2021年中考一轮复习ppt课件3.5　二次函数的综合应用.pptx

1、 中考数学3.5二次函数的综合应用考点一抛物线与线段长、面积、角度1.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与OAB的边分别交于M,N两点,将AMN以直线MN为对称轴翻折,得到AMN.设点P的纵坐标为m.当AMN在OAB内部时,求m的取值范围;是否存在点P,使SAMN=SOAB?若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由.

2、56解析解析(1)过点A作ADy轴,垂足为点D,过点B作BEx轴,垂足为点E.则ODA=OEB=90,由旋转的性质可得OA=OB,AOB=90,AOD+AOE=BOE+AOE=90,AOD=BOE,在AOD和BOE中,AOD BOE(AAS),OD=OE,AD=BE,ODAOEBAODBOEOAOB A(1,3),BE=AD=1,OD=OE=3,点B的坐标为(3,-1),抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入,解得a=-1,y=-(x-1)2+3,y=-x2+2x+2.(2)抛物线的对称轴为x=1,A(1,3),P(1,m),根据翻折可知A

3、P=AP,则A(1,2m-3),由B(3,-1)可求得直线OB的解析式为y=-x,则C,-2m-33,解得m3.存在.由A(1,3)和B(3,-1)可求得直线OA和AB的解析式分别为y=3x和y=-2x+5.情况一:当m3时,如图所示.1311,-3134343M,N,MN=-=.SAMN=SAMN=MNAP=(3-m)=.C,AC=2m-,SOAB=SOAC+SBAC=ACxC+AC(xB-xC)=AC3=3=3m-4.SAMN=SOAB,=,3mm5-,2mm5-2m3m15-56m5(3-)6m12125(3-)6m25(3-)12m11,-3831212121282-3m5625(3-

4、)12m5(3-4)6mm1=6+(舍去),m2=6-,m=6-.情况二:当0m时,如图所示.由情况一得SAMN=.C,AC=-2m,SOAB=SOAC+SBAC=AC3=3=4-3m.1919194325(3-)12m11,-38312128-23mSAMN=SOAB,=,m2+1=0,无解.情况三:当-m0),则PD=2t,因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以下两种情况讨论:i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分)解得t1=2,t2=-3(舍去),PE=

5、2.(7分)9-30,420.bcbc1,-6,bcii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t),则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分)解得t1=,t2=(舍去),PE=.(9分)33323-3323332综上所述,PE的长为2或.(10分)存在点P,使得ACP=OCB.当x=0时,y=-6,C(0,-6),OC=6.在RtAOC中,AC=3,过点A作AHAC,交直线CP于点H,则CAH=COB,又ACP=OCB,CAHCOB,=,(11分)过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC,MAH+OAC=90,OAC+OCA=90,MAH=OCA,HMAAOC,3332

6、22OAOC22365AHACOBOC2613=,即=,MH=1,MA=2.(12分)i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1),图3由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6,于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0(舍去),MHOAMAOCAHAC3MH6MA13点P的坐标为(-2,-4).(13分)ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1),图4由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6,于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0,解得x1=-8,x2=0(舍去),点P的

7、坐标为(-8,50).(14分)综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).(15分)解后反思解后反思对于(2)中的,由点A,B,C的坐标易得OB OC=1 3及AC的长.过点A作AHAC,过点H作HMx轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得HMAAOC,进而求出点H的坐标,这样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可.4.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-x+b经过点A,交抛物线C1于

8、另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.若AP=AQ,求点P的横坐标;若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME,NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.43解析(1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D,C1:y=(x-1)2-4,A(3,0)

9、,直线y=-x+b经过A(3,0),b=4,D(0,4),则易知D(0,-4),直线AD的解析式为y=x-4,由得x1=3,x2=,xQ=,xP=xQ=,点P的横坐标为.43432(-1)-4,4-43yxyx 13131313点P的横坐标为-.详解:由得x1=-,x2=3,故B.设点P的横坐标为a,232(-1)-4,4-43yxyx 737 64-,3 97-33a点P在线段AB上,点P的坐标为,点Q在抛物线C1上,点Q的坐标为(a,a2-2a-3).PQ2=,又PA=PQ,PA2=(a-3)2+=,(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3),又a3,(a+1)=1,(a+4)=0,a1

10、=-,a2=-4(舍),点P的横坐标为-.4,-43aa222-73aa24-43a222-73aa113a113a23a2323(3)C2:y=x2,M(m,m2),N(n,n2),设直线ME的解析式为y=kx+t,M(m,m2),t=m2-km,由得x2-kx+km-m2=0,依题意有=k2-4(km-m2)=0,k=2m,直线ME的解析式为y=2mx-m2,同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,由得E,M(m,m2),N(n,n2),直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,过E作EFy轴交MN于点F,则F,22,-yxykxm km222-,2-ymx mynx n,2mnmn22

