”是9,则x2-9y2=(x+3y)(x-3y)

24、,所以D项不符合题意.故选C.2.分解因式:3y4-3x4=()A.3(y2+x2)(y2-x2)B.3(y2+x2)(y-x)(y+x)C.3(y2+x2)(y-x)2D.3(y+x)2(y-x)2答案2.B【解析】3y4-3x4=3(y4-x4)=3(y2+x2)(y2-x2)=3(y2+x2)(y+x)(y-x).故选B.3.若多项式(2x)n-81能分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=()A.2B.4C.6D.8答案3.B【解析】(4x2+9)(2x+3)(2x-3)=(4x2+9)(4x2-9)=16x4-81=(2x)4-81=(2x)n-81,n=4.故选B.4.

25、对于任意整数m,多项式(4m+5)2-9都能()A.被8整除B.被m整除C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除答案4.A【解析】(4m+5)2-9=(4m+5)2-32=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1).m是整数,而(m+2)和(2m+1)都是随着m的变化而变化的数,该多项式肯定能被8整除.故选A.5.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应昌、爱、我、宜、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌答案

26、5.C【解析】(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b),结合题意及选项知C正确.故选C.6.2019福建厦门海沧区月考设a=192918,b=8882-302,c=6982-2202,则数a,b,c的大小关系是.(用“”号连接)答案6.acb【解析】a=192918=361918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858918,c=6982-2202=(698+220)(698-220)=918478,所以acb.7.2019陕西西安交大附中期中如图,从边长为a+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形

27、,剩余部分沿虚线剪开,拼成一个如图所示的长方形(不重叠,无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.答案7.a+6【解析】根据题意,得拼成的长方形的面积为(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),因为拼成的长方形的一边长为a,所以拼成的长方形的另一边长是a+6.8.2019重庆沙坪坝区期中已知x,y,z是ABC的三边长,且满足2xy+x2=2yz+z2,则ABC的形状是.答案8.等腰三角形【解析】2xy+x2=2yz+z2,2xy+x2-2yz-z2=0,(x-z)(x+z+2y)=0.x,y,z是ABC的三边长,x+z+2y0,x-z=0,x=z,ABC是等腰三角形.9.某小

28、区有一块边长为13.2 m的正方形空地,现准备在其四个角各建一个边长为3.4 m的正方形亭子,剩余的部分修成草地.若购买130 m2的草皮,能否铺满草地?请说明理由.答案9.【解析】能铺满草地.理由如下:13.22-43.42=13.22-223.42=13.22-6.82=(13.2+6.8)(13.2-6.8)=206.4=128(m2).因为1280,y0),则该正方形的边长为.答案8.3x+y【解析】因为9x2+6xy+y2=(3x+y)2,所以正方形的边长为3x+y.知识点2 用完全平方公式分解因式的应用9.用简便方法计算:(1)992+198+1;(2)2042+204192+96

29、2.答案9.【解析】(1)992+198+1=992+2991+12=(99+1)2=10 000.(2)2042+204192+962=2042+220496+962=(204+96)2=90 000.知识点2 用完全平方公式分解因式的应用10.若a,b,c是ABC的三边,满足a2-2ab+b2=0且b2-c2=0,判断并说明ABC的形状.答案10.【解析】ABC是等边三角形.理由如下:a2-2ab+b2=0,(a-b)2=0,a=b.b2-c2=0,(b-c)(b+c)=0,b=c,a=b=c,ABC是等边三角形.知识点2 用完全平方公式分解因式的应用11.把下列各式因式分解:(1)-x5

30、y3+x3y5;(2)4(a-b)2-16(a+b)2;(3)-8ax2+16axy-8ay2.知识点3 综合运用提公因式法和公式法分解因式答案11.【解析】(1)-x5y3+x3y5=-x3y3(x2-y2)=-x3y3(x+y)(x-y).(2)4(a-b)2-16(a+b)2=4(a-b)2-4(a+b)2=4(a-b)-2(a+b)(a-b)+2(a+b)=4(-a-3b)(3a+b)=-4(a+3b)(3a+b).(3)-8ax2+16axy-8ay2=-8a(x2-2xy+y2)=-8a(x-y)2.知识点3 综合运用提公因式法和公式法分解因式12.2019福建福州三模已知ab=3

31、,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.答案12.【解析】a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.ab=3,a+b=5,原式=352=75.知识点3 综合运用提公因式法和公式法分解因式过能力能力强化提升训练1.将多项式4x2+1加上一项,使它能化成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是()A.4xB.-4xC.4x4D.2x答案1.D【解析】A项,4x2+1+4x=(2x+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;B项,4x2+1-4x=(2x-1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;C项,4x4+4x2

