2021年中考山西专用数学考点梳理第15节 全等三角形-模型部分ppt课件.pptx

1、第15节 全等三角形模型专项突破ABCABC模型一 平移型模型特征：模型特征：两个三角形一组边共线或部分重合，另两组边分别平行两个三角形一组边共线或部分重合，另两组边分别平行.其中一个三角形可以其中一个三角形可以看作是另一个三角形平移得到的，且平移前后两个三角形全等看作是另一个三角形平移得到的，且平移前后两个三角形全等.基本图形有以下三种：基本图形有以下三种：ABCABCABCABC提示：要善于利用公共边的和差变化推出等边；利用平行的性质推出等角提示：要善于利用公共边的和差变化推出等边；利用平行的性质推出等角.ABCABC1.如图，点如图，点 A，D，B，E 在同一直线上且在同一直线上且 BC

2、EF，AD=BE，BC=EF.证明：证明：A=EDF.证明：证明：BC EF，CBA=E，AD=BE，AD+BD=BE+BD，即，即AB=DE，在在ABC和和DEF中，中，AB=DE,CBA=E,BC=EF.ABC DEF（SAS）.A=EDF.2.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E是是AB的中点，的中点，AD EC，AED=B（1）求证：求证：AED EBC；（2）当当AB=6时，求时，求CD的长的长（1）证明：证明：AD EC，A=BEC，E是是AB的中点，的中点，AE=EB.在在AED和和EBC中，中，A=BEC,AE=EB,AED=B.AED EBC（ASA）.2.如图，在

3、四边形如图，在四边形ABCD中，中，E是是AB的中点，的中点，AD EC，AED=B（1）求证：求证：AED EBC；（2）当当AB=6时，求时，求CD的长的长3.如图如图 1，在，在 RtABC 中，中，ACB=90，CD AB于点于点 D，AF 平分平分CAB，交，交 CD 于点于点 E，交，交 CB 于于 点点F.（1）求证：求证：CE=CF；（1）证明：证明：ACB=90，CD AB于点于点D，ADE=ACF=90，EAD+AED=90，FAC+CFA=90，AF平分平分CAB，FAC=EAD，AED=CFA，又又AED=CEF，CEF=CFA，CE=CF.3.（2）将图将图 1 中的

4、中的ADE 沿射线沿射线 AB 方向平移到方向平移到ADE的位置，使点的位置，使点 E落在落在 BC 边上，其他条件不变，如图边上，其他条件不变，如图 2，请猜想，请猜想 BE与与 CF 的数量关系，并证明你的结论的数量关系，并证明你的结论（2）解：）解：BE=CF.证明如下：证明如下：ADE沿射线沿射线AB方向平移得方向平移得ADE，AE=AE，AEAEEAB=FAB.AF平分平分CAB，EAC=EAB，EAC=EAB.ACB=90，ACD+DCB=90.CD AB于点于点DB+DCB=90 ACD=B.在在AEC与与AEB中，中，ACE=B,EAC=EAB,AE=AE.AEC AEB.CE

5、=BE.由由（1）可知可知CE=CFBE=CF.模型二 轴对称型模型特征：模型特征：所给图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合所给图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.在题目中经常通过在题目中经常通过“折叠折叠”这一活动出现，或图象以轴对称形式呈现这一活动出现，或图象以轴对称形式呈现.分以下两类：分以下两类：提示：解题时注意隐含的公共边和公共角、对顶角提示：解题时注意隐含的公共边和公共角、对顶角.1.如图，在如图，在ABC 中，中，AB=AC，点，点 D，E 分别在分别在AB，AC上，上，BD=CE，BE，CD 相相交于点交于点O.求证：（求证：（1）ABE ACD；（；（2）O

