导数专题讲义1-3讲-2022-2023学年高二下学期人教A版 .docx

1、高二：导数专题讲义目录5.4 导数与单调性25.6 导数与不等式问题235.7 导数与零点问题375.4 导数与单调性【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.已知函数(),求的单调区间;2. 已知函数,求的单调区间.3.已知函数.求函数的单调区间;【知识点一】不含参数的单调性求解一利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数；如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数考点一： 类一次型函数分类讨论1.设函数.求函数的单调区间.2.已知函数讨论的单调性.练1.已知函数，.求函数的单调区间；练2.求的单调性.例2.已知函数

2、且讨论函数的极值练1.（）.求的单调区间;考点二： 二次函数型含参单调性讨论1.已知函数.求的单调区间2.已知函数（）,求的单调区间.3.设函数.时,试求函数的单调区间.4.已知函数,其中.当时,求的单调区间;5.已知函数,.求函数的单调区间.考点三：三角函类型判断单调性1.已知函数.当时,判断在上的单调性,并说明理由.2.已知函数，（1） 当时，求函数在上的值域(2) 当，求函数的单调区间 3.已知函数,当时,求证：函数在上单调递减.考点四：已知单调性求参数范围1.已知函数.若在上是增函数,求实数的取值范围.2.已知函数若在单调递增,求范围.3.已知函数.若函数在区间上单调递增,求实数的取值

3、范围4.已知函数.若函数在定义域内不单调,求的取值范围.5.设函数,若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围.6.已知函数.若函数在定义域内是单调函数,求的取值范围.7.已知函数.当时,若在区间上不单调,求的取值范围.8.设函数,若函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.5.5 导数与极最值问题【课前诊断】1.已知函数，求函数的极值，并画出函数的大致图像。2.求函数的极值.3.求函数在区间上的极值4.已知函数，求函数的极值。4. 求的极值 5. 求函数的极值。【知识点一：不含参数的极值的求解】1极小值点与极小值函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都

4、小，f （a）=0，而且在点x=a附近的左侧f （x）0，右侧f （x）0，则把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值。2极大值点与极大值函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f （b）=0，而且在点x=b附近的左侧f （x）0，右侧f （x）0，则把点b叫做函数，y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。3极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。4极值点类似零点，不是一个点而是一个自变量的值。极值是一个局部特征，一个函数可以有多个极值，因此不能直接说极大值大于极小值。5. 求函

5、数极值的如下方法：第一步，求导数；第二步，求方程的所有实数根；第三步，考察在每个根附近，从左到右，导数的符号变化.如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值.【典型例题】考点一： 已知函数极值点求参数范围1.设函数若在处取得极小值,求的取值范围.2. 设函数若在处取得极小值,求的取值范围。考点二： 证明函数有极值、极值点1.已知函数，求证：当时，函数既有极大值又有极小值2.已知函数，当时，求证：函数存在极小值【知识点二：不含参数的最值的求解】一、不含参数的最值的求解1、一般地，在闭区间a，b上的连续函数f（x）必有最大值与最小值在开区间（a，b）内的连续函数f（x）不一定有最大值

6、与最小值2、注意：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值，3、函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得：有极值的未必有最值，有最值的未必有极值：极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。4、闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则它就是函数的最值。5、一般的求函数在上的的最大值与最小值方法如下：第一步：对原函数求导；

7、第二步：求函数的极值以及端点处的函数值；第三步：比较各极值与端点处的函数值大小，期中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【典型例题】考点一： 不含参数的最值的求解1. 已知函数，求函数的最小值2.已知函数，求函数在区间的最大值和最小值。3.已知函数，求函数在区间上的最大值4.已知函数，求函数的最小值 5.已知函数，求在区间上的最大值6.已知函数，求函数的最小值【知识点三：含参数的极值求解】【典型例题】考点一：极值的判断及求解1.已知函数.（）求的极值;2.设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为,求;（）若在处取得极小值,求的取值范围.考点二：极值范围1.已知函数 .（）证明:对于,在区间上有

8、极小值,且极小值大于02.已知函数.（）若函数有极小值，求证：的极小值小于. 考点三：极值点个数例1. 已知函数（）若函数在上有极值,求的取值范围.例2. 已知函数,设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围例3. 已知函数.（）求函数在点处的切线方程;（）若函数在上有极值,求的取值范围.【知识点四：含参数的最值求解】【典型例题】考点一：函数含参求最值例1. 已知函数求函数的单调区间当时，求函数在区间上的最小值例2. 已知函数，若，求的区间上的最大值例3. 已知函数，若，求函数在区间上的最大值考点二：区间含参求函数最值例1. 已知函数求函数在上的最大值例2. 已知函数.（）求函数的单调区间；