32、+1=(2x2+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;D项,4x2+1+2x无法运用完全平方公式分解因式,故此选项符合题意.故选D.2.若a,b,c是三角形的三边长,则代数式a2+2bc-c2-b2的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能答案2.B【解析】a2+2bc-c2-b2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-(b-c)2=a+(b-c)a-(b-c)=(a+b-c)(a+c-b),因为三角形的任意两边之和大于第三边,所以a+b-c0,a+c-b0,所以原式大于0.故选B.答案答案答案6.2020北京怀柔区模拟给出下列单项式:4m2,9b2a,6a

33、2b,4n2,-4n2,-12ab,-8mn,a3.请在以上单项式中选取三个组成一个能先用提公因式法再用公式法因式分解的多项式,并将这个多项式分解因式.答案6.【解析】4m2+4n2-8mn=4(m2+n2-2mn)=4(m-n)2;a3+9b2a+6a2b=a(a2+9b2+6ab)=a(a+3b)2.(答案不唯一,写出一个即可)7.2019河北唐山期末下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2 (第三步)=(x2-4x+4)2.(第四步)回答下列问

34、题:(1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是()A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底?若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.答案7.【解析】(1)C(2)不彻底.因式分解的结果是(x-2)4.(3)设x2-2x=y,则(x2-2x)(x2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.答案专项5因式分解及其应用过专项中考常考题型专练1.2020江苏苏州期末已知a+b=2,则a

35、2-b2+2a+6b+2的值为.答案1.10【解析】a+b=2,a2-b2+2a+6b+2=(a+b)(a-b)+2a+6b+2=2(a-b)+2a+6b+2=2a-2b+2a+6b+2=4a+4b+2=4(a+b)+2=42+2=10.类型1 提公因式法和公式法的综合应用2.把下列各式分解因式:(1)(x-1)+b2(1-x);(2)-3x7+24x5-48x3;(3)(x+3)(x+4)+(x2-9).类型1 提公因式法和公式法的综合应用答案类型1 提公因式法和公式法的综合应用3.已知2x-y=1,xy=2,求4x3y-4x2y2+xy3的值.答案3.【解析】4x3y-4x2y2+xy3=

36、xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2.2x-y=1,xy=2,4x3y-4x2y2+xy3=21=2.类型1 提公因式法和公式法的综合应用4.发现与探索.(1)根据小明的解答(图1)将下列各式因式分解.a2-6ab+5b2;(a-1)2-8(a-1)+12.(2)根据小丽的思考(图2)解决下列问题.说明代数式a2-12a+20的最小值为-16;求代数式-a2+12a-8的最大值.类型2 与因式分解有关的探究答案4.【解析】(1)a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=(a-3b)2-4b2=(a-5b)(a-b).答案(a-1)2-8(a-1)+12=(a-1)

37、2-8(a-1)+16-16+12=(a-5)2-22=(a-7)(a-3).(2)a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=(a-6)2-16,无论a取何值,(a-6)20都成立,(a-6)2-16-16,即代数式a2-12a+20的最小值为-16.-a2+12a-8=-(a2-12a+8)=-(a2-12a+36-36+8)=-(a-6)2+36-8=-(a-6)2+28,无论a取何值-(a-6)20都成立,-(a-6)2+2828,即代数式-a2+12a-8的最大值为28.类型2 与因式分解有关的探究5.2020山东济南历下区期中阅读下列材料:若一个正整数x能表示成a2-b2(

38、a,b是正整数,且ab)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a与b是x的一个平方差分解.例如:因为5=32-22,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的一个平方差分解.再如:因为M=x2+2xy=x2+2xy+y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整数),所以M是“明礼崇德数”,(x+y)与y是M的一个平方差分解.(1)判断:9“明礼崇德数”(填“是”或“不是”).(2)已知N=x2-y2+4x-6y+k(x,y是正整数,k是常数,且xy+1),要使N是“明礼崇德数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.类型2 与因式分解有关的探究答案5.【解析】(1)是9=52-42,9是“明礼崇德数”

39、.(2)N=x2-y2+4x-6y+k=(x2+4x+4)-(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2-(y+3)2+k+5,当k+5=0时,N=(x+2)2-(y+3)2,为“明礼崇德数”,此时k=-5,故当k=-5时,N为“明礼崇德数”.类型2 与因式分解有关的探究 易错疑难集训集训过易错教材易混易错集训1.分解因式:(1)15a2+45ab+5a;(2)(2a-1)(a+1)-7(a+1);(3)(a+b)2+(a+b)(a-3b);(4)(x2+y2)2-4x2y2.答案1.【解析】(1)15a2+45ab+5a=5a3a+5a9b+5a1=5a(3a+9b+1).(2)(2a-1)(a

