北师大版九年级下册数学《3.3 垂径定理》课件.pptx

1、*3.3 垂径定理 第三章 圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. .（难点） 学习目标 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新课导入新课 情境引入 问题：如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为 P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AP=BP 弧: AC=BC,

2、AD=BD 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的 两个半圆重合，点A与点B重合，AP与 BP重合，AC和BC,AD与BD重合 O A B D P C 讲授新课讲授新课 垂径定理及其推论 一 O A B D C P 试一试 已知：在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD，垂足 为P. 求证：AP=BP， AC =BC, AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即AOB是等腰三角形. ABCD， AP=BP， AC =BC. AD =BD， AOC=BOC. 从而AOD=BOD. 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 垂径定理 O A B C D P 垂直

3、于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. CD是直径，CDAB，(条件) AP=BP, AC =BC, AD =BD.(结论) 归纳总结 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，

4、并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ 过圆心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： CDCD是直径是直径 CDABCDAB，垂足为，垂足为E E AE=BEAE=BE AC=BC AC=BC AD=BDAD=BD 证明猜想 AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CDAB吗？为什么？ （2） O A B C D E （2）由垂径定理可得AC

5、=BC， AD =BD. （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，AOEBOE（SSS）， AEO=BEO=90， CDAB. 证明举例 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧. 垂径定理的推论 O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 垂径定理的本质是: 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 例1 如图，OE

6、AB于E，若O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. O A B E 解析：连接OA， OEAB， AB=2AE=16cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算 二 22 22 1068 AEOAOE cm. 典例精析 例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB 于D，DC2cm，求半径OC的长. O A B E C D 解：连接OA， CEAB于D， 11 84(cm) 22 ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例3：已知：O中弦ABCD, 求证：ACBD. . M C D A B

7、O N 证明：作直径MNAB. ABCD，MNCD. 则AMBM，CMDM （垂直弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDM ACBD 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用 三 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥 拱，设AB所在圆的圆心为 O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB 的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m. AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 解得R27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. R2=18.

8、52+(R-7.23)2 222 OAADOD 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. O C D E F ,OECD 11 600300(m). 22 CFCD 222 ,OCCFOF 2 22 30090.RR 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. 这段弯路的半径约为545m. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的 圆的半径为7cm，则弓形的高为_. 64 C D C B O A D O

9、A B 图a 图b 2cm或12cm 针对训练 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆 心到弦的距离），弓形高h的计算题，常 常通过连半径或作弦心距构造直角三角 形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 a 2 22 2 a rd d+h=r O A B C 1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 . 5cm 2.O的直径AB=20cm, BAC=30 ,则弦 AC= . 10 3 cm 当堂练习当堂练习 3.如图，在

10、O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是 正方形 D O A B C E 证明：证明： 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， 又又 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？ 理由：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD. O . A C D B E 解：AC=BD 6.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF, 且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN

11、和EF之间的距离 为 . 14cm或2cm 5. 如图，在ABC中，已知ACB=130， BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆 交AB于点D，则BD的长为_ 7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工 程师求出弧AB所在圆O的半径 解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， OEAB于F，AF= AB=3m， 设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， AO=r，OF=r-2， 在RtAOF中，由勾股定理可知： AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m 即，AB所在圆O的半径为 m 1

12、2 13 4 13 4 拓展提升： 如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 . 3cmOP5cm B A O P 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:过圆心;垂直于 弦; 平分弦（不是直径）; 平 分弦所对的优弧;平分弦所对的 劣弧.满足其中两个条件就可以推 出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt利用勾股定理 计算或建立方程. 基本图形及 变 式 图 形 课堂小结课堂小结 “部编本”语文教材解读 “部编本”语文教材的编写背景。 （一）教材要体现国家意识、

13、主流意识形态、党的认同，体现立德树人从娃娃抓起。 （二）体现核心素养，中国学生发展核心素养包括社会责任，国家认同、国际理解、人文底蕴、科学精神、审美情趣、学会学习、身心健康、实践创新。 （三）语文、道德与法制、历史三个学科教材统编是大趋势。 （四）“一标多本”教材质量参差不齐，“部编本”力图起到示范作用。 二、“部编本”教材的编写理念： （一）体现核心价值观，做到“整体规划，有机渗透”。 （二）接地气，满足一线需要，对教学弊病起纠偏作用。提倡全民阅读，注重两个延伸：往课外阅读延伸，往语文生活延伸。 （三）加强了教材编写的科学性，编研结合。 （四）贴近当代学生生活，体现时代性。 “部编本”语文教材的七个创新点： （一）选文创新：课文总数减少，减少汉语拼音的难度。 （二）单元结构创新更加灵活的单元结构体制，综合性更强。 （三）重视语文核心素养，重建语文知识体系。 （四）三位一体，区分不同课型。“教读”、“自读”和“课外阅读”三位一体，整体提高学生的语文素养。 （五）把课外阅读纳入教材体制。 （六）识字写字教学更加讲究科学性。 （七）提高写作教学的效果。 新教材注重了六个意识。 、国家意识。 、目标意识。 、文体意识，非常突出文学素养的培养。 、读书意识。 、主体意识。 、科研意识。 小结：好教，但教好不易。