6、B=OC.证明：（证明：（1）AB=AC，BD=CE，AB-BD=AC-CE，即，即AD=AE.在在ABE和和ACD中，中，AE=AD,A=A,AB=AC.ABE ACD（SAS）.（2）由由（1）得得ABE ACD，ABE=ACD，又又AB=AC，ABC=ACB，ABC-ABE=ACB-ACD，即即EBC=DCB，OB=OC2.如图，在正方形如图，在正方形 ABCD 中，点中，点 E 是边是边 CD 上一点，上一点，将将ADE 沿沿 AE 折叠至折叠至AFE 的位置，延长的位置，延长 EF 交交BC于点于点G，连接，连接AG.求证：求证：BG=FG.证明：由折叠可知，证明：由折叠可知，AFE

7、=D=90，AF=AD，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AD=AB，B=D=90，AF=AB，AFG=B=90，在在RtAFG和和RtABG中，中，AF=AB,AG=AG.RtAFG RtABG（HL）.BG=FG.【变式问【变式问1】求证：求证：AFG ABG.【变式问【变式问 2】猜想线段猜想线段 EG，BG 和和 DE 之间的数之间的数量关系，并说明理由量关系，并说明理由.【拓展问】【拓展问】求求EAG的度数的度数/三角函数值三角函数值.思路：由折叠的性质可知，思路：由折叠的性质可知，FAE=DAE，由由（1）Rt AFG Rt ABG，可可 得得 BAG=FAG，EAG=FAG

8、+EAF =（DAF+BAF）=BAD =90 =45.对应求出对应求出EAG 的三角函数值的三角函数值.2121213.3.实践与探究实践与探究如图如图1，已知矩形纸片，已知矩形纸片ABCD，第一步：如图第一步：如图2，将图，将图1中的矩形纸片中的矩形纸片ABCD沿过点沿过点A的直线折叠，使点的直线折叠，使点D落在落在AB上的点上的点E处，折处，折 痕为痕为AF，再沿再沿EF折叠，然后把纸片展平；折叠，然后把纸片展平；第二步：如图第二步：如图 3，将图，将图 2中的矩形纸片再次折叠，使点中的矩形纸片再次折叠，使点 D 与点与点 F 重合，折痕为重合，折痕为 GH，然后展平，然后展平，隐隐 去

9、去 AF；第三步：如图第三步：如图 4，将图，将图 3 中的矩形纸片沿中的矩形纸片沿 AH 折折 叠，得到叠，得到ADH，再沿，再沿 AD折叠，折痕为折叠，折痕为 AM，AM与折痕与折痕EF交于点交于点N，然后展平，然后展平问题解决：问题解决：请在图请在图 4 中判断中判断 NF 与与 ND 的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明.解：解：NF=ND，证明如下：，证明如下：如答图，连接如答图，连接HN，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，D=90，由折叠得由折叠得ADH=D=EFD=90，HF=HD=HD，HDN=90，在在RtHNF与与RtHND中，中，HN=HN,HF=HD.RtHN

10、F RtHND，NF=ND.模型三 旋转型模型特征：模型特征：该模型可看成将三角形绕某点旋转一定角度所得，在题目中经常通过该模型可看成将三角形绕某点旋转一定角度所得，在题目中经常通过“旋转旋转”这一活动出现，可得旋转前后两个三角形全等这一活动出现，可得旋转前后两个三角形全等.基本图形有以下几种：基本图形有以下几种：提示：解题时注意利用重叠角和公共角，找准旋转前后的对应边、对应角提示：解题时注意利用重叠角和公共角，找准旋转前后的对应边、对应角.ABCEDABCEDABCEDABCED基本模型基本模型1.如图，如图，ABC 中，点中，点 E 在在 BC 边上，边上，AE=AB，将线段将线段 AC

11、绕点绕点 A 旋转到旋转到 AF 的位的位置，使得置，使得CAF=BAE，连接，连接EF，与，与AC交于点交于点G.求证：求证：EF=BC.证明：证明：线段线段AC绕点绕点A旋转到旋转到AF的位置，的位置，AC=AF，CAF=BAE，CAF+CAE=BAE+CAE，即即EAF=BAC.在在ABC和和AEF中，中，AB=AE,BAC=EAF,AC=AF.ABC AEF（SAS）.EF=BC.2.如图，在如图，在 RtABC 中，中，ACB=90，AC=BC=6，点，点 D 是是 AC 边上的一点，且边上的一点，且 AD=2，以，以 AD 为直角边作等腰直角三角形为直角边作等腰直角三角形 ADE，