11、,22mn mnEF=-mn=(m-n)2,SMNE=(m-n)(m-n)2=(m-n)3=2,m-n=2.m与n的数量关系为m-n=2.222mn121212145.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;当h=9时,直接写出BCP的面积.解析解析(1)

12、把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得-3=(0-1)2+k,解得k=-4.所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.所以A(-1,0),B(3,0),所以AB=4.解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4).由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值,最大值为44=8.解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3),12所以SABP=4(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8.所以当m=1时,SABP有最大值8.(3)当0m1时,h=-3-(m2-2m-3)=-

13、m2+2m;当12时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.BCP的面积为6.提示:当h=9时,即m2-2m+1=9,解得m1=4,m2=-2(舍).所以点P的坐标为(4,5),可求得BCP的面积为6.126.(2019贵州贵阳,24,12分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15,求线段CP的长度;(3)当axa+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.(备用图)解析解析(1)二次函数图象的对称轴是直

14、线x=1,-=1,b=-2,将(-1,0)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3.二次函数的表达式为y=x2-2x-3.(2)A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1,B(3,0),又当x=0时,y=-3,C(0,-3),OB=OC,OBC=45.当点P在点C上方P1的位置时,如图,P1BC=15,P1BO=30,在RtP1BO中,OP1=OBtan 30=,CP1=3-.当点P在点C下方P2的位置时,如图,2 1b33P2BC=15,P2BO=60,在RtP2BO中,OP2=OBtan 60=3,CP2=3-3.综上所述,CP的长为3-或3-3.(3)当a+11,即a0时,y随x增大而减小

15、,当x=a+1时,y=x2-2x-3取最小值2a,2a=(a+1)2-2(a+1)-3,3333解得a1=1+,a2=1-,a1时,y随x增大而增大,当x=a时,y=x2-2x-3取最小值2a,2a=a2-2a-3,解得a1=2+,a2=2-,a1,a=2+.综上,a=1-或a=2+.55577757思路分析思路分析(1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值,即得二次函数解析式;(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的长度;(3)分a+11三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得.解题关键解题关键本题是二次函数的

16、综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用.考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形1.(2020湖北武汉,24,12分)将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C1,C2的解析式;(2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;(3)如图2,直线y=kx(k0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=-x与抛物线C2交于G,H两点,N为线段GH

17、的中点.求证:直线MN经过一个定点.4k解析解析(1)抛物线C1:y=(x-2)2-6,抛物线C2:y=x2-6.(2)如图1,设点A(m,n),则n=m2-4m-2.当点A在x轴上方时,过点A作APx轴,过点B作BQAP,垂足分别为P,Q.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,ABQ OAP.BQ=AP=n,AQ=OP=m,m=n+2.联立解得或(不合题意,舍去).A(5,3).如图,当点A在x轴下方时,同理求得A(4,-2).综上,点A的坐标是(5,3)或(4,-2).22,-4-2,mnnmm5,3mn0,-2mn(3)证明:由消去y,得x2-kx-6=0,xE+xF=k.M为线段EF的

18、中点,将EM沿EF方向平移与MF重合,xM-xE=xF-xM,xM=(xE+xF)=.点M的坐标是.2,-6ykxyx122k2,22k k同理得点N的坐标是.设MN的解析式为y=ax+b,则解得MN的解析式为y=x+2.当x=0,k为任意不等于0的实数时,总有y=2,即直线MN过定点(0,2).22 8-,k k22,2282-,kkababkk2-4,2.kakb2-4kk思路分析思路分析(1)根据平移的规律可求C1,C2的解析式.(2)先设A(m,n),再分两种情况:点A在x轴上方时,过点A作APx轴,过点B作BQAP,垂足分别为P,Q,先利用OAB是等腰直角三角形证明ABQ OAP,由

19、此推出m=n+2,与n=m2-4m-2联立,解出m,n,即得A点坐标;点A在x轴下方时,同可求出另一个A点坐标.(3)根据直线y=kx(k0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,联立两个解析式,得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系求出点M的横坐标,进而求出纵坐标,同理求出点N的坐标,再用待定系数法求出直线MN的解析式,从而证明直线MN过定点即可.解题关键解题关键抓住OAB是等腰直角三角形证明ABQ OAP,并由此推出m、n之间的关系是求出点A 的关键.易错警示易错警示只考虑点A在x轴的上方而忽略点A在x轴的下方这种情况是解答本题易犯的错误.2.(2020黑龙江齐齐哈尔,24,14分)