9、（）当时，求函数在区间上的最大值.考点三：已知最值求参数例1. 已知函数，若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值例2. 已知函数.（）当时,若函数的最大值为,求的值.例3. 已知函数（其中）,函数的导函数为,且.若函数在区间上的最小值为,求的值.考点四：最值是否存在例1. 已知函数（1）求函数的单调区间（2）函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由例2. 已知函数,其中.（）当时,证明:存在最小值.5.6 导数与不等式问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.已知函数（1）求的单调区间（2）求在区间上的最小值【知识点一：单函数的恒成立

10、与存在性问题】一、单函数单变量恒成立问题，恒成立，恒成立二、 单函数单变量存在性问题都有 成立时 ；都有 成立时 .【典型例题】考点一： 单函数单变量问题例1. 已知函数，.求证:;练1-1.已知函数,.（）求证:;例2.已知函数.（）求证:;（）判断曲线是否位于轴下方,并说明理由.练2-1. 设函数,（）当时,恒成立,求的取值范围.（）求证:当时,.【知识点二：双函数恒成立与存在性问题】一、双函数单变量的恒成立与存在性问题1.，恒成立2.，恒成立二、双函数双变量恒成立与存在性问题1.，恒成立2.，恒成立3.，成立4.，成立5.，成立【典型例题】考点一： 双函数问题例1.已知（）当时,求证:对

11、于恒成立;练1-1.已知函数,（）若在处取得极值,求的值;（）在（1）的条件下,若,求证:当时,恒有成立.例2.已知函数.（）求证:当时,;练2-1.设函数,（）求证:时,.（）证明:当时,【知识点三：存在任意问题求参数范围】【典型例题】考点一： 恒成立问题例1. 已知函数.若恒成立,求的取值范围练1-1：设函数,.当时,恒成立,求的取值范围.练1-2.已知函数,其中实数.（）判断是否为函数的极值点,并说明理由;（）若在区间恒成立,求的取值范围.考点二：存在性问题 例1. 已知函数,为曲线:在点处的切线.（）求的方程;（）求的单调区间;（）设,若关于的不等式有解,求实数的取值范围.练1-1.

12、已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;（）当时,求证:存在实数,使.练1-2. 已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.（）求的值;（）若,求函数的最小值;（）求证：存在,当时,.【小试牛刀】1.已知函数.求证:当时,;.2.已知函数.（）求函数的单调区间;（）当时,都有成立,求的取值范围;3.已知函数,其中.（）若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围.【巩固练习基础篇】1.已知函数.（）若恒成立,求的取值范围（）求证:当时,曲线总在曲线的上方.2.已知函数,其中实数.（）若在区间上恒成立,求的取值范围.3.设函数,（）当时,恒成立,求的取值范围.（）求证:当时,.4.函数. （

13、）当时，求在点处的切线方程；（）若对于任意的，都有，求的取值范围.【巩固练习提高篇】1. 已知函数,.（）求证:;（）若对恒成立,求a的最大值与的最小值.5.7 导数与零点问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. 已知函数（）求函数的单调区间；（）设，求证：；【知识点一：不含参的零点分类讨论】一、函数的零点定义与零点性质定理（一）函数零点的定义：对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点。【注意】（1）零点不是点，而是一个数；（2）方程根与函数零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（二）零点存在性定理：如果函数在闭区间上的图象是连续曲线,并且有, 那么, 函

14、数在区间 内至少有一个零点（三）一个重要结论：若函数在其定义域内的某个区间上是单调的，则在这个区间上至多有一个零点。（四）等价关系：函数有零点方程有实根方程组有实数根函数与的图像有交点。二、求函数零点的方法（一）解方程的根；（二）利用零点存在性定理和函数单调性：（三）转化成两个函数图像的交点问题。【典型例题】例1.函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）练1-1函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）练1-2函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）【知识点二：含参的零点分类讨论】例1.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值；（）设函数，试判断的零点个数，并证明你的结论练

15、1-1. 已知函数.（）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；（）若,求证:当时，；（）若恰有两个零点，求的值.例2. 设函数，其中，若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围练2-1. 已知函数.若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.【小试牛刀】1.函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）2.已知函数当时,求证:函数有且仅有一个零点; 3. （20北京适应性考试）已知函数,求函数的零点个数.【巩固练习基础篇】1.设函数若方程有且只有一个根，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）2.已知函数,.3. 已知函数.（）求的零点;4. 已知函数.若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.【巩固练习-提高篇】1.（2017-2018海淀高三理期末18）已知函数2.已知函数（）当时,求曲线在点处的切线方程;（）当时,求在区间上的最大值和最小值;（）当时,若方程在区间上有唯一解,求的取值范围3.已知函数,.（）若曲线在点处的切线方程为,求的值;（）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且.