12、连接，连接 BE 并取并取 BE的中点的中点F，连接，连接CF，则则CF的长为的长为 .22【另解】【另解】延长延长AE，BC交于点交于点M，利用平行和等腰直角三角形的性质求解，利用平行和等腰直角三角形的性质求解.解析：如图析，过点解析：如图析，过点F作作FG AC于点于点G；根据题意可得根据题意可得 ED=AD=2 且且EDH BCH（对应相似（对应相似“8”字模型），字模型），DH CH=EH BH=1 3.又又AC=6，AD=2，DC=4，DH=1，CH=3，AH=3.由由F是是BE中点且中点且EH BH=1 3得得EH=FH，AEH CFH（SAS），），CF=AE=.22模型三 旋转

13、型模型特征：模型特征：此模型是旋转的一种特殊形式，通常是顶角相等的等腰三角形或正方形绕顶角此模型是旋转的一种特殊形式，通常是顶角相等的等腰三角形或正方形绕顶角顶点旋转而来，基本图形有以下三种：顶点旋转而来，基本图形有以下三种：提示：手拉手全等提示：手拉手全等（ABP ABP）；）；拉手线相等拉手线相等（AB=AB）；）；交叉时拉手线夹角交叉时拉手线夹角=顶角（图顶角（图2中中AOA=APA）.手拉手模型手拉手模型3.如图，如图，ABC 和和ADE 都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90求证：求证：BD=CE证明：证明：ABC与与AED均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形

14、，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90，BAC+CAD=EAD+CAD，即即BAD=CAE，在在BAD与与CAE中，中，AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,BAD CAE（SAS），），BD=CE4.已知四边形已知四边形 ABCD 和四边形和四边形 CEFG 都是正方形，都是正方形，且且AB CE，连接，连接BG，DE（1）；（2）DE和和BG有什么样的数量关系：有什么样的数量关系：；（3）DE和和BG有什么样的位置关系：有什么样的位置关系：.BCG DCEDE=BG DE BG5.如图，点如图，点C为线段为线段AB上一点，上一点，ACM，CBN是等边三角形是等边三角形（1）求证：

15、求证：AN=BM；（1）证明：）证明：ACM，CBN是等边三角形，是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=NCB=60，ACM+MCN=NCB+MCN，即即 ACN=MCB，在在ACN和和MCB中，中，AC=MC,ACN=MCB,NC=BC.ACN MCB（SAS），），AN=BM【拓展问【拓展问 1】猜想并证明猜想并证明NFB 的度数的度数/求求NFB 的三角函数的三角函数.猜想：猜想：NFB=NCB=60.（拉手线夹角（拉手线夹角=顶角）顶角）证明思路：证明思路：ACN MCB，ANC=MBC，FEN=CEB，NFE=NCB=60，对应求出对应求出NFB的各种三角函数值的各种三角函数

16、值.【拓展问【拓展问2】求证：求证：FC平分平分AFB.证明思路：过点证明思路：过点 C 分别作分别作 AN，BM 的垂线，垂足为的垂线，垂足为P，Q，ACN MCB，AN=BM，SACN=SMCB，ANCP=BMCQ，CP=CQ.FC平分平分AFB.（到角的两边距离相等的（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）点在这个角的平分线上）（2）猜想猜想CDE为何种特殊三角形，并证明你的猜想为何种特殊三角形，并证明你的猜想.（2）解：解：CDE为等边三角形为等边三角形.证明如下：证明如下：由由（1）得得ACN MCB，CAN=CMB，又又MCE=180-ACM-NCB=60，MCE=ACD，在在

