导数专题讲义4-6讲-2022-2023学年高二下学期人教A版 .docx

1、高二：导数专题讲义目录5.1 导数的概念25.2 导数的运算165.3 导数与切线问题275.1 导数的概念【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 【例1】函数在区间的平均变化率.【例2】求函数在区间的平均变化率.【知识点一：函数的平均变化率】如图所示的函数上有两个不同的点，我们看现在从点到的过程中，假定这段是一条线段，自变量的该变量为，记作，函数值的该变量为，记作，。于是，我们从变到的过程中，假定直线的斜率为，很明显可以看到 。对于直线段倾斜程度我们可以很清晰的利用函数的斜率表示出来，那么对于曲线部分的倾斜程度我们应该怎么刻画呢？一个很自然的想法是将曲线段分解成许多小段，当小

2、段分的足够多时，每小段可以近似视为平直的，这个时候我们可以利用对直线段分析的方法，得到曲线某部分的倾斜程度可以用比值近似刻画。注意各小段是不尽相同的，但不管是哪一个小段，函数值的变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量，由此，我们引出函数平均变化率的概念。一般地，已知函数在区间，是其定义域内不同的两点，记： 则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率注意：这里的可为正值，也可为负值，但，可以为。【典型例题】考点一：平均变化率【例1】函数在区间的平均变化率.【例2】求函数在区间的平均变化率.【例3】求函数在区间的平均变化率. 【例4】求函数在区间的平均变化率.【练1】求函数在区

3、间的平均变化率【练2】求函数在区间的平均变化率。【练3】求函数在区间的平均变化率。【练4】求函数在区间的平均变化率。【练5】函数在闭区间内的平均变化率为A.B.C.D.【练6】试指出正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？【知识点二：导数的概念及其几何意义】1.导数的概念设函数在及其附近有定义，当自变量附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数，那么常数称为函数在点的瞬时变化率。（“趋近于”可以用箭头 表示，读作，趋近于）记作：当时，上述过程，通常也记作：函数在点的瞬时变化率，通常称为在点处的导数，并记作.这时又称在点处是可导的.于是整个变化过程，可以记作：当时

4、，或如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导.这样，对内每个值,都对应一个确定的导数.于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数.记为或.我们需要强调几点：（1）函数的连续与不连续可以通过函数图像是否有分段点确定（2）函数可导和函数连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导.例如等（3）导函数简称为导数、导数值指函数在某个点的导数2.可导与导函数定义：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。注意：导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的

5、导数，那么求导数指的就是求导函数。3.导数的几何意义设函数的图象如图所示为过点与的一条割线由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于【典型例题】考点一：导数的概念【例1】火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到.试问熄火后多长时间火箭向上速度为 已知：火箭的运行方程为： （思考一下：火箭向上速度变为0，意味着什么？你能计算出此火箭熄火后上升的最大高度吗？）【例2】一正方形铁板在时，边长为，加热后铁板会膨胀，当温度为时，边长变为，为常数.试求铁板面积

6、对温度的膨胀率。【例3】已知函数在处可导，则 【例4】求函数在的瞬时变化率。【练1】设一物体的运动方程是，其中为初速度，为加速，时间单位为求的瞬时速度.【练2】求函数的导数【练3】一同学在投掷场以向上斜掷标枪，投掷方向与水平成角，问标枪能投掷多远？【练4】求函数在的导数.考点二： 导数的几何意义【例1】若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P的坐标是.【例2】.如图，函数 fx 的图象经过 0,0，4,8，8,0，12,8 四个点，试用“，=，1且函数与直线y=-x相切，求b的值；练1.已知函数. 曲线在点处的切线方程为.（）求，的值；例2. 已知函数,其中.（）如果曲线在处的切线的斜率是,求

7、的值;练2.已知函数和的图象有公共点,且在点处的切线相同，若点的坐标为,求的值;【小试牛刀】1.求曲线在点处的切线方程。2.曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.3.求过点与曲线相切的切线方程.4.已知直线与曲线切于点，则的值为A.3B.3C.5D.55.直线经过点,且与曲线相切,若直线的倾斜角为,则. 【巩固练习基础篇】1.已知抛物线，求此抛物线在点处的切线方程.2.求曲线在点的切线的倾斜角.2.过点与相切的切线方程.3.若过曲线上的点的切线的斜率为,则点的坐标是.4.已知函数.（）若在处与直线相切,求的值;5.已知函数（）若曲线在点处的切线方程为,求的值;6. 已知函数.（）当时,求曲线在点处的切线方程;【巩固练习提高篇】1.已知曲线上一点，用斜率定义求：（）在点A的切线的斜率；（）在点A的切线方程2.求双曲线在点的切线方程.3.已知函数,函数,其中.（）如果函数与在处的切线均为,求切线的方程及的值;4.已知函数，若曲线存在斜率为的切线,求实数的取值范围;