20、在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图.(1)求抛物线的解析式;(2)直线AB的函数解析式为 ,点M的坐标为 ,cosABO=;连接OC,若过点O的直线交线段AC于点P,将AOC的面积分成1 2的两部分,则点P的坐标为 ;(3)在y轴上找一点Q,使得AMQ的周长最小.具体作法如图,作点A关于y轴的对称点A,连接MA交y轴于点Q,连接AM、AQ,此时AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,

21、请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.12解析解析(1)由已知,得b=2,c=0.y=x2+2x.(2)OA=OB,OB=4,则B(0,4),设直线AB的解析式为y=kx+m(k0),把A(-4,0),B(0,4)代入可得解得直线AB的解析式为y=x+4.116-40,21426,2bcbc12-40,4,kmm1,4,km由(1)可知y=x2+2x,则y=(x+2)2-2,M的坐标为(-2,-2),OA=OB=4,AOB=90,ABO=45,cosABO=cos 45=.OP将AOC的面积分成1 2两部分,SAPO SACO=1 3或SAPO SACO=2 3,APO与ACO有公共底边

22、AO,且点C的坐标为(2,6),=或=.yP=2或yP=4.点P在直线AB上,x=-2或x=0.1212221212PCyOAyOA131212PCyOAyOA23点P的坐标为(-2,2)或(0,4).(3)设直线MA的解析式为y=k1x+b1(k10),将A(4,0)和M(-2,-2)代入,得k1=,b1=-.y=x-.把x=0代入,得y=-.Q.(4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6).详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N.A到C的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O平移后得到N(6

23、,6);C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O平移后得到N(-6,-6);O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).111140,-2-2,kbkb134313434340,-33.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位

24、长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.备用图解析解析(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1),解这个方程组,得该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1.(3分)(2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k0).将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,得解这个方程组,得直线AB的函数表达式为y=x-1.如图1所示,过点P作PQx轴交AB于点Q.设P

25、(t,t2+4t-1)(-3t0),则Q(t,t-1).PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t.SPAB=PQ|xA-xB|=(-t2-3t)3=-t2-t.9-3-4,-1.bcc4,-1.bc-3-4,-1.kmm1,-1.km12123292-=-,-3-0,当t=-时,SPAB有最大值,最大值为SPAB=.PAB面积的最大值为.(6分)9-232-23232322394-0-2234-2278278图1 图2(3)如图2所示,满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+),(-3,-4-),(-1,2).(10分)详解:由(1)可知原抛物线解析式为y=x2+4x-1=

26、(x+2)2-5.将抛物线向右平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y=x2-5.联立解得点C(-1,-4).6622-5,4-1,yxyxx-1,-4.xy点D是原抛物线对称轴上一点,E是平面直角坐标系内一点,设D(-2,m),E(s,t).当BC为菱形的边时,将点C向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点B,同样点D(或E)向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点E(或D).或当点D在点E下方时,则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32.-21,3smt 1-2,3.stm 联立可得s=-1,t=2或-4(舍去).点E(-1,2).当点D在点E上方时,则BD=BC,

27、即(-2)2+(m+1)2=12+32.联立得s=-3,t=-4.点E(-3,-4+)或E(-3,-4-).当BC是菱形的对角线时,则BD=BE,22+(m+1)2=s2+(t+1)2.联立得s=1,t=-3.点E(1,-3).综上,点E的坐标为(-1,2)或(-3,-4+)或(-3,-4-)或(1,-3).0-1-2,22-1-4.22smt66666解题关键解题关键此题第(2)问关键在于利用P点坐标中的参量t表示出三角形PAB的面积,再用二次函数求最值的方法求最大值即可.4.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴

28、于点C,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MNx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC.设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=时,求DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;(4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标.3254解析(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中,得解得二次函数的表达式为y=-x2+x+2.(2)t=,AM=3,又OA=1,OM=2,设直线BC的解析式为y=kx+

29、n(k0),将C,B点的坐标代入,得解得直线BC的解析式为y=-x+2.-20,16420,a bab1-,23,2ab1232322,40,nkn1-,22.kn12将x=2分别代入y=-x2+x+2和y=-x+2中,得D(2,3),N(2,1),DN=2.SDNB=22=2.(3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0),设P(2t-1,m),12321212则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,PB=PC,(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2,m=4t-5,P(2t-1,4t-5),PCPB,=-1,t=1或t=2,经检验t=1或t=2为上