17、ACD和和MCE中，中，CAD=CME,AC=MC,ACD=MCE.ACD MCE（ASA），），CD=CE 又又MCE=60，CDE为等边三角形为等边三角形【变式问【变式问1 1】DE和和AB有什么位置关系？有什么位置关系？【变式问【变式问 2 2】猜想并证明猜想并证明 DE，CD，CE 有什么数量关系？有什么数量关系？模型三 旋转型模型特征：模型特征：一个角内包含这个角的半角一个角内包含这个角的半角（如（如 90包含包含45，120包含包含60等）等）.通常有以通常有以下三种特殊情况：下三种特殊情况：半角模型半角模型提示：旋转时既可以是半角左边的三角形旋转到右边，也可以是右边的旋转到左边，

18、可灵提示：旋转时既可以是半角左边的三角形旋转到右边，也可以是右边的旋转到左边，可灵活变换活变换.6.在在ABC 中，中，BAC=90，AB=AC，点点 D 和点和点 E均在边均在边 BC 上，且上，且DAE=45，试猜想试猜想 BD，DE，EC应满足的数量关系，并写出推理过程应满足的数量关系，并写出推理过程.解：解：BD2+CE2=DE2.理由如下：理由如下：BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45，如答图，过点如答图，过点 A 作作 AG AE，且，且AG=AE，连接，连接BG，DG，GAE=BAC=90，GAE-BAE=BAC-BAE，即即GAB=EAC，在在GAB 和和EAC中，中

19、，AG=AE,GAB=EAC,AB=AC.GAB EAC（SAS）.ABG=ACE=45，BG=CE.GBD=ABG+ABC=45+45=90.DAE=45，BAD+EAC=45，GAB+BAD=45，GAD=EAD，在在GAD 和和EAD中，中，AG=AE,GAD=EAD,AD=AD.GAD EAD（SAS）.GD=ED.在在RtBGD中，中，BG2+BD2=GD2，CE2+BD2=DE2.7.把一个含把一个含45的三角板的锐角顶点与正方形的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点的顶点A重合，然后把三角板绕点重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交顺时针旋转，它的两边分别交 CB，

20、DC 于点于点 M，N.当三角板绕点当三角板绕点A旋转到图中的位旋转到图中的位置时，求证：置时，求证：MN=BM+DN.证明：如答图，延长证明：如答图，延长MB到点到点H，使，使BH=DN，连，连 接接AH.四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，D=ABC=90，AD=AB，ABH=D=90，在在ABH 和和ADN中，中，AB=AD,ABH=D,BH=DN.ABH ADN（SAS）.AH=AN，HAB=NAD，MAN=45，DAN+BAM=45，HAB+BAM=45，即，即HAM=45，HAM=NAM，在在AMH 和和AMN中，中，AH=AN,HAM=NAM,AM=AM.AMH AMN（SA

21、S）.MH=MN，即，即HB+BM=MN，MN=BM+DN.模型四 一线三等角型模型特征：模型特征：同一直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的同一直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上顶点落在该直线上.基本图形有以下三种：基本图形有以下三种：提示：有边相等证全等，无边相等证相似提示：有边相等证全等，无边相等证相似1.如图，在如图，在ABC 中，中，AB=AC，点，点 P，M 分别在分别在BC，AC 边上，且边上，且APM=B，AP=MP，求证：，求证：APB PMC.证明：证明：AB=AC，B=C，B+BAP+APB=APM+

22、APB+CPM，又又APM=B，BAP=CPM.在在APB和和PMC中，中，B=C,BAP=CPM,AP=PM.APB PMC（AAS）.2.如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，过点，过点A 的直线的直线 l 交交 BC 于点于点 M，过点，过点 B，C 作直线作直线 l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为 E，F，猜想线段，猜想线段 AF，EF 和和 CF之间的数量关系，之间的数量关系，并说明理由并说明理由.解：解：AF=CF+EF.理由如下：理由如下：BE l于点于点E，CF l于点于点F，BAC=BEA=AFC=90，BAE+CAF=90，CAF+ACF=90，BAE

