2021年安徽省数学中考复习考点分层训练§4.3 等腰三角形与直角三角形.pptx ppt课件.ppt
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1、 中考数学(安徽专用)第四章 图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形 20162020年全国中考题组1.(2020福建,3,4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则DEF的面积是()A.1 B.C.D.121314答案答案 D由中位线的定义及性质可得DF=BC,DFBC,所以DF=BE,EDF=DEB.又DE=DE,所以DEF EDB;同理,可证DEF CFE,DEF FAD.所以四个三角形互相全等.所以SDEF=SABC=.故选D.1214142.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关
2、于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是()A.34 B.30 C.30或34 D.30或36答案答案 A由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形,a=b=6,m=34,故选A.12,2,ababm易错警示易错警示本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.3.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是()A.70 B.44 C.34 D.24答案答案 C由作图知BA=BD,又B=40,BAD=
3、BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.4.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A.15 B.30 C.45 D.60答案答案 A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.5.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 .答案答案10或11解析解析等腰三角形的两条边长分
4、别为3和4,计算周长分两种情况讨论:若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10;若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11.故其周长为10或11.6.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 .答案答案3 3解析解析过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值为CF的长.ABC为等边三角形,边长为6,BF=AB=6=3,CF=3,CE+EF的最小值为3.121222-BC BF226-333解题关键解题关键解决
5、本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股定理求出线段CF的长.7.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度数为 .12答案答案15或45或75解析解析如图,当BA=BC时,BDAC,AD=CD=AC,BD=AC,AD=BD=CD,1212A=C=(180-90)=45.如图,当AB=AC且A为锐角时,BD=AC=AB,A=30,ABC=ACB=75.如图,当AB=AC且BAC为钝角时,BD=AC=AB,BAD=30,1212121212ABC=ACB=30=15.同理,当BC=AC时,可求得CB
6、A=CAB=75或15.故答案为15或45或75.12方法点拨方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.8.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相交于点F.求证:ABC是等腰三角形.证明证明BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC,DFB EFC.(3分)FB=FC.FBC=FCB.FBC+ABE=FCB+ACD,即ABC=ACB.ABC是等腰三角形.(6分)思路分析思路分析首先证明DFB EFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根据等腰三角形的
7、判定得证.解题关键解题关键解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.考点二直角三角形1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2 B.3 C.4 D.2 3答案答案 C在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.2.(2020河南,9,3分)如图,在ABC中,ACB=90,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OC
8、DE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为()A.B.(2,2)C.D.(4,2)3,2211,24答案答案 BA(-2,6),OC=2,AC=6,正方形OCDE的边长为2,B(7,0),OB=7,BC=9,如图,当点E在AB边上时,易证RtEOBRtACB,=,OB=2=3,OC=OB-OB-OC=7-3-2=2,点D的坐标为(2,2).即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2).故选B.ACBC EOOB96思路分析思路分析根据题意作出平移后的正方形OCDE,依据条件证得RtEOBRtACB,由相似的性质得OB的长,进而求出D的坐标,即平移后点D的坐标.3.(2020新疆,
9、9,5分)如图,在ABC中,A=90,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且DFE的面积为1,则BC的长为()A.2 B.5 C.4 D.10 55答案答案 A由DEBC可得ADEABC,又D为AB的中点,故=,E为AC的中点.过A作AHBC于H,交DE于G,则AHDE,由相似三角形的性质可知=,故AG=GH=DF,SADE=SDEF=1,从而SABC=4SADE=4.设AB=x,则AC=2x,而BAC=90,AEACADAB12AGAHADAB12x2x=4,x=2(负值舍去),故由勾股定理得BC=2.故选A.1222ABAC222454
10、.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为()A.B.2 C.D.328 131312 1313答案答案 BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.12223412思路分析思路分析由PAB=PBC,PBC+ABP=90,可得P=90,取AB的中点O,则OP=AB=3为定值,所以O,P
11、,C三点共线时CP的长最小.12解题关键解题关键想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题的关键.5.(2020山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 .答案答案 5485解析解析作PAAC交CD的延长线于P点,如图所示,在RtABC中,AB=5,cos B=,tan B=,又CDAB,B=DCA,在RtACD中,cosDCA=,CD=,在RtACP中,由cosDCA=可得CP=,由tanDCA=可得PA=,BCAC,BCPA,CEFPAF,=,又E为BC
12、的中点,CE=BC=2,=,解得CF=,DF=CD-CF=-=.22BCAC4534CDAC45125ACCP45154PAAC3494CEAPCFPF1229415-4CFCF301712530175485思路分析思路分析作PAAC交CD的延长线于P点,在RtABC中分别求出cos B,tan B,由CDAB易推出B=DCA,然后在RtACD中,利用cosDCA=求出CD,在RtACP中,利用cosDCA=求出CP,利用tanDCA=求出AP,最后根据CEFPAF求出CF,则DF=CD-CF,即可求解.454534难点突破难点突破本题的突破口是作辅助线构造CEFPAF,然后利用相似三角形的性