30、述方程的解.M(1,0)或M(3,0),D(1,3)或D(3,2).(4)当t=时,AM=2=,M,由(1)知抛物线的对称轴方程是x=,如图所示,在RtOAC中,AC=,在RtOBC中,BC=,又AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB=90,又AOC=90,ACO=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,且在直线MN上,又点M为圆心,MQ=,Q或Q.4-72-1tt4-52-5tt5454523,023222125224220523 5,2 235,-225.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,

31、0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1m4).连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当BCD的面积等于AOC的面积的时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.34解析解析(1)抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0),(1分)解得(2分)抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6.(3分)(2)作直线DEx轴于点E,交BC于点G.作CFDE,垂足为点F.4

32、-260,16460,abab3-,43.2ab3432点A的坐标为(-2,0),OA=2.由x=0,得y=6.点C的坐标为(0,6),OC=6.SAOC=OAOC=26=6.(4分)SBCD=SAOC,SBCD=6=.设直线BC的函数表达式为y=kx+n(k0).1212343492由B,C两点的坐标得解得直线BC的函数表达式为y=-x+6.(5分)点G的坐标为.DG=-m2+m+6-=-m2+3m.(6分)点B的坐标为(4,0),OB=4.SBCD=SCDG+SBDG=DGCF+DGBE=DG(CF+BE)=DGBO=4=-m2+6m.(7分)-m2+6m=.(8分)40,6,knn3-,

33、26.kn323,-62mm34323-62m34121212121223-34mm323292解得m1=1(舍去),m2=3,m的值是3.(9分)(3)存在,M1(8,0),M2(0,0),M3(,0),M4(-,0).(13分)提示:以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得N点的纵坐标为,令二次函数的值等于或-,分别求出N2,N3,N4的坐标,进而求出M2,M3,M4的坐标,以BD为对角线时,有1种情况,采用中点坐标公式求得M1的坐标.1414154154154考点三抛物线与全等三角形、相似三角形1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,

34、-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式;(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.解析解析(1)由题意,得解之,得y=x2+2x-3.(3分)(2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1.令y=0,则x2+2x-3=0.解之,得x1=-3,x2=1.A(-3,0),B(1,0).令x=0,则y=-3.C(0,-3).OA=OC=3.(6分)PDE=AOC=90,当PD=DE=3时,PDE与AOC全等.设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3

35、.m=2.n=22+22-3=5.P(2,5).E(-1,2)或E(-1,8).(9分)当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件.相应的点E的坐标同上.1293,-34-2,bcbc2,-3.bc满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).(10分)疑难突破疑难突破(1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知AOC为直角三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧

36、和左侧),可以结合抛物线的对称性进行说明.2.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,-2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,记BDE的面积为S1,ABE的面积为S2,求的最大值;(3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线lBC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使PQBCAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.12SS图1图2解析解析(1

37、)解法一:将(4,0),(0,-2),(-1,0)分别代入y=ax2+bx+c,得解得抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.解法二:A(-1,0),B(4,0)在抛物线上,-=.b=-3a.C(0,-2)在抛物线上,c=-2,y=ax2-3ax-2,将(-1,0)代入y=ax2-3ax-2,得a=,抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.1640,-2,-0,abcca bc1,23-,2-2.abc12322ba-14232121232(2)过点B作AD边上的高BH,过点D作DGx轴于点G,交BC于点F,过点A作AKx轴,交BC的延长线于点K,=.B(4,0),C(0,-2),直线BC的表达式

38、为y=x-2,12SS1212DE BHAE BHDEAEDFAK12当x=-1时,y=-,AK=.设D(0m4),F,DF=-m2+2m,=-m2+m=-(m-2)2+,0m0).5252213,-222mmm1,-22mm1212SS21-2252mm1545154512SS4512,2mm当点P在直线BQ右侧时,如图,过P作PNx轴,过Q作QMNP交NP的延长线于M,则QMP=PNB=90,易知QPB=ACB=90,QPM+MQP=90,QPM+BPN=90,MQP=NPB,QPMPBN,=.QPBPMPBNQMNPPQBCAB,=,MP=BN=m-2,MQ=NP=,Q.将Q的坐标代入y

39、=x2-x-2中,得m=(m=0舍去),P.当点P在直线BQ左侧时,由的方法同理可得Q,此时P.综上,在第一象限存在符合条件的点P,Q,所有符合条件的点P的坐标为,.QPBPACBC52 5121212124m3,-24m m123268968 34,995,24m62 41 341,5568 34,9962 41 341,553.(2019陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为L.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L上,且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D.若POD与