40、+1)-7(a+1)=(a+1)(2a-1-7)=(a+1)(2a-8)=2(a+1)(a-4).易错点1 因式分解时漏项或分解不彻底答案(3)(a+b)2+(a+b)(a-3b)=(a+b)(a+b+a-3b)=(a+b)(2a-2b)=2(a+b)(a-b).(4)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)=(x-y)2(x+y)2.易错点1 因式分解时漏项或分解不彻底第(4)题的易错之处是直接利用平方差公式分解,出现(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)就结束.忽略x2+y2-2xy与x2+y2+2xy还能再用完全平方公

41、式分解,导致因式分解不彻底而出错.进行因式分解时,最后一定要检查是否已经分解到底,一是检查公因式是否已经全部提出,二是检查提出公因式后的式子是否还能利用公式分解.易错分析2.分解因式:6(m-n)3-12(n-m)2.答案2.【解析】6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)2(m-n)-2=6(m-n)2(m-n-2).易错点2 分解因式时怎么判断符号是否变化受课本例题a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)的影响,以为凡是被减数与减数的位置变换时,括号前的符号都要改变.其实,对于式子(y-x)n,当变换被减数y与减数x的位置时,括号前的符号是否需要改变,还需要看指数n,当

42、n是奇数时,(y-x)n=-(x-y)n,也就是说,当n是奇数时,括号前的符号要改变,当n是偶数时,则不需要改变.易错分析3.分解因式:9(m+n)2-16(n-m)2.答案3.【解析】9(m+n)2-16(n-m)2=3(m+n)2-4(n-m)2=3(m+n)+4(n-m)3(m+n)-4(n-m)=(3m+3n+4n-4m)(3m+3n-4n+4m)=(7n-m)(7m-n).易错点2 分解因式时怎么判断符号是否变化本题容易误认为n-m=-(m+n).其实,可以运用逆向思维,运用去括号法则,把式子-(m+n)去括号得-m-n,显然与n-m不相等,因而n-m=-(m+n)是错误的.易错分析

43、4.分解因式:-16axy-8ax2-8ay2.答案4.【解析】-16axy-8ax2-8ay2=-8a(2xy+x2+y2)=-8a(x+y)2.易错点2 分解因式时怎么判断符号是否变化本题在提公因式时,忘改变括号内的符号而出错.易出现如下错解:-16axy-8ax2-8ay2=-8a(2xy-x2-y2)=8a(x-y)2.易错分析5.多项式9a2+1加上一个单项式后,能够成为一个整式的平方,则加上的单项式是.答案易错点3 对完全平方公式的特征考虑不全易错分析6.已知x2-(m-2)x+49是完全平方式,则m=.答案6.16或-12【解析】x2-(m-2)x+49=x2-(m-2)x+72

44、,-(m-2)x=2x7,解得m=16或m=-12.易错点3 对完全平方公式的特征考虑不全7.如果a+b=2 020,a-b=1,那么a2-b2=.答案7.2 020【解析】a2-b2=(a+b)(a-b)=2 0201=2 020.易错点4 求值时忽视整体代入答案易错点4 求值时忽视整体代入过疑难常考疑难问题突破1.分解因式:a2-b2-c2-2bc.答案1.【解析】a2-b2-c2-2bc=a2-(b2+c2+2bc)=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c).疑难点1 灵活运用公式法分解因式2.分解因式:4a(a-1)-(b+1)(b-1).答案2.【解析】4a(a-1)-(b+

45、1)(b-1)=4a2-4a-b2+1=(4a2-4a+1)-b2=(2a-1)2-b2=(2a-1+b)(2a-1-b).疑难点1 灵活运用公式法分解因式3.用简便方法计算:8502-1 700848+8482.答案3.【解析】8502-1 700848+8482=8502-2850848+8482=(850-848)2=22=4.疑难点2 因式分解在计算中的应用4.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1,2两种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是.(用含a,b的代数式表示)答案疑难点3 因式分解的实际应用5.通过对因式分解的学习,我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式

46、分解.如图1,有1,2,3号卡片各若干张,如果选取1号、2号、3号卡片的数量分别为1张、2张、3张,你能用图2中的卡片通过拼图形象地说明a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)吗?请画出图形.答案5.【解析】如图所示:由图可知大长方形的面积为a2+3ab+2b2或(a+b)(a+2b),所以a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).疑难点3 因式分解的实际应用6.在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分.而诸如“123456”“出生日期”等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是

47、:将一个多项式分解因式,如多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171920或201719等.(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以得到哪些数字密码?(任意写出三组)(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,两条直角边长分别为x,y,求出一组由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码.(写出一组即可)(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本题的方法,当x=27时可以得到其中一组密码为242834,求m,n的值.疑难点3 因式分解的实际应用答案疑难点3 因式分解的实际应用