23、=ACF.在在BAE和和ACF中，中，BEA=AFC,BAE=ACF,AB=CA.BAE ACF（AAS）.AE=CF.AF=AE+EF=CF+EF.【变式问【变式问 1 1】猜想线段猜想线段 AE 与与 CF 之之间的数量关系，并说明理由间的数量关系，并说明理由.【变式问【变式问2 2】证明证明ABE ACF.【拓展问】【拓展问】求求BAE-MBE的值的值.思路：思路：BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45，BE l于点于点E，CF l于点于点F，BECF，MBE=MCF，由由（1）知知BAE=ACF，BAE-MBE=ACF-MCF=ACB=45.3.2020 江苏（江苏（1）如图如

24、图 1，在四边形，在四边形 ABCD 中，中，B=C=90，点，点 P 是是 BC 上上一点，一点，PA=PD，APD=90，求证：，求证：BC=AB+CD；（1）证明：证明：B=90，APB+BAP=90.APD=90，APB+DPC=90.BAP=CPD.在在ABP和和PCD中，中，BAP=CPD,B=C,AP=PD,ABP PCD.AB=PC，BP=CD.BC=BP+PC=AB+CD.（2）如图如图 2，在四边形，在四边形 ABCD中，中，B=C=45，点点 P 是是 BC 上一点，上一点，PA=PD，APD=90，求，求 的值的值.BCCDAB 数学文化链接文化素材 周髀算经周髀算经

25、中记载了这样一件事，一次周公问商高：古时作天文测量和订立历法，中记载了这样一件事，一次周公问商高：古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？商高回答说：天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？商高回答说：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来，矩是根据乘、除计算出来的数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来，矩是根据乘、除计算出来的.这这里的里的“矩矩”原是指包含直角的作图工具原是指包含直角的作图工具.这说明了这说明了“勾股测量术勾股测量术”，即可用，即可用 3 4 5 的办法来的办法来构成直角三角形

26、构成直角三角形.周髀算经并有周髀算经并有“勾股各自乘，并而开方除之勾股各自乘，并而开方除之”的记载，说明当时已普遍的记载，说明当时已普遍使用了勾股定理使用了勾股定理.勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明和探索从未停勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明和探索从未停止过，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权止过，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统贵，甚至有国家总统.比比 如如：詹詹 姆姆 斯斯 艾艾 伯伯 拉拉 姆姆 加加 菲菲 尔尔 德德（1831188

27、1），美国政），美国政治家、数学家，生于俄亥俄州，美国共和党人，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的治家、数学家，生于俄亥俄州，美国共和党人，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的总统，他在数学方面的贡献主要是勾股定理的证明总统，他在数学方面的贡献主要是勾股定理的证明.勾股定理小故事勾股定理小故事 1.如图如图 1 是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；解：解：1.这个公式为这个公式为(a+b)2=a2+2ab+b2 2.如图如图 2，RtABC RtCDE，B=D=90，且且B，C，D三点共线三点共线.试证明试证明ACE=90；解：解：2.AB

28、C CDE，BAC=DCE ACB+DCE=ACB+BAC=90 B，C，D共线，共线，ACE =180-(-(ACB+DCE)=180-90 =90.3.伽菲尔德伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第年任美国第 20届总统）利用届总统）利用（1）中的公式和图中的公式和图2证明了勾证明了勾股定理股定理（1876年年 4 月月 1 日，发表在日，发表在 新英格兰教育日志新英格兰教育日志 上），现请你尝试还原该证明上），现请你尝试还原该证明过程过程解：解：3.由图由图2可知，梯形可知，梯形ABDE的面积为的面积为 (AB+ED)BD=(a+b)(a+b)=(a+b)2；又又梯形梯形 ABDE 可分成三个直角三角形，可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成其面积又可以表示成 ab+ab+c2 (a+b)2=ab+ab+c2，即即 a2+b2=c221212121212121212121