13、质及锐角三角函数求出CD、AP、CF、CP.6.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为直角三角形,则AE的长为 .3答案答案3或2.8解析解析易知BAF不可能为直角.当BFA是直角时,如图1,图1C是直角,ABC=DBF,BCABFD,=,又BC=2,且易知BD=,AB=4,BF=2=,由翻折可知DBE DBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB=2EF,BE=BF=1,BFBCBDBA333433223AE=4-1=3.当F
14、BA是直角时,如图2,图2连接BC、AD、BB,由翻折可知DBE DBE,BD=BD=BC=CD,BBC=90,FBA=ACD=90,RtACD RtABD,AC=AB,又易证DBB=CBA,DBBABC,=12BBBCBDCA,又=,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB,延长DE交BB于M,可得=(*),易知DM垂直平分BB,BM=BB,在直角三角形BBC中,由BB2+BC2=BC2=12,=,可求得BB=,BM=.在直角三角形DCA中,DA=,将BM=,AD=代入(*)可得AE=2.8.综上,AE=3或2.8.32DCCA32ADBMAEBE4-AEAE12BBBC326 773
15、77222(3)73 777疑难突破疑难突破本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线BC、AD、BB,并根据翻折证明BBCDCA,然后利用相似比求出AE.7.(2019内蒙古包头,20,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的动点(不与点B,C重合),过点B作BEBD交DF的延长线于点E,连接CE.下列结论:若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;若BDE=BAC,AB=4,则CE=;ABD和CBE一定相似;若A=30,BCE=90,则DE=.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)15821答案答案解析解析当BF=C
16、F时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD=CD,DF垂直平分线段BC,CE=BE,而BEBD,BD2+BE2=AD2+CE2=DE2,故正确;当BDE=BAC时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD,DBA=BAC,BDE=DBA,DEAB,点F为BC的中点,由得CD2+CE2=DE2,DCE=90,在RtABC中,AC=5,CD=,易证CDEBAC,可得=,解得CE=,故正确;ABD一定是等腰三角形,而CBE不一定是等腰三角形,故错;当A=30时,ABC=90,DBE=90,ABD=30,DBC=60,CBE=30,BD=BC=3,BCE=90,BE=2,在RtDBE中,DE=,故
17、正确.223452CECDCBAB1583223(2 3)21难点突破难点突破的突破口是抓住条件推出DF是线段BC的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质推理;的突破口是抓住条件推出DCE=90,从而利用相似比求出CE;的突破口是抓住A=30,ABC=90,DBE=90,推出BD和BE的长.8.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系;(2)求证:ABC的内角和等于180;(3)若=,求证:ABC是直角三角形.-aa bc1()2abcc解析解析(1)CA+B.(2)证明:如
18、图,过点B作直线DEAC,A=ABD,C=CBE,又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180,ABC的内角和等于180.(3)证明:原式可变形为=,-aac b2acbc(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形.9.(2018安徽,23,14分)如图1,在RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如图2,若DAE CEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.图1 图2解析解析(1
19、)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)证明:DAE CEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30.1212证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+
20、EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,MFEF1212121212121212MFEFFNAF1212AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.由可知AC=AM,又N为CM的中点,ANCM,又EMCF,ANEM.(14分)12思路分析思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=CMD+DME=2(CBM+E
21、BM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAE CEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.MFEF12NFAF1210.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证
22、:PCE EDQ;(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.ABPQ解析解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.又OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PCO=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,PCE EDQ.(5分)(2)证明:如图,连接OR.1212PR与QR分别垂直平分线段OA与OB,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形OCRD
23、中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30.ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60.ABR为等边三角形.(9分)如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE.PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90,即PEQ为等腰直角三角形.由于ARBPEQ,所以ARB=90.于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD=ARB=45,MON=135.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,则=.(14分)12222ABPQ2思路分析思路分析(1)
24、先证四边形ODEC为平行四边形得OCE=ODE,再根据OAP,OBQ都是等腰直角三角形证明PCE=EDQ,结合已知可证PCE EDQ;(2)连接OR,由PR与QR分别垂直平分线段OA与OB及MON=150,可得AR=BR,ARB=2CRD=60,即ABR为等边三角形;利用(1)的结论及已知可得出PEQ为等腰直角三角形,由ARBPEQ可得ARB=90,进一步得出CRD=45,从而得出MON=135,并说明P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,由此得出AB=PQ,进而求解.2考点一等腰三角形 教师专用题组1.(2020河南,10,3分)如图,在ABC中,AB=BC=,BAC=3
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