40、AOB相似,求符合条件的点P的坐标.解析解析(1)由题意,得解之,得L:y=-x2-5x-6.(2分)(2)点A、B在L上的对应点分别为A(3,0)、B(0,6),设抛物线L的表达式为y=x2+bx+6.将A(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5.抛物线L的表达式为y=x2-5x+6.(4分)A(-3,0),B(0,-6),AO=3,OB=6.设P(m,m2-5m+6)(m0).PDy轴,点D的坐标为(0,m2-5m+6).PD=m,OD=m2-5m+6.RtPOD与RtAOB相似,=或=.(6分)9-3(-)0,-6.ac acc-1,-6.acPDAOODBOPDBOODAO当=,即

41、=时,解之,得m1=1,m2=6.P1(1,2),P2(6,12).当=,即=时,解之,得m3=,m4=4.P3,P4(4,2).P1、P2、P3、P4均在第一象限,符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或或(4,2).(10分)PDAOODBO3m2-566mm PDBOODAO6m2-563mm 323 3,2 43 3,2 4思路分析思路分析(1)把点A和点B的坐标代入抛物线解析式,求出a,c的值即可求得抛物线的解析式;(2)首先求出抛物线L的解析式,设点P的坐标为(m,m2-5m+6)(m0),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据RtPOD与RtAOB相似,分两种情况列出

42、比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标.4.(2019新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D在ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当PQC与ABC相似时,求PQC的面积.154解析(1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得解得抛物线的解析式为

43、y=-x2+3x+4.(3分)y=-+4=-+,顶点D的坐标是.(4分)(2)将抛物线y=-+向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度得抛物线y=+.新抛物线的顶点D的坐标是.(6分)-0,1640,4,a bcabcc-1,3,4.abc22233-3-22xx23-2x2543 25,2423-2x25415423-2xh5235-,22h由题意得,直线BC的解析式为y=-x+4,直线AC的解析式为y=4x+4,当顶点在直线BC上时,=-+4,解得h=0.当顶点在直线AC上时,=4+4,解得h=.新抛物线的顶点D在ABC内,h的取值范围是0h45,ACB45,点P与点B是对应点.

44、当ABCCPQ时,=,=.m=0(舍)或m=.PQ=,SPQC=.(11分)当ABCQPC时,=,=,22ABCPBCPQ52m24 2-4mm1259625121259625576125ABQPBCPC25-4mm4 22mm=0(舍)或m=.PQ=,SPQC=.综上所述,PQC的面积为或.(13分)1145516121145516605128576125605128考点四二次函数在实际生活(生产)中的应用1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/

45、s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A.23.5 mB.22.5 mC.21.5 mD.20.5 m答案答案C 由已知可得v0=20 m/s,h0=1.5 m,则h=-5t2+20t+1.5(t0),其图象的对称轴方程为t=-=2,图象开口向下,当t=2时,h最大,为-522+202+1.5=21.5,故选C.202(-5)2.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市

46、场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?解析解析(1)y=80+20,(3分)y=-40 x+880(x16).(4分)(2)设每天的销售利润为w元,(5分)w=(-40 x+880)(x-16)(7分)=-40(x-19)2+360.(8分)a=-400,二次函数图象开口向下,w有最大值.(10分)x=19时,w最大,此时w最大值=3

47、60.(11分)答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元.(12分)20-0.5x易错警示易错警示在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判断.3.(2020内蒙古呼和浩特,24,12分)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1t1),且每小时可获得利润60元.(1)某人将每小时获得的利润设为y元,发现t=1时,y=180,所以得出结论:每小时获得的利润最少是180元.他是依据什么得出该结论的?用你所学数学知识帮他进行分析说明;(2)若以生产该产品2小时获得利润1 800元的速度进行生产,则1天(按8小

48、时计算)可生产该产品多少千克?(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.5-31tt解析解析(1)依据一次函数和反比例函数的性质得出结论.由已知得y=60,当t=1时,y=180,当0.10),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.解析解析(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0),依题意有解得y与x的函数关系式是y=-2x+200.40;70;1 800.进价是50-(1 000100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-

49、40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元.(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8 000-200m=-2+m2-60m+1 800,m0,70,-20,抛物线开口向下,x65,w随x的增大而增大,50100,6080,kbkb-2,200,kb2140-2mx121402m当x=65时,w有最大值,为(-265+200)(65-40-m),(-265+200)(65-40-m)=1 400,m=5.若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.5.(2019四川成都,26,8分)随着5G

50、技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式;(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?1212解析解析(1)设y=kx+b(k0),把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得解得y与x之间的关系式为y=-500 x+7 500.(2)设第x个销售